第3节直线与圆、圆与圆的位置关系--备战2022年高考数学一轮复习配套word试题(创新设计版).pdf

第 3 节 直线与圆、圆与圆的位置关系 知 识 梳 理 1直线与圆的位置关系 设圆 C：(xa)2(yb)2r2，直线 l：AxByC0，圆心 C(a，b)到直线 l 的距离为 d，由（xa）2（yb）2r2，AxByC0 消去 y(或 x)，得到关于 x(或 y)的一元二次方程，其判别式为.方法 位置关系 几何法 代数法 相交 d0 相切 dr 0 相离 dr 0)上存在点 P，且点 P 关于直线 xy0 的对称点 Q 在圆 C2：(x2)2(y1)21 上，则 r 的取值范围是_(2)已知圆 C1：(xa)2(y2)24 与圆 C2：(xb)2(y2)21 相外切，则 ab的最大值为()A.62 B.32 C.94 D2 3 答案(1)21，21(2)C 解析(1)C2关于直线 xy0 的对称圆 C：(x1)2(y2)21，由题意，圆 C与圆 C1有交点，所以 r1 2r1，所以 r 的范围是 21，21(2)由圆 C1与圆 C2相外切，可得（ab）2（22）2213，即(ab)29，根据基本不等式可知 abab2294，当且仅当 ab 时等号成立 基础巩固题组 一、选择题 1(2021北京朝阳区期末)在平面直角坐标系 xOy 中，过 A(4，4)，B(4，0)，C(0，4)三点的圆被 x 轴截得的弦长为()A4 B4 2 C2 D2 2 答案 A 解析 根据题意，设过 A、B、C 的圆为圆 M，其方程为 x2y2DxEyF0，又由 A(4，4)，B(4，0)，C(0，4)，则有324D4EF0，164DF0，164EF0，可得 D4，E4，F0，即圆 M 的方程为 x2y24x4y0，令 y0 可得 x24x0，可得 x10，x24，即圆与 x 轴的交点的坐标为(0，0)，(4，0)，则圆被 x 轴截得的弦长为 4.2 若过点(3，1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A2xy50 B2xy70 Cx2y50 Dx2y70 答案 B 解析 过点(3，1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，点(3，1)在圆(x1)2y2r2上，圆心与切点连线的斜率k103112，切线的斜率为2，则圆的切线方程为y12(x3)，即 2xy70.故选 B.3(2021温州适考)已知直线 l：axbyb0，圆 C：x2y22x0，则“a0”是“直线 l 与圆 C 相切”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 依题意，圆心坐标为 C(1，0)，圆 C 的半径为 1，所以圆心 C 到直线 l 的距离 d|ab|a2b2，所以直线与圆相切，即 d|ab|a2b21，解得 a0 或 b0，所以“a0”是“直线 l 与圆 C 相切”的充分不必要条件，故选 A.4(2020全国卷)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 2xy30 的距离为()A.55 B.2 55 C.3 55 D.4 55 答案 B 解析 由题意可知圆心在第一象限，设圆心坐标为(a，b)(a0，b0)圆与两坐标轴均相切，ab，且半径 ra，圆的标准方程为(xa)2(ya)2a2.点(2，1)在圆上，(2a)2(1a)2a2，a26a50，解得 a1 或 a5.当 a1 时，圆心坐标为(1，1)，此时圆心到直线 2xy30 的距离 d|2113|22（1）22 55；当 a5 时，圆心坐标为(5，5)，此时圆心到直线 2xy30 的距离 d|2553|22（1）22 55.综上，圆心到直线2xy30 的距离为2 55.5(2021浙江名校新高考研究联盟三联)“a3”是“圆 O：x2y22 与圆 C：(xa)2(ya)28 外切”的()A必要不充分条件 B充分不必要条件 C必要条件 D既不充分条件也不必要条件 答案 B 解析 由题可得两圆的圆心分别为 O(0，0)，C(a，a)，则圆心距|OC|2|a|，两圆的半径分别为 2，2 2.若两圆外切，则|OC|2|a|22 23 2，所以 a3.所以“a3”是“圆 O：x2y22 与圆 C：(xa)2(ya)28 外切”的充分不必要条件，故选 B.6(2021北京房山区期末)已知点 A(4，0)，B(6，0)，点 P 在圆 x2(y4)24 上运动，M 为线段 BP 的中点，则使OAM(O 为坐标原点)为直角三角形的点 M 的个数为()A1 B2 C3 D4 答案 C 解析 设 M(x，y)，P(a，b)，由 B(6，0)，M 是 BP 的中点，故有 a2x6，b2y，又 P 为圆 x2(y4)24 上一动点，(2x6)2(2y4)24，整理得(x3)2(y2)21.故 AP 的中点 M 的轨迹方程是(x3)2(y2)21.OAM(O 为坐标原点)为直角三角形，若OMA90，以 OA 为直径的圆的方程为(x2)2y24，此时两圆圆心距为 21（32）2（20）2 512，故两圆相交，故M 有两个；若OAM90，x4 与圆(x3)2(y2)21 相切，这样的 M 点有一个；若AOM90，这样的 M 点不存在，故使OAM(O 为坐标原点)为直角三角形的点 M 的个数为 3 个 二、填空题 7已知直线 l：x 3y60 与圆 x2y212 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，则|CD|_ 答案 4 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x 3y60，x2y212，得 y23 3y60，解得 y1 3，y22 3，A(3，3)，B(0，2 3)过 A，B 作 l 的垂线方程分别为 y 3 3(x3)，y2 3 3x，令 y0，得 xC2，xD2，|CD|2(2)4.8由直线 yx1 上的一点向圆(x3)2y21 引切线，则切线长的最小值为_.