00高中数学第章平面向量.1向量的概念及表示讲义.pdf
学必求其心得，业必贵于专精 -1-2.1 向量的概念及表示 学 习 目 标 核 心 素 养（教师独具)1。了解向量的实际背景,理解平面向量的概念（重点)2理解零向量、单位向量、相等向量、共线(平行)向量、相反向量的含义(重点、难点）3理解向量的几何表示（重点)通过学习本节内容提升学生的数学抽象和直观想象核心素养.一、向量的定义及表示 定义 既有大小又有方向的量称为向量 表示 方法（1）几何表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，以A为起点、B为终点的向量记为错误!；（2)字母表示:用小写字母a，b，c表示 模 向量错误!的大小称为向量的长度(或称为模），记作|错误!思考 1:在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？学必求其心得，业必贵于专精 -2-提示 面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向 思考 2：两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗?提示 数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小 二、向量的有关概念及其表示 名称 定义 表示方法 零向量 长度为 0 的向量 记作 0 单位向量 长度等于 1 个单位长度的向量 平行向量(或共线向量）方向相同或相反的非零向量 a与b平行(或共线),记作ab 相等向量 长度相等且方向相同的向量 a与b相等，记作ab 相反向量 长度相等且方向相反的向量 a的相反向量记作a 思考 3：已知A，B为平面上不同两点，那么向量错误!和向量错误!相等吗？它们共线吗?提示 因为向量错误!和向量错误!方向不同，所以二者不相等又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线 学必求其心得，业必贵于专精 -3-思考 4：向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗?提示 不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动 由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上,所以平行向量也叫做共线向量因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合 1思考辨析(1）有向线段就是向量（）（2）两个向量的模能比较大小（）(3）有向线段可以用来表示向量（)(4)若ab，bc,则ac.（)(5）若ab，则a与b的方向一定相同或相反(）(6)若非零向量错误!错误!，那么ABCD。(）(7)单位向量的模都相等(）答案（1)(2)(3)（4)(5）（6)（7）2下列物理量：质量；速度;位移；力；加速度；路程；密度；功其中不是向量的有_(填序号)一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的学必求其心得，业必贵于专精 -4-两个要素：大小和方向由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向,所以不是向量 向量的概念 【例 1】判断下列命题是否正确,并说明理由（1）任何两个单位向量都是平行向量；（2)零向量是没有方向的；（3)在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点,则向量错误!与错误!是平行向量;（4)对于向量a、b、c,若ab，且bc，则ac；（5）若非零向量错误!与错误!是平行向量，则直线AB与直线CD平行；（6）非零向量错误!与错误!是模相等的平行向量 思路点拨:解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断真假 解（1)错误因为两个单位向量只是模都等于 1 个单位，方向不一定相同或相反；学必求其心得，业必贵于专精 -5-(2)错误任何向量都有方向,零向量的方向是任意的;(3）正确由三角形中位线性质知，DEBC，向量错误!与错误!方向相反，是平行向量;（4）错误b为零向量时，有ab且bc，但a与c的方向可以任意变化，它们不一定是平行向量；（5）错误A、B、C、D四点也可能在同一条直线上；（6）正确非零向量错误!与错误!的模相等，方向相反,二者是平行向量 1在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小),又要考虑其形(即方向性）2涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量 3对于判断命题的正误，应该熟记有关概念,理解各命题，逐一进行判断,对于错误命题，只要举一反例即可 提醒:与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量 1判断下列命题是否正确，并说明理由：（1）若向量a与b同向，且|a|b|，则ab；学必求其心得，业必贵于专精 -6-(2)若向量|a|b,则a与b的长度相等且方向相同或相反；（3）对于任意向量a|b|，若a与b的方向相同，则ab;(4）由于 0 方向不确定，故 0 不能与任意向量平行；解（1）不正确因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小(2)不正确由ab只能判断两向量长度相等,不能确定它们的方向关系（3)正确因为|a|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得ab。(4）不正确依据规定：0 与任一向量平行 向量的表示 【例 2】一辆汽车从A点出发，向西行驶了 100 千米到达点B，然后又改变方向向西偏北 50行驶了 200 千米到达点C，最后又改变方向，向东行驶了 100 千米到达点D。(1）作出向量错误!，错误!，错误!；（2)求|错误!。思路点拨：解答本题应首先确定指向标,然后再根据行驶方向确学必求其心得，业必贵于专精 -7-定有关向量，进而求解 解(1)如图：（2）由题意，易知错误!与错误!方向相反,故错误!与错误!共线,即ABCD。又错误!|错误!|，在四边形ABCD中，AB綊CD，四边形ABCD为平行四边形，错误!