指数与对数的运算.pdf

1 指数与对数的运算【课标要求】（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。（3）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；【命题走向】指数与对数的性质和运算，在历年的高考中一般不单独命题。大多以指数函数、对数函数等基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。【要点精讲】1、整数指数幂的概念。（1）概念：*)(Nnaaaaan )0(10aa *),0(1Nnaaann n个a (2)运算性质：)()(),()(),(ZnbaabZnmaaZnmaaannnmnnmnmnm 两点解释：nmaa可看作nmaa nmaa=nmaa=nma nba)(可看作nnba nba)(=nnba=nnba 2、根式：（1）定义：若),1(Nnnaxn 则x叫做a的n次方根。（2）求法：当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数 记作：nax 当n为偶数时，正数的n次方根有两个（互为相反数）记作：nax 负数没有偶次方根 0 的任何次方根为 0 名称：na叫做根式 n叫做根指数 a叫做被开方数（3）公式：aann)(；当n为奇数时 aann；当n为偶数时 )0()0(aaaaaann 3、分数指数幂（1）有关规定：事实上，knnkaa)(若设a0,*),1(Nnnnmk，mnnmnkaaa)()(由n次根式定义,naamnm的是次方根，即：nmnmaa 1（2）同样规定：)1*,0(1nNnmaaanmnm且；0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义。（3）指数幂的性质：整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂。),0,0()(),0()(),0(QrbabaabQsraaaQsraaaarrrrssrsrsr（注）上述性质对 r、sR 均适用。4、对数的概念（1）定义：如果)1,0(aaa且的b次幂等于 N，就是Nab，那么数b称以a为底 N 的对数，记作,logbNa其中a称对数的底，N 称真数。以 10 为底的对数称常用对数，N10log记作Nlg；以无理数)71828.2(ee为底的对数称自然对数，Nelog，记作Nln；（2）基本性质：真数 N 为正数（负数和零无对数）；2）01loga；1logaa；4）对数恒等式：NaNalog。（3）运算性质：如果,0,0,0,0NMaa则 NMMNaaaloglog)(log；NMNMaaalogloglog；nMnMana(loglogR）。（4）换底公式：),0,1,0,0,0(logloglogNmmaaaNNmma 两个非常有用的结论1loglogabba；bmnbanamloglog。【注】指数方程和对数方程主要有以下几种类型：(1)af(x)=bf(x)=logab,logaf(x)=bf(x)=ab;（定义法）(2)af(x)=ag(x)f(x)=g(x),logaf(x)=logag(x)f(x)=g(x)0（转化法）(3)af(x)=bg(x)f(x)logma=g(x)logmb(取对数法)(4)logaf(x)=logbg(x)logaf(x)=logag(x)/logab(换底法)【典例解析】题型 1：指数运算 例 1（1）计算：25.02121325.0320625.0)32.0()02.0()008.0()945()833(；1（2）化简32233 （3）化简：5332332323323134)2(248aaaaabaaabbbaa。（4）化简：33323323134)21(428aabbababaa 例 2已知11223xx，求22332223xxxx的值。题型 2：对数运算 例 3计算（1）2(lg2)lg2 lg50lg25；（2）3948(log 2log 2)(log 3log 3)；（3）1.0lg21036.0lg21600lg)2(lg8000lg5lg23。例 4设a、b、c为正数，且满足222abc （1）求证：22log(1)log(1)1bcacab；1（2）若4log(1)1bca，82log()3abc，求a、b、c的值。例 5。（1）已知 log 18 9=a,18 b=5,求 log 36 45（用 a,b 表示）（2）设 1643tzyx 求证：yxz2111 题型 4：指数、对数方程 例 6：解方程（1）1123log2122xxx （2）0logloglog432x 例 7设关于x的方程bbxx(0241R），（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。1.【巩固练习】1.若0logloglogloglogloglogloglog324243432zyx，则zyx的值为 A50 B58 C89 D111 （）2.若273291xx，则x=；3.已知3234xxy的值域为1，7，则x的取值范围是 （）A.，B.)0,(C.4,2)1,0(D.2,1)0,(4 若,310,210yx则2310yx 5.已知1249a(a0)，则23log a .6.（1）222lg5lg8lg5lg20(lg2)3；（2）24525log 5+log 0.2log 2+log0.5.7.若lglg2lg2lglgxyxyxy，求xy的值 8.解下列指数方程：(1)12882x (2)2592162xx (3)4828127xx (4)05052352xx 1 9.解下列对数方程 (1)6(log3)2(log)14(log222xxx (2)23log)(log923xx (3)12lg(21155lgxx (4)01)(logloglog232x 10.如果函数)1,0(122aaaayxx在区间-1，1上的最大值是 14，求a的值。11.设3421lg)(axfxx若 1,(x时)(xf有意义，求实数a的范围。