高中数学-数列-99道大题-带答案-.pdf

高中数学-数列-99 道大题-带答案-数列综合大题 1、在数列中，已知（.（）求及；（）求数列的前 项和.2、己知数列的前 n 项和为，当 n2 时，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前 n 项和，求使得对所有都成立的最小正整数.3、已知等比数列中，求的通项公式；令求数列的前 项和 4、数列中，（是不为零的常数，），且成等比数列 (1)求 的值；(2)求的通项公式；(3)若数列的前 n 项之和为，求证。5、四川省广元市 2008 年新建住房 400 万平方米，其中有 250 万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加 50 万平方米.那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以 2008 年为累计的第一年)将首次不少于4 750 万平方米？(2)到 2013 年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%吗？为什么(参考数据：1.0841.36,1.0851.47,1.0861.59)6、设 Sn为等差数列a n的前 n 项和，已知 a 9=2，S 8=2.（1）求首项 a1和公差 d 的值；（2）当 n 为何值时，Sn最大？并求出 Sn的最大值.7、设数列的前 项和为，.()求数列的通项公式；(）设是数列的前 项和，求 （）若，记为数列的前项和，且，），点在函数的图像上，求的表达式.22、已知首项为的等比数列的前 n 项和为,且成等差数列.()求数列的通项公式;()证明.23、给定常数，定义函数，数列满足.（1）若，求及；（2）求证：对任意，；（3）是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由.24、设是公比为 q 的等比数列.()推导的前 n 项和公式;()设 q1,证明数列不是等比数列.25、设等差数列的前项和为，且，.（）求数列的通项公式；（）设数列的前项和为，且(为常数)，令，求数列的前 项和。26、已知等差数列an的公差不为零，a1=25，且，成等比数列.（）求的通项公式；（）求+a4+a7+a3n-2.27、等差数列中，（I）求的通项公式；（II）设，求数列的前 n 项和.28、等差数列的前 n 项和为.已知，且成等比数列，求的通项公式.29、已知数列的前项和(1)求数列的通项公式；(2)求的最小值。30、已知已知是等差数列，期中，求：1.的通项公式 2.数列从哪一项开始小于 0？3.求 31、设为数列的前项和，已知，2，N （）求，并求数列的通项公式；（）求数列的前项和。32、设各项均为正数的数列的前 项和为，满足且构成等比数列(1)证明：；(2)求数列的通项公式；(3)证明：对一切正整数，有 33、设数列：，即当时，记.记.对于，定义集合是的整数倍，且.（1）求集合中元素的个数；（2）求集合中元素的个数.34、设是首项为，公差为的等差数列（），是前 项和.记，其中 为实数.（1）若，且，成等比数列，证明：；（2）若是等差数列，证明.35、设数列的前 项和为.已知,.()求的值；()求数列的通项公式；()证明:对一切正整数,有.36、已知an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 n 项的最大值记为 An，第 n 项之后各项，的最小值记为 Bn，dn=AnBn.(I)若an为 2，1，4，3，2，1，4，3，是一个周期为 4 的数列(即对任意 nN*，)，写出 d1，d2，d3，d4的值；(II)设 d 为非负整数，证明：dn=d(n=1,2,3)的充分必要条件为an为公差为 d的等差数列；(III)证明：若 a1=2，dn=1(n=1,2,3)，则an的项只能是 1 或 2，且有无穷多项为 1.37、设数列满足，,且对任意，函数 满足()求数列的通项公式；（）若，求数列的前项和.38、给定数列.对，该数列前 项的最大值记为，后项的最小值记为，.（）设数列为，写出，的值；（）设是公比大于 的等比数列，且.证明：是等比数列.（）设是公差大于的等差数列，且，证明：是等差数列.39、已知等差数列的公差=1，前 项和为.(I)若；(II)若 40、已知数列是等差数列，且，.求数列的通项公式；令，求数列的前项和.41、等比数列的前 n 项和为，已知,成等差数列。