|错误!200（千米）用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点。必要时，需依据直角三角形知识，求出向量的方向或长度模，选择合适的比例关系作出向量。2(1)如图的方格由若干个边长为 1 的小正方形并在一起组成，方格纸中有定点A,点C为小正方形的顶点，且错误!错误!,画出所有的向量错误!.学必求其心得，业必贵于专精 -8-（2）已知飞机从A地按北偏东 30的方向飞行 2 000 km 到达B地，再从B地按南偏东 30的方向飞行 2 000 km 到达C地，再从C地按西南方向飞行 1 000错误!km 到达D地 作出向量错误!，错误!，错误!，错误!；问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？解(1)画出所有的向量错误!，如图所示 (2)由题意，作出向量错误!，错误!，错误!，错误!，如图所示，依题意知，三角形ABC为正三角形,所以AC2 000 km.又因为ACD45，CD1 000错误!，所以ACD为等腰直角三角形，即AD1 0002 km，CAD45.所以D地在A地的东南方向，距A地 1 000错误!km.共线向量 探究问题 学必求其心得，业必贵于专精 -9-1两向量平行，则两向量所在的直线平行吗？提示:不一定平行 2若向量a与b平行(或共线),则向量a与b相等吗？反之，若向量a与b相等，则向量a与b平行（或共线)吗？提示：向量a与b平行(或共线），则向量a与b不一定相等；向量a与b相等,则向量a与b平行(或共线)3向量平行具备传递性吗?举例说明 提示:向量的平行不具备传递性，即若ab,bc,则未必有ac，这是因为，当b0 时，a，c可以是任意向量,但若b0，必有ab，bcac。【例 3】如图，四边形ABCD为边长为 3 的正方形，把各边三等分后，共有 16 个交点，从中选取两个交点作为向量，则与错误!平行且长度为 2错误!的向量个数有_个 思路点拨:结合向量相等、平行的条件求解 8 如图所示，学必求其心得，业必贵于专精 -10-满足与错误!平行且长度为 2错误!的向量有错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!共 8 个 1（变条件)本例中，与向量错误!同向且长度为 2错误!的向量有多少个？解 与向量错误!同向且长度为 2错误!的向量占与向量错误!平行且长度为 2错误!的向量中的一半，共 4 个 2(变条件)本例中，如图，与向量错误!相等的向量有多少个？解 题图中每个小正方形的对角线所在的向量中，与向量错误!方向相同的向量与其相等，共有8 个 1寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线 2寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量学必求其心得，业必贵于专精 -11-的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量 教师独具 1本节课的重点是向量的概念、向量的表示方法及几种特殊的向量，难点是几种特殊向量的概念及应用 2要重点掌握向量的三个问题（1）向量有关概念的辨析(2)向量的表示（3)相等向量与共线向量的应用 3本节课要注意两个区别(1）向量与数量 数量只有大小没有方向,向量既有大小又有方向 数量可以比较大小，向量不能比较大小（2)向量与有向线段 区别:从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的 联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段 学必求其心得，业必贵于专精 -12-1下列说法不正确的是()A零向量的长度为零 B零向量与任一向量都是共线向量 C零向量没有方向 D零向量的方向是任意的 C 零向量的方向是任意的，不能说零向量没有方向,C 错 2在 RtABC中，BAC90，则|错误!1，错误!2，则错误!|_。错误!因为错误!|2错误!2错误!|25，所以|错误!错误!。3 如图所示，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，且错误!a，错误!b,错误!c.在以A，B,C，D，E，F,O为起点或终点的向量中：（1）模与a的模相等的向量有_个(2)长度与a的长度相等，方向相反的向量有_(3)与a共线的向量有_（4）请一一列出与a，b,c相等的向量_(1)23(2）错误!，错误!,错误!，错误!(3）错误!,错误!,错误!，错误!，错误!，错误!,学必求其心得，业必贵于专精 -13-错误!，错误!,错误!(4）与a相等的有错误!,错误!,错误!；与b相等的有错误!，错误!,FA；与c相等的有ED，错误!，错误!（1）满足条件的向量有 23 个（2)长度与a的长度相等,方向相反的向量有错误!，错误!，错误!，错误!。（3）与a共线的向量有错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!,错误!。（4）与a相等的有错误!,错误!，错误!；与b相等的有错误!,错误!，错误!;与c相等的有错误!，错误!，错误!。4在如图所示的坐标纸上（每个小方格边长为 1）,用直尺和圆规画出下列向量：（1)OA，使|错误!|4错误!，点A在点O北偏东 45；（2)错误!，使|错误!|4，点B在点A正东；（3)错误!，使错误!|6,点C在点B北偏东 30。解（1)由于点A在点O北偏东 45处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等 又错误!|4错误!,小方格边长为 1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数学必求其心得，业必贵于专精 -14-都为 4,于是点A位置可以确定，画出向量错误!如图所示 (2)由于点B在点A正东方向处,且|错误!|4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为 4,纵向小方格数为 0,于是点B位置可以确定，画出向量错误!如图所示(3）由于点C在点B北偏东 30处，且错误!6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为 3，纵向小方格数为 3错误!5。2,于是点C位置可以确定，画出向量错误!如图所示
