正弦定理和余弦定理典型例题.pdf
正弦定理和余弦定理典型例题透析 类型一：正弦定理的应用：例 1已知在ABC中，10c，45A，30C，解三角形.思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a，然后用三角形内角和求出角B，最后用正弦定理求出边b.解析：sinsinacAC，sin10 sin4510 2sinsin30cAaC，180()105BAC，又sinsinbcBC，sin10 sin1056220sin75205 65 2sinsin304cBbC 总结升华：1.正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2.数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式 1】在ABC中，已知032.0A，081.8B，42.9acm，解三角形。【答案】根据三角形内角和定理，0180()CA B000180(32.081.8)066.2；根据正弦定理，00sin42.9sin81.880.1()sinsin32.0aBbcmA；根据正弦定理，00sin42.9sin66.274.1().sinsin32.0aCccmA【变式 2】在ABC中，已知075B，060C，5c，求a、A.【答案】00000180()180(7560)45ABC，根据正弦定理5sin45sin60ooa，5 63a.【变式 3】在ABC中，已知sin:sin:sin1:2:3ABC，求:a b c【答案】根据正弦定理sinsinsinabcABC，得:sin:sin:sin1:2:3a b cABC.例 2在3,60,1ABCbBc中，求：a和A，C 思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C，然后用三角形内角和求出角A，最后用正弦定理求出边a.解析：由正弦定理得：sinsinbcBC，sin1 sin601sin23cBCb，（方法一）0180C，30C 或150C，当150C 时，210180BC，（舍去）；当30C 时，90A，222abc（方法二）bc，60B，CB，60C 即C为锐角，30C，90A 222abc 总结升华：.1.正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。2.在利用正弦定理求角C时，因为0sinsin(180)CC，所以要依据题意准确确定角C的范围，再求出角C.3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.举一反三：【变式 1】在ABC中，6c，2a，45A，求b和,B C【答案】sinsinacAC，sin6sin453sin22cACa，0180C，60C 或120C 当60C 时，75B，sin6sin7531sinsin60cBbC；当120C 时，15B，sin6sin1531sinsin60cBbC；所以，31,75,60bBC或31,15,120bBC【变式 2】在ABC中20a,210b,45A,求B和c；-【答案】10 2sin45sinoaB，1sin2B 0180B，30B 或150B 当30B 时，105C，)13(10c；当150B 时，195180AB（舍去）。【变式 3】在ABC中，60B，14a,7 6b,求A.【答案】由正弦定理，得226760sin14sinsin0bBaA.ab,AB，即 060A 45A 类型二：余弦定理的应用：例 3已知ABC中，3AB、37BC、4AC，求ABC中的最大角。思路点拨:首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解.;解析：三边中37BC 最大，BC其所对角A最大，根据余弦定理：22222234(37)1cos22 3 42ABACBCAAB AC ，0180A，120A 故ABC中的最大角是120A.总结升华：1.ABC中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.举一反三：【变式 1】已知ABC中3a,5b,7c,求角C.【答案】根据余弦定理：2222225371cos22 3 52abcCab ，0180C，120oC *【变式 2】在ABC中，角,A B C所对的三边长分别为,a b c，若:a b c 6:2:31（），求ABC的各角的大小【答案】设6ak，2bk，31ck，0k 根据余弦定理得：263142cos22316B，0180B，45B；同理可得60A；18075CAB【变式 3】在ABC中，若222abcbc，求角A.【答案】222bcabc，2221cos22bcaAbc 0180A，120A 类型三：正、余弦定理的综合应用 例 4在ABC中，已知2 3a，62c，045B，求b及A.(思路点拨:画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边b，然后继续用余弦定理或正弦定理求角A.解析：由余弦定理得：2222cosbacacB=220(2 3)(62)2 2 3(62)cos45 =212(62)4 3(3 1)=8 2 2.b 求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：（法一：余弦定理）222222(2 2)(62)(2 3)1cos222 2 2(62)bcaAbc，、060.A（法二：正弦定理）02 33sinsinsin4522 2aABb 又62 2.4 1.4 3.8，2 3 2 1.8 3.6 ac，即00A090,060.A 总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好.举一反三：【变式 1】在ABC中，已知3b,4c,0135A.求B和C.【答案】由余弦定理得：21225135cos43243222oa，48.621225a 由正弦定理得：sin3sin135sin0.327obABaa，因为0135A 为钝角，则B为锐角，0/19 7B.00/180()25 53CAB.【变式 2】在ABC中，已知角,A B C所对的三边长分别为,a b c，若2a，2 2b，62c，求角A和sinC【答案】根据余弦定理可得：222884 343cos222 2 262bcaAbc 0180A，30A ；由正弦定理得：62 sin3062sinsin24cACa.
