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分式方程应用题分类讲解与训练 一、【行程中的应用性问题】例 1 甲、乙两个车站相距 96 千米，快车和慢车同时从甲站开出，1 小时后快车在慢车前 12 千米，快车比慢车早 40 分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少 分析：所行距离 速度 时间 快车 96 千米-x 千米/小时 慢车 96 千米（x-12）千米/小时 等量关系：慢车用时=快车用时+（小时）例 2 甲、乙两地相距 828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的倍直达快车比普通快车晚出发 2h，比普通快车早 4h 到达乙地，求两车的平均速度,分析：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程=速度时间，应根据题意，找出追击问题总的等量关系，即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等 解：设普通快车车的平均速度为xkmh，则直达快车的平均速度为xh，依题意，得 xx6828=x5.1828，解得46x，经检验，46x 是方程的根，且符合题意 46x，1.569x，即普通快车车的平均速度为 46kmh，直达快车的平均速度为 69kmh 评析：列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系，设好未知数，列出方程不同之处是：所列方程是分式方程，最后进行检验，既要检验其是否为所列方程的96x9612x4060 解，要要检验是否符合题意，即满足实际意义 例 3 A、B 两地相距 87 千米，甲骑自行车从 A 地出发向 B 地驶去，经过 30 分钟后，乙骑自行车由 B 地出发，用每小时比甲快 4 千米的速度向 A 地驶来，两人在距离 B 地 45 千米 C处相遇，求甲乙的速度。分析：等量关系：甲用时间=乙用时间+（小时）,例 4 一队学生去校外参观他们出发 30 分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍若骑车的速度是队伍行进速度的 2 倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是 15 千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？解：设步行速度为 x 千米时，骑车速度为 2x 千米时，依题意，得：方程两边都乘以 2x，去分母，得 30-15x，所以，x15 检验：当 x15 时，2x2150，所以 x15 是原分式方程的根，并且符合题意 ，骑车追上队伍所用的时间为 30 分钟 所行距离 速度 时间 甲（87-45）千米 x 千米/小时 乙 45 千米（x+4）千米/小时 30608745x454x 例 5 农机厂职工到距工厂 15 千米的生产队检修农机，一部分人骑自行车先走，40 分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的 3 倍，求两车的速度 解：设自行车的速度为 x 千米/小时，那么汽车的速度为 3x 千米/小时，依题意，得：解得 x15 经检验 x15 是这个方程的解 当 x15 时，3x45 即自行车的速度是 15 千米/小时，汽车的速度为 45 千米/小时 例 6 甲乙两人同时从一个地点相背而行，1 小时后分别到达各自的终点 A 与 B；若从原地出发，但是互换彼此的目的地，则甲将在乙到达 A 之后 35 分钟到达 B，求甲与乙的速度之比。分析：)等量关系：甲走 OB 的时间-乙走 OA 的时间=35 分钟 1.、电力维修工要到 30 千米远的郊区进行电力抢修.技术工人骑摩托车先走，15 分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果他们同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的倍，求这两种车的速度.2.乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城.已知A、C两城的距离为 450千米，B、C两城的距离为 400 千米，甲车比乙车的速度快 10 千米/时，结果两辆车同时到达C城.求两车的速度.3某人往返于 A、B 两地，去时先步行 2 千米，再乘汽车行 10 千米，回来时骑自行车，来回所用时间恰好相等.已知汽车每小时比这人步行多走 16 千米，步行又比骑车每小时少走 8 千米.