最短距离问题习题.pdf

方法提点 运用轴对称解决距离最短问题:运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点 到直线上某点的距离和最小 这个核心，所有作法都相同 由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AOBOAC的长所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法 巩固拓展练习 一 武汉市 27 中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图 a 所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短 图 a 图 b 解：如图 b.(1)作C点关于OA的 对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿CPQD的路线行走，所走的总路程最短 二 如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大 分析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A(或B)，作直线AB(AB)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三 边来解决 解：如图所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A，AB的连线交l于点C，则点C即为所求 理由：在直线l上任找一点C(异于点C)，连接CA，CA，CA，CB.因为点A，A关于直线l对称，所以l为线段AA的垂直平分线，则有CACA，所以CACBCACBAB.又因为点C在l上，所以CACA.在ABC中，CACBCACBAB，所以CACBCAC B.点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法