泰勒公式及其应用典型例题.pdf

.上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出：于是，所求的多项式为：(2)二、【解决问题二】泰勒(Tayler)中值定理 假设函数在含有的*个开区间具有直到阶导数，则当时，可以表示成 这里是与之间的*个值。先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路：这说明：只要对函数及在与之间反复使用次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。【证明】以与为端点的区间或记为，。函数在 上具有直至阶的导数，且 函数在 上有直至阶的非零导数，且 于是，对函数及在 上反复使用次柯西中值定理，有.三、几个概念 1、此式称为函数按的幂次展开到阶的泰勒公式；或者称之为函数在点处的阶泰勒展开式。当时，泰勒公式变为 这正是拉格朗日中值定理的形式。因此，我们也称泰勒公式中的余项。为拉格朗日余项。2、对固定的，假设 有 此式可用作误差界的估计。故 说明：误差是当时较高阶无穷小，这一余项表达式称之为皮亚诺余项。3、假设，则在 与之间，它表示成形式，泰勒公式有较简单的形式 麦克劳林公式 近似公式 误差估计式【例 1】求的麦克劳林公式。解：，.利用泰勒展开式求函数的极限，可以说是求极限方法中的终极武器，使用这一方法可求许多其它方法难以处理的极限。【例 4】利用泰勒展开式再求极限。解：，【注解】现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处 因为，从而 当时，应为【例 5】利用三阶泰勒公式求的近似值，并估计误差。解：故：