若来回完全乘汽车能节约多少时间 ;4注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，填写表格，并完成本题解答的全过程如果你选用其他的解题方案，此时，不必填写表格，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可 天津市奥林匹克中心体育场“水滴”位于天津市西南部的奥林匹克中心内，某校九年级学生由距“水滴”10 千米的学校出发前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了 20 分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达已知汽车的速度是骑车同学速度的 2 倍，求骑车同学的速度（）设骑车同学的速度为x千米/时，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表（要求：填上适当的代数式，完成表格）速度（千米时）所用时间（时）所走的路程（千米）骑自行车-x 10 乘汽车 10（）列出方程（组），并求出问题的解 0,n0,mn)，依题意，得：采购员 A 两次购买饲料的平均单价为(元千克)，采购员 B 两次购买饲料的平均单价为(元千克)而0 也就是说，采购员 A 所购饲料的平均单价高于采购员 B 所购饲料的平均单价，所以选用采购员 B 的购买方式合算 例 3 某商场销售某种商品，一月份销售了若干件，共获得利润 30000 元;二月份把这种商品的单价降低了 元，但是销售量比一月份增加了 5000 件，从而获得利润比一月份多 2000元，调价前每件商品的利润为多少元 分析：可以列出三个等量关系 12 月份销售量一 1 月份销售量=5000 22 月份销售量2 月份利润=2 月份总利润 混合销售与分开销售的销售额相同，这包甲糖果有多少千克 6某文化用品商店用 2000 元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的 3 倍，但单价贵了 4 元，结果第二批用了 6300 元。（1）求第一批购进书包的单价是多少元（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是 120 元，全部售出后，商店共盈利多少元 7今年以来受各种因素的影响，猪肉的市场价格仍在不断上升据调查，今年 5 月份一级猪肉的价格是 1 月份猪肉价格的倍 小英同学的妈妈同样用 20 元钱在 5 月份购得一级猪肉比在 1月份购得的一级猪肉少斤，那么今年 1 月份的一级猪肉每斤是多少元 8、某工厂去年赢利 25 万元，按计划这笔赢利额应是去、今两年赢利总额的 20%，今年的赢利额应是多少 9、某商品的标价比成本高 p%，当该商品降价出售，为了不亏本，降价幅度不得超过 d%，请用p 表示 d。10.某商场根据市场信息,对商场中现有的两台不同型号得空调进行调价销售其中一台空调调价后售出可获利 10(相对与进价)另一台空调调价后售出要亏本 10(相对与进价),而这两台空调调价后的售价恰好相同,那么商场把这两台空调调价后售出()A 即不获利也不亏本 B 可获利 1 C 要亏本 2 D 要亏本 1 四、【轮船顺逆水应用问题】例 1 轮船顺流、逆流各走 48 千米，共需 5 小时，如果水流速度是 4 千米/小时，求轮船在静水中的速度。/分析：顺流速度=轮船在静水中的速度+水流的速度 逆流速度=轮船在静水中的速度-水流的速度 等量关系：顺流用时+逆流用时=5（小时）例 2 轮船在顺水中航行 30 千米的时间与在逆水中航行 20 千米所用的时间相等，已知水流速度为 2 千米时，求船在静水中的速度。分析：此题的等量关系很明显：顺水航行30 千米的时间=逆水中航行 20 千米的时间，即顺水航行速度千米30=逆水航行速度千米20设船在静水中的速度为x千米时，又知水流速度，于是顺水航行速度、逆水航行速度可用未知数表示，问题可解决 解：设船在静水中速度为x千米时，则顺水航行速度为(2)x千米时，逆水航行速度为(2)x千米时，依题意，得 230 x=220 x，解得10 x 经检验，10 x 是所列方程的根 即船在静水中的速度是 10 千米时 1、轮船顺水航行 80 千米所需要的时间和逆水航行 60 千米所用的时间相同。已知水流的速度是 3 千米/时，求轮船在静水中的速度。|路程 速度 时间 顺流 48 千米(x+4)千米/小时 逆流 48 千米(x-4)千米/小时 484x484x 2已知一个汽船在顺流中航行 46 千米和逆流中航行 34 千米共用去的时间正好等于它在静水中航行 80 千米用去的时间并且水流的速度是每小时 2 千米求汽船在静水中的速度。3、轮船顺水航行 80 千米所需的时间和逆水航行 60 千米所需的时间相同，已知船在静水中的速度是 21 千米小时，求水流的速度 4、某人沿一条河顺流游泳 l 米，然后逆流游回出发点，设此人在静水中的游泳速度为 xm/s,水流速度为 nm/s,求他来回一趟所需的时间 t。