高中数学《3.2.3直线的一般式方程》学案新人教A版必修.pdf

3.2.3 直线的一般式方程学案 一学习目标：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式，体会一般式与直线其它方程形式之间的关系.二重点、难点：重点：难点：三知识要点：1.一般式（general form）：0AxByC，注意 A、B 不同时为 0.直线一般式方程0(0)AxByCB化为斜截式方程ACyxBB，表示斜率为AB，y 轴上截距为CB的直线.2 与直线:0l AxByC平行的直线，可设所求方程为0AxByC；与直线0AxByC垂直的直线，可设所求方程为0BxAyC.过点00(,)P xy的直线可写为00()()0A xxB yy.经过点0M，且平行于直线 l 的直线方程是00()()0A xxB yy；经过点0M，且垂直于直线 l 的直线方程是00()()0B xxA yy.3.已知直线12,l l的方程分别是：1111:0lA xB yC（11,A B不同时为 0），2222:0lA xB yC（22,A B不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）1212120llA AB B；（2）1212211221/0,0llABA BACA B；（3）1l与2l重 合122112210,0ABA BACA B；（4）1l与2l相 交12210ABA B.如果2220A B C 时，则11112222/ABCllABC；1l与2l重合111222ABCABC；1l与2l相交1122ABAB.四自主探究 例题精讲：【例 1】已知直线1l：220 xmym，2l：10mxym，问 m 为何值时：（1）12ll；（2）12/ll.解：（1）12ll时，12120A AB B，则110mm，解得 m0.（2）12/ll时，12211mmmm,解得 m1.【例 2】（1）求经过点(3,2)A且与直线420 xy平行的直线方程；（2）求经过点(3,0)B且与直线250 xy垂直的直线方程.解：（1）由题意得所求平行直线方程4(3)(2)0 xy，化为一般式4140 xy.（2）由 题 意 得 所 求 垂 直 直 线 方 程(3)2(0)0 xy，化 为 一 般 式230 xy.【例 3】已知直线 l 的方程为 3x+4y12=0，求与直线 l 平行且过点（1，3）的直线的方程 分析：由两直线平行，所以斜率相等且为34，再由点斜式求出所求直线的方程.解：直线 l:3x+4y12=0 的斜率为34，所求直线与已知直线平行，所求直线的斜率为34，又由于所求直线过点（1，3），所以，所求直线的方程为：33(1)4yx，即3490 xy.点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程.此题也可根据直线方程的一种形式00()()0A xxB yy而直接写出方程，即3(1)4(3)0 xy，再化简而得.【例 4】直线方程0AxByC的系数 A、B、C 分别满足什么关系时，这条直 线分别有以下性质?（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与 x 轴相交；（3）只与 y 轴相交；（4）是 x轴所在直线；（5）是 y 轴所在直线.分析：由直线性质，考察相应图形，从斜率、截距等角度，分析系数的特征.解：（1）当 A0，B0，直线与两条坐标轴都相交.（2）当 A0，B=0 时，直线只与 x 轴相交.（3）当 A0，B0 时，直线只与 y 轴相交.（4）当 A0，B0，C0，直线是 x 轴所在直线.（5）当 A0，B0，C0 时，直线是 y 轴所在直线.点评：结合图形的几何性质，转化为方程形式所满足的代数形式.对于直线的一般式方程，需要特别注意以上几种特殊位置时的方程形式.五目标检测（一）基础达标 1如果直线0AxByC的倾斜角为45，则有关系式（）.A.AB B.0AB C.1AB D.以上均不可能 2若0abc，则直线0axbyc必经过一个定点是（）.A.(1,1)B.(1,1)C.(1,1)D.(1,1)3直线1(0)axbyab与两坐标轴围成的面积是（）.A12ab B1|2ab C12ab D12|ab 4（2000 京皖春）直线（32）x+y=3 和直线 x+（23）y=2 的位置关系是（）.A.相交不垂直 B.垂直 C.平行 D.重合 5已知直线 mx+ny+1=0 平行于直线 4x+3y+5=0，且在 y 轴上的截距为13，则 m，n 的值分别为（）.A.4 和 3 B.4 和 3 C.4 和3 D.4 和3 6若直线 x+ay+2=0 和 2x+3y+1=0 互相垂直，则 a=.7过两点（5，7）和（1，3）的直线一般式方程为 ；若 点（a，12）在此直线上，则a （二）能力提高 8根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：（1）斜率是12，经过点 A（8，2）；（2）经过点 B(4，2)，平行于x轴；（3）在x轴和y轴上的截距分别是32,3；（4）经过两点1P（3，2）、2P（5，4）.9已知直线12,l l的方程分别是：1111:0lA xB yC（11,A B不同时为 0），2222:0lA xB yC（22,A B不同时为0），且12120A AB B.求证12ll.（三）探究创新 10已知直线1:60lxmy，2:(2)320lmxym，求 m 的值，使得：（1）l1和 l2相交；（2）l1l2；（3）l1l2；（4）l1和 l2重合.