答案 7 解析 设直线上一点为 P，切点为 Q，圆心为 M，则|PQ|即切线长，MQ 为圆 M的半径，长度为 1，|PQ|PM|2|MQ|2|PM|21.要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线 yx1 上的点到圆心 M的最小距离 设圆心到直线 yx1 的距离为 d，则 d|301|12（1）22 2.所以|PM|的最小值为 2 2.所以|PQ|PM|21（2 2）21 7.9若点 P 在圆 C1：x2y28x4y110 上，点 Q 在圆 C2：x2y24x2y10 上，则|PQ|的最小值是_；|PQ|的最大值是_ 答案 3 55 3 55 解析 把圆 C1、圆 C2的方程都化成标准形式，得(x4)2(y2)29，(x2)2(y1)24.圆 C1的圆心坐标是(4，2)，半径长是 3；圆 C2的圆心坐标是(2，1)，半径长是 2.圆心距 d（42）2（21）23 5.所以|PQ|的最小值是 3 55，|PQ|的最大值为 3 55.10 若实数 x，y 满足 x2y22 3x2y30，则 x2y2的取值范围是_，yx的取值范围是_ 答案 1，9 0，3 解析 由条件得(x 3)2(y1)21.x2y2可以看成圆(x 3)2(y1)21 上的点与坐标原点的距离，则其最大值是 3，最小值是 1，所以 x2y21，9 yx可以看成圆(x 3)2(y1)21 上的点与坐标原点连线的斜率，则yx0，3 三、解答题 11(一题多解)已知直线 l：ykx1，圆 C：(x1)2(y1)212.(1)试证明：不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点；(2)求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长 法一(1)证明 由ykx1，（x1）2（y1）212，消去 y 得(k21)x2(24k)x70，因为(24k)228(k21)0，所以不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点(2)解 设直线与圆交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则直线 l 被圆 C 截得的弦长|AB|1k2|x1x2|284k11k21k22 114k31k2，令 t4k31k2，则 tk24k(t3)0，当 t0 时，k34，当 t0 时，因为 kR，所以 164t(t3)0，解得1t4，且 t0，故 t4k31k2的最大值为 4，此时|AB|最小为 2 7.法二(1)证明 因为不论 k 为何实数，直线 l 总过点 P(0，1)，而|PC|52 3r，所以点 P(0，1)在圆 C 的内部，即不论 k 为何实数，直线 l 总经过圆 C 内部的定点 P.所以不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点(2)解 由平面几何知识知过圆内定点 P(0，1)的弦，只有与 PC(C 为圆心)垂直时才最短，而此时点 P(0，1)为弦 AB 的中点，由勾股定理，知|AB|2 1252 7，即直线 l 被圆 C 截得的最短弦长为 2 7.12已知过点 A(0，1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x2)2(y3)21 交于 M，N 两点(1)求 k 的取值范围；(2)若OMON12，其中 O 为坐标原点，求|MN|.解(1)易知圆心坐标为(2，3)，半径 r1，由题设，可知直线 l 的方程为 ykx1，因为 l 与 C 交于两点，所以|2k31|1k21.解得4 73k4 73.所以 k 的取值范围为4 73，4 73.(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)将 ykx1 代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以 x1x24（1k）1k2，x1x271k2.OMONx1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)14k（1k）1k28.由题设可得4k（1k）1k2812，解得 k1，所以 l 的方程为 yx1.故圆心 C 在 l 上，所以|MN|2.能力提升题组 13设直线 l：3x4ya0，圆 C：(x2)2y22，若在圆 C 上存在两点 P，Q，在直线 l 上存在一点 M，使得PMQ90，则 a 的取值范围是()A18，6 B65 2，65 2 C16，4 D65 2，65 2 答案 C 解析 设直线 l：3x4ya0 上任意一点 M1.当 M1Q，M1P 分别与圆相切时，PM1Q 最大，随着 M1的运动，当 CM1与直线 l 垂直时，PM1Q 取到最大值，此时四边形 CPM1Q 为正方形，|CM1|2.