（1）求的公比 q；（2）求3，求 42、已知数列是首项的等比数列，其前项和中，、成等差数列（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和为；（3）求满足的最大正整数的值.43、已知等差数列的前项和为，且，(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和 44、已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 an是 Sn与 2 的等差中项，数列an中，b1=1，点 P（bn，bn+1）在直线 x-y+2=0 上（）求数列an，bn的通项公式 an和 bn；（）设 cn=an?bn，求数列cn的前 n 项和 Tn 45、在数列中，已知.（）求数列的通项公式；（）求证：数列是等差数列；（)设数列满足，求的前 n 项和.46、设数列的前 n 项和为已知（）设证明：数列是等比数列；（）证明：.47、等差数列的公差为，且成等比数列（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和 48、数列的前 n 项和为，（1）设，证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和；49、已知数列的前项和为，且.（）求；（）设，求数列的通项公式。50、对于给定数列，如果存在实常数使得对于任意都成立，我们称数列是“数列”（）若，数列、是否为“数列”？若是，指出它对应的实常数，若不是，请说明理由；（）证明：若数列是“数列”，则数列也是“数列”；（）若数列满足，为常数求数列前项的和 51、设数列是等差数列，是各项均为正数的等比数列，且（1）求数列的通项公式；（2）若为数列的前 项和，求.52、设数列的前 项和为，对任意的，都有，且；数列满足.（）求的值及数列的通项公式；（）求证：对一切成立.53、设为等差数列，是等差数列的前项和，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）为数列的前 项和，求.54、定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”，.（）已知是首项为 2，公差为 1 的等差数列，若是数列的“保三角形函数”，求 k 的取值范围；（）已知数列的首项为 2010，是数列的前 n 项和，且满足，证明是“三角形”数列；（）根据“保三角形函数”的定义，对函数，和数列 1，（）提出一个正确的命题，并说明理由 55、设数列为等差数列，且 a3=5，a5=9；数列的前 n 项和为 Sn，且Sn+bn=2.（1）求数列，的通项公式；（2）若为数列的前 n 项和，求 56、已知=2，点（）在函数的图像上，其中=.(1)证明：数列是等比数列；（2）设，求及数列的通项公式；（3）记，求数列的前 n 项和，并求的值.57、(1)已知等差数列an的公差 d 0，且是方程 x214x450 的两根，求数列通项公式(2)设，数列bn的前 n 项和为 Sn，证明.58、已知等差数列满足：，的前项和为。（1）求及；（2）令（其中为常数，且），求证数列为等比数列。59、设数列为等差数列，且 a3=5，a5=9；数列的前 n 项和为 Sn，且Sn+bn=2 （1）求数列，的通项公式；（2）若为数列的前 n 项和，求 60、已知等差数列an的通项公式为，从数列an中依次取出 a1，a2，a4，a8，构成一个新的数列bn，求bn的前 n 项和 61、已知等差数列an的前 n 项的和记为 Sn如果，（1）求数列an的通项公式；（2）求 Sn的最小值及其相应的 n 的值；62、已知数列中，（）记，求证：数列为等比数列；（）求数列的前项和 63、已知等差数列和公比为的等比数列满足：，（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前 项和为.64、已知数列中，n2 时，求通项公式.65、在等差数列中，前项和为，等比数列各项均为正数，且，的公比（1）求与；（2）求 66、已知，且方程有两个不同的正根，其中一根是另一根的 倍，记等差数列、的前项和分别为，且（）。（1）若，求的最大值；（2）若，数列的公差为 3，试问在数列与中是否存在相等的项，若存在，求出由这些相等项从小到大排列得到的数列的通项公式；若不存在，请说明理由（3）若，数列的公差为 3，且，.试证明：.67、已知数列的前 n 项和，数列满足=(I)求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；()设，数列的前 n 项和为 Tn，求满足的 n的最大值.68、已知,数列满足,数列满足；数列为公比大于 的等比数列，且为方程的两个不相等的实根.