00高中数学第章数列..1等差数列(第1课时)等差数列学案.pdf
学必求其心得，业必贵于专精 -1-第 1 课时 等差数列 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解等差数列的概念（难点)2掌握等差数列的通项公式及运用(重点、难点）3掌握等差数列的判定方法(重点)1。借助等差数列概念的学习，培养学生的数学抽象的素养 2通过等差数列通项公式的求解与运用，提高学生的数学运算的素养。1等差数列的概念 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差 思考:等差数列的定义用符号怎么表示？提示 anan1d(n2，d为常数）2等差中项 如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x与y的等差学必求其心得，业必贵于专精 -2-中项，且A错误!.思考：任意两数都有等差中项吗?提示 是 3等差数列的通项公式 若等差数列的首项为a1,公差为d，则其通项ana1(n1)d 思考：等差数列的通项公式是什么函数模型?提示 d0 时，一次函数，d0 时，常值函数 4等差数列的单调性 等差数列an中，若公差d0，则数列an为递增数列；若公差d0，则数列an为递减数列 1下列数列中不是等差数列的为(）A6，6,6，6,6 B2,1,0,1,2 C5，8，11，14 D0,1，3，6,10 D A 中给出的是常数列，是等差数列，公差为 0;B 中给出的数列是等差数列,公差为 1；C 中给出的数列是等差数列，公差为 3；D 中给出的数列第 2 项减去第 1 项等于 1，第 3 项减去第 2 项等于 2,故此数列不是等差数列 学必求其心得，业必贵于专精 -3-2已知等差数列an中，首项a14,公差d2，则通项公式an_.62n a14，d2，an4（n1）（2)62n.3方程x26x10 的两根的等差中项为_ 3 设方程x26x10 的两根分别为x1，x2，则x1x26,所以x1，x2的等差中项为Ax1x223。等差数列的概念【例 1】已知等差数列an的首项为a1，公差为d，在数列bn中，bn3an4，试判断bn是不是等差数列？思路探究 可以利用a1和d写出bn的通项公式，也可以直接利用定义判断bn1bn是不是常数 解 法一：由题意可知ana1（n1)d（a1，d为常数)，则bn3an43a1（n1)d43a13（n1）d43dn3a13d4.学必求其心得，业必贵于专精 -4-由于bn是关于n的一次函数(或常数函数，当d0 时),故bn是等差数列 法二:根据题意，知bn13an14,则bn1bn3an14（3an4）3（an1an)3d(常数)由等差数列的定义知,数列bn是等差数列 等差数列的判定方法有以下三种:（1）定义法：an1and（常数)(nN)an为等差数列；（2)等差中项法：2an1anan2（nN)an为等差数列；(3)通项公式法：ananb(a,b是常数,nN)an 为等差数列 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法 1数列an的通项公式an43n，则此数列(）A是公差为 4 的等差数列 B是公差为 3 的等差数列 C是公差为3 的等差数列 学必求其心得，业必贵于专精 -5-D是首项为 4 的等差数列 C an1an43（n1)（43n)3。an是公差为3 的等差数列 等差中项及其应用【例 2】(1)在1 与 7 之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列;（2)已知数列xn的首项x13，通项xn2npnq（nN,p，q为常数），且x1，x4，x5成等差数列求p，q的值 解（1）1,a，b,c，7 成等差数列，b是1 与 7 的等差中项b错误!3。又a是1 与 3 的等差中项，a错误!1.又c是 3 与 7 的等差中项，c错误!5。该数列为1，1,3，5，7。(2）由x13，得 2pq3，又x424p4q，x525p5q，且x1x52x4，得 325p5q25p8q，即q1，将代入，得p1.学必求其心得，业必贵于专精 -6-三个数a，b，c成等差数列的条件是b错误!(或 2bac），可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题如若证an为等差数列，可证 2an1anan2（nN）2已知a错误!，b错误!，则a，b的等差中项为（）A错误!B错误!C错误!D错误!A 因为ab错误!错误!错误!错误!2错误!，所以a，b的等差中项为错误!.等差数列的通项公式及其应用 探究问题 学必求其心得，业必贵于专精 -7-1某市要在通往新开发的旅游观光风景区的直行大道上安装路灯，安装第 1 盏后,往后每隔 50 米安装1 盏，试问安装第 5 盏路灯时距离第 1 盏路灯有多少米？你能用第 1 盏灯为起点和两灯间隔距离表示第n盏灯的距离吗?提示 设第 1 盏路灯到第 1 盏路灯的距离记为a1,第 2 盏路灯到第 1 盏路灯的距离记为a2，第n盏路灯到第 1 盏路灯的距离记为an，则a1，a2，an，构成一个以a10 为首项，以d50 为公差的一个等差数列 所以有a10，a2a1d05050，a3a2da12d0250100，a4a3da13d0350150，a5a4da14d0450200，ana1（n1)d50n50，所以，第 5 盏路灯距离第 1 盏路灯 200 米，第n盏路灯距离第 1 盏路灯(50n50)米 2第一届现代奥运会于 1896 年在希腊雅典举行，此后每 4 年学必求其心得，业必贵于专精 -8-举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算，你能算出 2016 年 8月在巴西里约热内卢举行的奥运会是第几届吗？