T=（1/x+n）+（1/x-n）（1）小芳在一条水流速度是 s 的河中游泳，她在静水中游泳的速度是 s,而出发点与河边一艘固定小艇间的距离是 60m,求她从出发点到小艇来回一趟所需的时间。解：设她从出发点到小艇来回一趟所需 X/s +=120 X=2000/13（2）志勇是小芳的邻居，也喜欢在该河中游泳，他记得有一次出发点与柳树间来回一趟大约用了，假设当时水流的速度是 s，而志勇在静水中的游泳速度是 s，那么出发点与柳树间的距离大约是多少 解：设发点与柳树间的距离大约是 x/m】=150 秒 方程x/+x/=150 x=750/13 5、已知一个汽船在顺流中航行 46 千米和逆流中航行 34 千米共用去的时间正好等于它在静水中航行 80 千米用去的时间并且水流的速度是每小时 2 千米求汽船在静水中的速度。6、某人沿一条河顺流游泳 l 米，然后逆流游回出发点，设此人在静水中的游泳速度为 xm/s,水流速度为 nm/s,求他来回一趟所需的时间 t。7、小芳在一条水流速度是 0.01m/s 的河中游泳，她在静水中游泳的速度是 0.39m/s,而出发点与河边一艘固定小艇间的距离是 60m,求她从出发点到小艇来回一趟所需的时间。8、志勇是小芳的邻居，也喜欢在该河中游泳，他记得有一次出发点与柳树间来回一趟大约用了，假设当时水流的速度是 0.015m/s，而志勇在静水中的游泳速度是 0.585m/s，那么出发点与柳树间的距离大约是多少 9、一艘轮船在静水中的最大航速为 30 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行 100 千米所用的时间与以最大航速逆流航行 60 千米所用的时间相等，问：江水的流速为多少设江水的流速为x千米/时，则可列方程【】#(A)xx306030100(B)306030100 xx(C)xx306030100；(D)306030100 xx 10、一艘轮船在静水中的最大航速为 20 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行 100 千米所用时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等，江水的流速为多少 路程（千米）速度（千米/时）时间（小时）顺水航行 逆水航行 相等关系 五、【其他应用性问题】例 1 要在 15%的盐水 40 千克中加入多少盐才能使盐水的浓度变为 20%分析：设加入盐x千克浓度问题的基本关系是：溶液溶质=浓度 溶液 溶质 浓度 加盐前 40 4015%15%加盐后 40 x 4015%x 20%解：设应加入盐x千克，依题意，得xx40%1540=10020 100(4015%x)=20(40 x)，解得25x 经检验，25x 是所列方程的根，即加入盐千克 1、某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640 名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致，已知甲的输入速度是乙的 2倍，结果甲比乙少用 2 小时输完。问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩|2、供电局的电力维修工要到 30 千米远的郊区进行电力抢修，技术工人骑摩托车先走，15 分钟后，抢修车装载这所需材料出发，结果他们同时到达，已知抢修的速度是摩托车的倍。求这两种车的速度。3、4、某大商场家电部送货人员与销售人员人数之比 1：8，今年夏天由于家电购买量明显增多，家电部经理从销售人员中抽调了 22 人去送货，结果送货人员与销售人员人数之比位 2：5.求这个商场家电部原来各有多少名送货和销售人员 5、某校成绩市法律只是竞赛的 n 名学生的成绩分别位 a1，a2,an，则这 n 名学生的平均成绩位 。6、7、甲、乙两辆汽车同时分别从 A、B 两城沿同一条高速公路驶向 C 城。已知 A、C 两城的距离为 450 千米，B、C 两城的距离为 400 千米，甲车比乙车的速度快 10 千米/时，结果两辆车同时到达 C 城。求两车的速度。8、某厂储存了 350t 煤，由于改进炉灶结构和烧煤技术，每天能节约 2t 煤，使储存的煤比原计划多用了 20 天。（1）若设原计划用 x 天，则根据每天能节约 2t 煤的关系列方程：（2）（3）若设原计划每天烧 yt 煤，则根据储存的煤比原计划多了 20 天的关系列方程：9、在 2008 年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电，该地供电局立即组织电工进行抢修。已知供电局距离抢修工地 15km，抢修车装载这所需材料先从供电局出发，15min 后，电工乘吉普车从同乙地点出发，结果他们同时到达抢修工地，又知吉普车速度是抢修车速度的倍。