（）求数列和数列的通项公式；（）将数列中的第项，第项，第项，第项，删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前项和.69、已知数列的前n项和，数列满足=(I)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；()设，数列的前 项和为，求满足的的最大值 70、已知数列，记，（）,若对于任意，成等差数列.()求数列的通项公式；()求数列的前项和.71、已知各项均为正数的数列中，是数列的前项和，对任意，有.函数，数列的首项 （）求数列的通项公式；（）令求证：是等比数列并求通项公式 （）令，求数列的前 n 项和.72、设等差数列的前 n 项和为，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前 n 项和为，证明：；73、设数列的前 项和为，且）；证明：数列是等比数列；若数列满足），求数列的通项公式。74、设等比数列的前 项和为，已知，求和。75、已知等差数列中，求数列的通项公式；若数列前项和，求的值。76、在数列中，（1）试判断数列是否为等差数列；（2）设满足，求数列的前 n 项和；（3）若，对任意 n 2 的整数恒成立，求实数的取值范围 77、函数，数列的前 n 项和，且同时满足：不等式 0 的解集有且只有一个元素；在定义域内存在，使得不等式成立（1）求函数的表达式；（2）求数列的通项公式 78、设数列的前 n 项和为，点均在函数 yx+12 的图像上.（）写出关于 n 的函数表达式；（）求证：数列是等差数列；（）求数列的前 n 项的和.79、已知是一个等差 数列，且。（1）求的通项；（2）求的前项和的最大值。80、在图中，()，（1）求数列的通项；（2）求数列的前项和；81、（1）已知数列为等比数列，且，该数列的各项都为正数，求；（2）若等比数列的首项，末项，公比，求项数。82、设等比数列都在函数的图象上。（1）求 r 的值；（2）当；（3）若对一切的正整数 n，总有的取值范围。83、设是各项都为正数的等比数列,是等差数列,且，()求数列,的通项公式；()设数列的前项和为，求数列的前 项和 84、在数列中，对于任意，等式：恒成立，其中常数（1）求的值；（2）求证：数列为等比数列；（3）如果关于的不等式的解集为，试求实数的取值范围 85、已知是等差数列，其前项和为；是等比数列，且 （1）求数列与的通项公式；（2）求数列的前项和 86、已知等差数列的首项，公差，且第 2 项、第 5 项、第 14 项分别是等比数列的第 2 项、第 3 项、第 4 项(1)求数列、的通项公式；(2)设数列对任意的，均有成立，求 87、已知数列是等差数列，且，（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列前 n 项和.88、已知数列，其前项和为 若对任意的，组成公差为的等差数列，且，求的值；若数列是公比为的等比数列，为常数，求证：数列为等比数列的充要条件为 89、已知各项均为正数的数列的前 项和为，且对任意正整数，点都在直线上(1)求数列的通项公式；(2)若设求数列前项和 90、已知数列是等差数列，且（）求数列的通项公式；（）令求数列前 n 项和的公式.91、已知等比数列中，求其第 4 项及前 5 项和.92、设数列是等比数列，公比是的展开式中的第二项（按 x 的降幂排列）（1）用表示通项与前 n 项和；（2）若，用表示 93、已知数列，满足数列的前项和为，.（）求数列的通项公式；（）求证：；（）求证：当时，94、已知点是函数且的图像上一点，等比数列的前 项的和为；数列的首项为，且前项和满足.求数列和的通项公式；若数列的前项和为，问的最小正整数是多少？95、已知数列的前 n 项和为，点在直线上.数列bn满足，前 9 项和为 153.（）求数列、的通项公式；（）设，数列的前 n 和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数 k 的值.96、记数列的前 n 项和，且，且成公比不等于 1 的等比数列。（1）求 c 的值；（2）设，求数列的前 n 项和 Tn 97、在数列中，且（1）求，的值；（2）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；（3）求数列的前 项和 98、已知是数列的前项和，且对任意，有，求的通项公式；求数列的前项和 99、已知正项数列在抛物线上；数列中，点在过点（0，1），以为斜率的直线上。（1）求数列的通项公式；（2）若成立，若存在，求出 k 值；若不存在，请说明理由；（3）对任意正整数，不等式恒成立，求正数的取值范围。