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双曲线及其标准方程教案 Revised by Liu Jing on January 12,2021 双曲线及其标准方程（第一课时）教学目标：1掌握双曲线的定义，能说出其焦点、焦距的意义；2能根据定义，按照求曲线方程的步骤推导出双曲线的标准方程，熟练掌握两类标 准方程；3能解决较简单的求双曲线标准方程的问题；4培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理能力。教学重点：双曲线的定义和标准方程。教学难点：双曲线标准方程的推导过程。教学过程：一、创设情景，引入新课：师：我们先来思考这样一个问题：（打开几何画板）已知定点)0,1(1F和)0,1(2F，定圆1C的圆心为1F，且半径为r，动圆2C过定点2F，且与定圆相切。（1）若4r，试求动圆圆心的轨迹；（2）若1r，试求动圆圆心的轨迹。（教师结合几何画板演示分析）：师：当4r时，我们得到的轨迹是什么 生：是椭圆。是：为什么 生：因为当4r时动圆2C内切于定圆1C，所以两个圆的圆心距1MF满足 214MFMF，移项后可以得到：421 MFMF满足椭圆的定义，所以得到的轨迹是一个以1F、2F为定点，4为定长的椭圆。师：很好。那么，当1r呢，此时动圆2C与定圆1C相切有几种情况 生：有两种情况：内切和外切。师：我们先来考察两圆外切时的情况（演示），我们得到的轨迹满足什么条件 生（同时教师板书）：由于两圆外切，所以两个圆的圆心距1MF满足 211MFMF，移项后可以得到：121 MFMF。(教师演示轨迹)师：我们再来考察两圆内切时的情况（演示），我们得到的轨迹又满足什么条件 生（同时教师板书）：由于两圆内切，所以两个圆的圆心距1MF满足 121 MFMF，移项后可以得到：121 MFMF。(教师演示轨迹)师（同时演示两种情况下的轨迹）：我们可以得到与定圆相切且过定点的动圆的圆心满足121 MFMF即121 MFMF，圆心的轨迹我们称之为双曲线。二、新课讲解：1、定义给出 师：今天我们来学习双曲线。同学们能否结合刚才的问题给双曲线下个一般定义 生：双曲线是到平面上两个定点1F、2F的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。师：由椭圆的定义，一般情况下，我们设该常数为 2a。那么什么情况下表示的是双曲线的右支，什么情况下表示的是双曲线的左支 生：当aMFMF221时，表示的是双曲线的右支，当aMFMF221时，表示的是双曲线的左支。2、定义探究 （教师引导学生分情况讨论）：师：这个常数 2a 有没有限制条件 生：有。这个常数 2a 要比焦距21FF小。师：很好。为什么要有这个限制条件呢其他情况会是怎样的呢我们一起来分析一下：（1）若 a=0，则有021 MFMF即21MFMF，此时轨迹为线段21FF的中垂线；（2）若 2a=21FF,则有2121FFMFMF，此时轨迹为直线21FF上除去线段21FF中间部分，以1F、2F为端点的两条射线；（3）若 2a21FF,则根据三角形的性质，轨迹不存在。3、双曲线标准方程的推导过程：师：我们学过求曲线的方程的一般步骤，现在我们一起根据定义求双曲线的标准方程。（师生互动，共同推导之）第一步：建立直角坐标系；第二步：设点：设 M(x，y)，焦点分别为)0,(1cF 和)0,(2cF，M 到焦点的距离差的绝对值等于 2a；第三步：启发学生根据定义写出 M 点的轨迹构成的点集：aMFMFMP221；第四步：建立方程：aycxycx2)()(2222；第五步：化简，得到)0,0(12222babyax 教师强调：我们得到了焦点在x 轴上，且焦点是)0,(1cF 和)0,(2cF的双曲线标准方程为)0,0(12222babyax，这里222bac 师：那么如果焦点在 y 轴上呢（学生练习）生（练习后）：此时的标准方程应该是)0,0(12222babxay。4双曲线标准方程的探讨：师：刚才我们共同推导了双曲线的标准方程。请同学想一下，双曲线标准方程中字母 a、b、c 的关系如何是不是ba 生：a、b、c 满足等式222bac，所以有222bca，可以得到cba,，但不能判断ba。师：很好。我们在求双曲线标准方程过程中还发现，确定焦点对求双曲线方程很重要。那么如何根据方程判定焦点在哪个坐标轴上呢 生：由于焦点在 x 轴和 y 轴上标准方程分别为12222byax和12222bxay，我们发现焦点所在轴相关的未知数的分母总是 a，所以可以由 a 来判定。师：很好。如果我们知道的方程是12322yx，那么你如何寻找 a 生：因为 a 所在的这一项未知数的系数是正的，所以只要找正的系数就可以了。师：如果方程是12322yx呢 生：先化成标准方程。师：请同学总结一下。生：化标准，找正号。5运用新知：【练习】已知方程11922myx表示双曲线，则 m 的取值范围是_，此时 双曲线的焦点坐标是_，焦距是_；【变式】若将 9 改成m2，则 m 的取值范围是_。【例 1】已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5(1F、)0,5(2F，双曲线上一点 P 到1F、2F的距离的差的绝对值等于 6，求双曲线的标准方程。解：因为双曲线的焦点再 x 轴上，所以设它的标准方程为 )0,0(12222babyax，因为 2a=6，2c=10，所以 a=3，c=5。所以1635222b，所以所求双曲线的标准方程为116922yx。【变式】已知两个定点的坐标为)0,5(1F、)0,5(2F，动点 P 到1F、2F的距离的差 等于 6，求 P 点的轨迹方程。解：因为621 PFPF，所以 P 的轨迹是双曲线的右支，设双曲线标准方程为)0,0(12222babyax，因为 2a=6，2c=10，所以 a=3，c=5。所以1635222b，所以所求 P 点的轨迹方程为)3(116922xyx。【例 2】已知双曲线的焦点在 y 轴上，并且双曲线上两点1P、2P的坐标分别为)5,49()24,3(、，求双曲线的标准方程。解：因为双曲线的焦点在 y 轴上，所以设所求双曲线的标准方程为 )0,0(12222babxay，因为点1P、2P在双曲线上，所以点1P、2P的坐标适合方程，代入得：1492513)24(2222222baba可解得：91622ba。所以所求双曲线得标准方程为：191622xy。【变式】已知双曲线的焦点在坐标轴上，并且双曲线上两点1P、2P的坐标分别为)5,49()24,3(、，求双曲线的标准方程。（分情况讨论）【练习】（1）ABC一边两个端点是)6,0(B和)6,0(C，顶点 A 满足8 ACAB，求 A 的轨迹方程。（2）ABC一边的两个端点是)6,0(B和)6,0(C，另两边所在直线的斜率之积是94，求顶点 A 的轨迹。三、本课小结：师：我们总结一下本节课我们学了什么 生：1、双曲线的定义；2、双曲线标准方程推导过程；3、运用已有知识解决一些 简单的问题。四、作业：课本 P108：2、3、4 问题：一炮弹在 M 处爆炸，在1F、2F处听到爆炸声。已知两地听到爆炸声的时间差为 2s，又知两地相距 800m，并且此时的声速为sm/340，那么 M 点一定在哪条曲线上