利用点到直线的距离公式得|6a|32422，解得 a16 或 a4，只需PM1Q90，即|CM1|2，即可存在点 M 满足题意，所以 a 的取值范围是16，4 14(2020全国卷)已知M：x2y22x2y20，直线 l：2xy20，P为 l 上的动点过点 P 作M 的切线 PA，PB，切点为 A，B，当|PM|AB|最小时，直线 AB 的方程为()A2xy10 B2xy10 C2xy10 D2xy10 答案 D 解析 M：(x1)2(y1)24，则圆心 M(1，1)，M 的半径为 2.如图，由题意可知 PMAB，S四边形PAMB12|PM|AB|PA|AM|2|PA|，|PM|AB|4|PA|4|PM|24.当|PM|AB|最小时，|PM|最小，此时 PMl.故直线 PM 的方程为 y112(x1)，即 x2y10.由x2y10，2xy20，得x1，y0，P(1，0)又直线 x1，即 PA 与M 相切，PAx 轴，PAMA，A(1，1)又直线 AB 与 l 平行，设直线 AB 的方程为 2xym0，将 A(1，1)的坐标代入 2xym0，得 m1.直线 AB 的方程为 2xy10.故选 D.15在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P32，0，A，B 是圆 C：x2y12236上的两个动点，满足|PA|PB|，则PAB 面积的最大值是_ 答案 10 5 解析 连接 CA，CB，则|CA|CB|，连接 CP，由|PA|PB|且|CA|CB|得 AB 的垂直平分线是直线 CP.设圆心 C 到 AB的距离为 d(0d6)，易知当PAB 的面积最大时，点 P 到直线 AB 的距离为 d|PC|d1，|AB|2 36d2，PAB的 面 积S 12|AB|(d 1)12236d2(d 1)36（d1）2d2（d1）2.令 d1t，t1，7)，则 S36t2（t1）2t2.令 f(t)36t2(t1)2t2t42t335t2，t1，7)，则 f(t)4t36t270t 2t(t5)(2t7)，由 f(t)0 及 t1，7)，得 t5，则当 t1，5)时，f(t)0，f(t)单调递增，当 t(5，7)时，f(t)0，f(t)单调递减，所以 f(t)maxf(5)500，则PAB 面积的最大值为 10 5.16已知圆 O1和圆 O2都经过点 A(0，1)，若两圆与直线 4x3y50 及 y10 均相切，则|O1O2|_ 答案 5 解析 设圆 O1的圆心为(a1，b1)，半径为 r1，则由题意，有 r1|b11|，a21（1b1）2r21，|4a13b15|5|b11|，设圆 O2的圆心为(a2，b2)，半径为 r2，将代入中，得 a214b1，将代入中，|4a13a2145|5|a2141|，解得 a10 或 a12，a10b10或a12，b11，同理a20，b20或a22，b21，所以|O1O2|（a1a2）2（b1b2）2 5.17已知直线 l：4x3y100，半径为 2 的圆 C 与 l 相切，圆心 C 在 x 轴上且在直线 l 的右上方(1)求圆 C 的方程；(2)过点 M(1，0)的直线与圆 C 交于 A，B 两点(A 在 x 轴上方)，问在 x 轴正半轴上是否存在定点 N，使得 x 轴平分ANB？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 解(1)设圆心 C(a，0)a52，则|4a10|52a0 或 a5(舍)所以圆 C 的方程为 x2y24.(2)当直线 ABx 轴时，x 轴平分ANB.当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 yk(x1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x2y24，yk（x1），得(k21)x22k2xk240，所以 x1x22k2k21，x1x2k24k21.若 x 轴平分ANB，则 kANkBNy1x1ty2x2t0k（x11）x1tk（x21）x2t02x1x2(t1)(x1x2)2t02（k24）k212k2（t1）k212t0t4，所以当点 N 为(4，0)时，能使得ANMBNM 总成立 18已知圆 O：x2y24 和点 M(1，a)(1)若过点 M 有且只有一条直线与圆 O 相切，求实数 a 的值，并求出切线方程(2)若 a 2，过点 M 作圆 O 的两条弦 AC，BD 互相垂直，求|AC|BD|的最大值 解(1)由条件知点 M 在圆 O 上，所以 1a24，则 a 3.当 a 3时，点 M 为(1，3)，kOM 3，k切33，此时切线方程为 y 333(x1)即 x 3y40，当 a 3时，点 M 为(1，3)，kOM 3，k切33.此时切线方程为 y 333(x1)即 x 3y40.所以所求的切线方程为 x 3y40 或 x 3y40.(2)设 O 到直线 AC，BD 的距离分别为 d1，d2(d1，d20)，则 d21d22OM23.又有|AC|2 4d21，|BD|2 4d22，所以|AC|BD|24d212 4d22.则(|AC|BD|)24(4d214d222 4d214d22)452 164（d21d22）d21d22 4(52 4d21d22)因为 2d1d2d21d223，所以 d21d2294，当且仅当 d1d262时取等号，所以 4d21d2252，所以(|AC|BD|)24525240.所以|AC|BD|2 10，即|AC|BD|的最大值为 2 10.