若设抢修车的速度位 xkm/h，则依题意可列方程：；10、某市为治理污水，需要铺设一段全长位 3000m 的污水输送管道，为了尽量减少施工队城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划提高 25%，结果提前 30 天完成任务。若设原计划每天铺设 xm，则依题意可列方程 11、某运输公司需要装运一批货物，先用人工装运，6h 完成了一半任务，后来机械装运和人工装运一起进行，1h 完成了后一半任务。如果设单独采用机械装运 xh 可以完成后一半任务，那么 x 满足的方程为 10、学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习。甲同学跳 180 个所用的时间与乙同学们跳 240个所用的时间一样。又已知甲每分钟比乙少跳 5 个，求每人每分钟各跳多少个;11、两个小组同时开始攀登一座450m 高的山，第一组的攀登速度是第二组的倍，他们比第二组早 15min 到达顶峰。两个小组的攀登速度各是多少 12、在“大地震”灾民安置工作中，某企业接到一批生产甲种板材 24000m2和乙种板材 12000m2的任务。已知该企业安排 140 人生产这两种板材，每人每天能生产板材 30m2.问：应分别安排多少人生产甲种板材和乙种板材，才能确保他们用相同的时间完成各自的生产任务 13、某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器，现在生产 600 台机器所需的时间与原计划生产 450 台机器所需的时间相同。现在平均每天生产多少台机器 20、一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的 150 倍。用这台机器收割 10 公顷小麦比 100 个农民人工收割这些小麦要少用 1h。这台收割机每小时收割多少公顷小麦 14、某乡要修一条堤坝，规定 x 天完成。若由甲队单独做，恰能如期完成；若由乙队单独做，则要超过规定日期 3 天完成。现由甲、乙两队合作 2 天，余下的工程由乙队单独做，恰能如期完成，问：规定日期是多少天 ）15、2008 年 5 月 12 日 14h28min，四川汶川发生了级大地震，震后两小时，武警某师参谋长王毅奉命率部队乘车火速向汶川县城开进。13 日凌晨 1h15min，车行至古尔沟，巨大的山体塌方将道路完全堵塞，部队无法继续前进，王毅毅然决定带领先遣分队徒步向汶川挺进，到达理县时为救援当地受灾群众而耽搁了 1h，随后，先遣分队步行速度提高 1/9，于 13 日 23h15min 赶到汶川县城。（1）设先遣分队从古尔沟到理县的步行平均速度为 xkm/h,根据题意填写下表 s(km)U(km/h)%T(h)古尔沟到理县 30 理县到汶川 60 (2)根据题意及表中所得的信息列出方程，并求出先遣分队徒步从理县到汶川的平均速度是每小时多少千米|16、某商厦用 8 万元购进一种衬衫，销完后又用万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批的2倍，但购入单价贵了4元。若设第一批购进x件，则x满足的方程位 ，解之得 x=。已知商厦销售这种衬衫时每件定价都是 56 元，最后剩下 150 件按八折售完。在这两笔生意中，该商厦共赢利 元。|17、甲、乙两班学生参加植树造林，已知甲班每天比乙 班多植 5 棵，甲班植 80 棵所用的天数与乙班植 70 棵所用的天数相等。若设甲班每天植 x 棵，则依题意可得方程 18、x 各同学包租一辆车去景点旅游，租金位 180 元，出发时增加了 2 个同学，结果每个同学比原来少分摊 3 元，则 x 满足的方程为 19、2004 年 12 月 28 日，我国第一条城际铁路合宁铁路（合肥至南京）正式开工建设，建成后，合肥至南京的铁路运行里程将由目前的 312km 缩短至 154km，设计时速是现行时速的倍，旅客列车运行时间将因此缩短约，求合宁铁路的设计时速。20、甲、乙两地相距 19 千米，某人从甲地去乙地，先步行 7 千米，然后改骑自行车，共用了 2小时达到乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的 4 倍，求步行的速度和骑自行车的速度。路程（千米）速度（千米/时）时间（小时）步行 骑自行车 21、张明 4 小时清点完一批图书的 一半，李强加入清点另一半图书的工作，两人合作 1 小时清点完另乙半图书，如果李强单独清点这批图书需要几小时 效率 时间 工作量 张明 李强 22、某学校学生进行急行军训练，预计行 60 千米的路程在下午 5 时到达，后来由于八速度加快 1/5，结果于下午 4 时到达，求原计划行军的速度 23、甲容器中有 15%的盐水 30 升，乙容器中有 18%的盐水 20 升，如果向两个容器各加入等量的水，使它们的浓度相等，那么加入的水是多少升