试卷答案 1.（），=2n。（）。2.（1）（2）10 3.（1）（2）4.(1)(2)(3)先求出的关系式，然后利用函数知识证明即可 5.(1)到 2017 年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4 750 万平方米.(2)到 2013 年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%.6.（1）（2）时，有最大值为 5 7.（）(）.8.（），.（）9.（1）（2）最小正整数 10.（1）200(2)11.（1）根据题意，得到递推关系，进而得到证明。（2）（3）不超过的最大整数为 12.（1）（2），即 取不小于 的正整数.13.（1）（2）根据利用累加法来得到证明。14.15.（1）（2）当时，；当时，；当时，16.（1）=（2）17.(1)(2)（3）18.（1）（2）关键是得到 19.（1）1，an(nN*)（2）运用数学归纳法证明来分为两步骤来加以证明即可。20.C 21.（1）时,解集是;时，解集是；时，解集是（2）22.()()见解析 23.见解析 24.()()见解析 25.（）（）26.（）（）27.（I）（II）28.或 29.（1）（2）-7 30.（1）（2）10(3)-19 31.（）（）32.(1)见解析(2)(3)见解析 33.（1）2 （2）1008 34.见解析 35.()4()()见解析 36.(I)，.(II)见解析(III)见解析 37.()（）38.充分利用题目所给信息进行反复推理论证.要证明一个数列是等差数列或等比数列，常用定义法.39.(I)(II)40.（1）2n（2）41.（1）（2）42.（1）（2）（3）最大正整数的值为.43.（1）（2）250 44.（1）an=2n bn=2n-1（2）Tn=（2n-3）2n+1+6 45.（1）（2）根据等差数列的定义，证明相邻两项的差为定值来得到证明。（3）46.（）要证明是等比数列，依据等比数列定义需证明非零常数且 数列是以 2 为首项，公比为2 的等比数列。（）由（）知 =47.（1）（2）48.(1)根据题意，由于，那么可知递推关系式，进而得到证明。(2)49.（1）（2）50.（1）（2）若数列是“数列”，则存在实常数，使得 对于任意都成立,结合定义得到。(3)51.（1）（2）52.（1）；（2）利用数列求和及放缩法证明不等式成立 53.（1）n-3（2）54.（），（）先求出数列的通项公式，然后根据“三角形”数列的定义证明即可，（3）函数，是数列 1，1+d，1+2d 的“保三角形函数”，必须满足三个条件：1，1+d，1+2d是三角形数列，所以，即 数列中的各项必须在定义域内，即.是三角形数列.由于，是单调递减函数，所以，解得 55.（1），.（2）。56.（1）根据等比数列的定义，因为，进而得到证明。（2），（3）1 57.(1)（2）58.（1）；。（2）根据等比数列的定义来证明相邻两项的比值为定值，从第二项起来证明即可。59.（1）（2）60.，=61.（1）(2)n=5 或 4 62.(1)根据题意，由于，因此可知，结合定义来得到证明。(2)63.（1），（2）64.65.（1）（2）66.（1）（2）在数列与中不存在相等的项。（3）运用数序归纳法来证明与自然数相关的命题得到结论。67.（1）(2)的最大值为 4.68.（1）,（2）69.(I)()70.()()71.（）;（）;（）.72.（1）（2）裂项法求和得到是解题的关键。73.（1）根据前 n 项和与其通项公式的关系来推理得到是解题的关键。（2）74.或，或 75.（1）3-2n（2）76.（1）根据递推关系得到，从而结合定义来证明、（2）（3）的取值范围是(，.77.（1）a4，即（2）78.（1）（2）根据等差数列的定义，只要证明其通项公式为一次函数的形式即可。（3）79.（1）；（2）时，取最大值 4.80.（1）（2）81.（1）（2）82.（1）（2）（3）83.（）（）。84.（1），；（2）只需求出即可；（3）。85.（1）；（2）。86.(1),(2).87.（1）（2）88.（1）（2）证明充要条件命题，要证明充分性和必要性同时成立即可。89.（1）（2）90.（1）（2）当时,；当时，91.，92.（1），（2）93.（1）（2）（3）根据题意，利用作差法来比较大小得到证明。94.（1）（2）n 为 91 95.（1）,bn=b3+3（n3）=3n+2；(2)96.（1）c=2（2）97.（1），（2）的通项公式为 （3）98.（1）（2）99.（1）（2）k=4（3）