【思维总结】1bNNaaNabnlog,（其中1,0,0aaN）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底；2要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；3解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；1【课后作业】1.计算。1）121121；（2）625625 2.化简下列各式（结果用有理数指数幂表示）：（1）aaa432；（2）)0(313373329aaaaa；3.化简下列各式（结果用有理数指数幂表示）：（1）)3()6)(2(656131212132bababa；（2）31343114132)()(zyxzyx 4.已知71aa，求下列各式的值：（1）2121 aa；（2）22 aa；（3）33 aa；5.计算：（1）12lg)2(lg5lg2lg)2(lg222；（2）5log2333338log932log2log2；（3）40lg5lg250lg2lg22 1 6.（1）已知2log3a，53 b，用ba,表示30log3；（2）设ba3lg,2lg，用ba,表示12log5；7.设1x，1y，且2log2log30 xyyx，求224Txy的最小值。8.（1）已知3643yx，求xyyx2的值。答案详解 题型 1：指数运算 例 1 解：（1）原式=41322132)10000625(102450)81000()949()278(1 922)2917(211024251253794；（2）原式=33)33(2)13(2)33(23242)33(22 =6226)3612(2)33)(33()33(22 （注意复习，根式开平方）（3）原式=51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()()2()(aaaaababbaabaa 23231616531313131312)2(aaaaaabaabaa。（4）原式ababaaabaabbaabaa8)8(242)8(313131313231313231 点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。例 2 解：11223xx，11222()9xx，129xx，17xx，1 2()49xx，2247xx，又331112222()(1)3(7 1)18xxxxxx ，223322247231833xxxx。点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。题型 2：对数运算 例 3 解：（1）原式22(lg2)(1lg5)lg2lg5(lg2lg5 1)lg22lg5 (1 1)lg 22lg52(lg 2lg5)2；（2）原式lg2lg2lg3lg3lg2lg2lg3lg3()()()()lg3lg9lg4lg8lg32lg32lg23lg2 3lg2 5lg352lg3 6lg24；（3）分子=3)2lg5(lg2lg35lg3)2(lg3)2lg33(5lg2；分母=41006lg26lg101100036lg)26(lg；原式=43。1 点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧。例 4 证明：（1）左边222logloglog()abcabcabc abcabab 22222222222()22loglogloglog 2 1a bcaab bcab ccababab；解：（2）由4log(1)1bca得14bca，30abc 由82log()3abc得2384abc 由得2ba 由得3cab，代入222abc得2(43)0aab，0a，430ab 由、解得6a，8b，从而10c。点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。题型 3：指对数式的简单应用 例 5（1）解：log 18 9=a a2log1218log1818 log 18 2=1 a 18 b =5 log 18 5=b aba22log15log9log36log45log45log181818181836 （2）证：1643tzyx 6lglg4lglg3lglgtztytx，yttttxz21lg24lglg2lglg3lglg6lg11 题型 4：指数、对数方程 例 6：解（1）2,00212123222xxxxxxx 但必须：0123112012222xxxx 0 x舍去 2x（2）1loglog43x,3log4x,6443x 例 7 解：（1）原方程为124xxb，11)12(22)2(24221xxxxx，),1b当时方程有实数解；（2）当1b时，12 x，方程有唯一解0 x；当1b时，bbxx1121)12(2.1 bbxx112,011,02的解为)11(log2bx；令,0111011bbbbbx112,01时当的解为)11(log2bx；综合、，得 1）当01b时原方程有两解：)11(log2bx；2）当10bb或时，原方程有唯一解)11(log2bx；3）当1b时，原方程无解。点评：具有一些综合性的指数、对数问题，问题的解答涉及指数、对数函数，二次函数、参数讨论、方程讨论等各种基本能力，这也是指数、对数问题的特点，题型非常广泛，应通过解题学习不断积累经验。【巩固练习】1.答案:C 易得9,16,64zyx；2、-2 3、答案:D 先求出x2范围再求x的范围；4、362 5、3，6 解析：211222taayxatxx，（1）1a时，ata1 二次函数2)1(2 ty在,1aa上单调递增，142)1(2max ay，53aa或（舍去），（2）当10 a时，ata1，二次函数2)1(2 ty在1,aa上单调递增，142)11(2maxay，5131aa或（舍去），综上313或a。评析：换元之后，函数解析式变了，函数定义域也变了，二次函数最值问题，一般先讨论开口方向，再讨论对称轴和区间的相对位置。7、解：由已知得，当1,x时 03421xxa，0124xxa xxa214 4121212121214122xxxxxa 1,x ，,2121x，432141a。