若已知届数，你能确定相应的年份吗？提示 设第一届的年份为a1,第二届的年份为a2，,第n届的年份为an，则a1，a2,，an，构成一个以a11 896 为首项，以d4 为公差的等差数列，其通项公式为ana1（n1）d1 896 4（n1）4n1 892,即an4n1 892，由an2 016,知 4n1 8922 016，所以n31。故 2016 年举行的奥运会为第 31 届已知举办的届数也能求出相应的年份，因为在等差数列的通项公式ana1(n1)d中，知道其中任何三个量，均可求得第四个量 3在等差数列an中,能用a1，d两个基本量表示an，那么能否用an中任意一项am和d表示an?提示 由ana1（n1）d，ama1(m1)d，两式相减可得:anam（nm）d,则anam(nm)d【例 3】（1)在等差数列an中，已知a47，a1025，求通学必求其心得，业必贵于专精 -9-项公式an；（2)已知数列an为等差数列，a3错误!,a7错误!,求a15的值 思路探究 设出基本量a1，d利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式anam（nm)d求解 解（1)法一：a47，a1025，则错误!得错误!an2（n1）33n5，通项公式an3n5(nN)法二：a47，a1025，a10a46d18,d3，ana4(n4）d3n5(nN）（2）法一：由错误!得错误!解得a1错误!，d错误!.a15a1（151）d 错误!14错误!错误!.法二：由a7a3（73)d，即错误!错误!4d，解得d错误!。学必求其心得，业必贵于专精 -10-a15a3（153）d错误!12错误!错误!。1应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想一般地,可由ama，anb，得错误!求出a1和d，从而确定通项公式 2若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其它项时，则运用aman(mn）d较为简捷 3401 是不是等差数列5,9，13，的项？如果是，是第几项？解 由a15,d9(5）4，得这个数列的通项公式为 an54(n1)4n1.由题意知,4014n1,得n100,即401 是这个数列的第 100 项 1本节课的重点是等差数列的定义、等差中项以及等差数列的学必求其心得，业必贵于专精 -11-通项公式，难点是等差数列的证明 2掌握判断一个数列是等差数列的常用方法:(1）an1and（d为常数,nN)an是等差数列；（2)2an1anan2（nN）an是等差数列；(3）anknb（k，b为常数，nN）an是等差数列 但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可 3会灵活运用等差数列的通项公式解决问题由等差数列的通项公式ana1(n1）d可以看出,只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式反过来，在a1、d、n、an四个量中,只要知道其中任意三个量，就可以求出另外一个量 1判断(正确的打“”,错误的打“）（1）若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列(）（2）如果一个无穷数列an的前 4 项分别是 1，2,3,4，则它一定是等差数列（)(3）当公差d0 时，数列不是等差数列()(4）若三个数a，b，c满足 2bac，则a,b，c一定是等差数学必求其心得，业必贵于专精 -12-列（)解析(1）。由等差数列的概念可知（2)。因为一个无穷数列前四项构成公差为 1 的等差数列,往后各项与前一项的差未必是同一个常数 1。(3）。因为该数列满足等差数列的定义，所以该数列为等差数列，事实上它是一类特殊的数列-常数列(4）.因为a,b，c满足 2bac，即bacb，故a，b，c为等差数列 答案（1）（2）（3)（4)2数列an的通项公式an2n5，则此数列()A是公差为 2 的等差数列 B是公差为 5 的等差数列 C是首项为 5 的等差数列 D是公差为n的等差数列 A an1an2(n1)5（2n5)2，an是公差为 2 的等差数列 3若 5,x，y，z，21 成等差数列，则xyz_.39 5，x，y，z，21 成等差数列，y是 5 和 21 的等差中学必求其心得，业必贵于专精 -13-项也是x和z的等差中项,5212y，y13，xz2y26，xyz39.4若an是等差数列，a158，a6020，求a75的值 解 法一：因为an是等差数列，设公差为d，由a158,a6020,得错误!解得错误!所以a75a174d641574错误!24.法二：因为an为等差数列，所以a15,a30，a45，a60，a75也为等差数列 设这个等差数列的公差为d，则a15为首项,a60为第 4 项，所以a60a153d，即 2083d，解得d4，所以a75a60d20424。法三：因为an是等差数列，设其公差为d 因为a60a15(6015)d,所以d错误!错误!，所以a75a60(7560)d2015错误!24。
