00高中数学第章随机变量及其分布..离散型随机变量的方差学案.pdf
学必求其心得，业必贵于专精 -1-2。3。2 离散型随机变量的方差 学 习 目 标 核 心 素 养 1。理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念 2能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题（重点）3掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差(难点）1。通过离散型随机变量的方差的学习，体会数学抽象的素养 2 借助方差解决实际问题，提高数学运算的素养。1离散型随机变量的方差、标准差（1）定义：设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则（xiE(X)）2描述了xi（i1，2,n）相对于均值E(X)的偏学必求其心得，业必贵于专精 -2-离程度，而D(X）错误!为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X）的平均偏离程度 称D(X)为随机变量X的方差，其算术平方根错误!为随机变量X的标准差(2)意义:随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小 思考:随机变量的方差与样本方差有什么关系？提示 随机变量的方差是总体的方差,它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的对于简单随机样本，随着样本容量的增加,样本的方差越来越接近于总体的方差 2服从两点分布与二项分布的随机变量的方差(1)若X服从两点分布，则D(X）p(1p）；(2）若XB(n，p），则D（X)np(1p）3离散型随机变量方差的线性运算性质 设a，b为常数，则D(aXb）a2D(X）1若随机变量X服从两点分布，且在一次试验中事件A发生的概率P0。5，则E（X）和D（X)分别为（）A0.25；0。5 B0.5；0。75 学必求其心得，业必贵于专精 -3-C0.5；0。25 D1；0.75 C E(X）0.5,D(X)0.5（10.5)0。25.2已知随机变量，D（）错误!，则的标准差为_ 错误!的标准差错误!错误!错误!.3已知随机变量的分布列如下表：1 0 1 P 12 错误!错误!则的均值为_，方差为_ 错误!错误!均值E()(1)错误!0错误!1错误!错误!；方差D（）错误!2错误!错误!2错误!错误!2错误!错误!.求随机变量的方差与标准差【例 1】已知X的分布列如下：X 1 0 1 P 错误!错误!a 学必求其心得，业必贵于专精 -4-（1）求X2的分布列；(2）计算X的方差；（3)若Y4X3，求Y的均值和方差 解(1）由分布列的性质,知错误!错误!a1，故a错误!,从而X2的分布列为 X2 0 1 P 错误!错误!(2）法一：（直接法)由（1）知a错误!，所以X的均值E(X）(1)错误!0错误!1错误!错误!。故X的方差D(X）错误!2错误!错误!2错误!错误!2错误!错误!.法二：（公式法）由(1)知a14，所以X的均值E（X)(1）错误!0错误!1错误!错误!，X2的均值E（X2)0错误!1错误!错误!，所以X的方差D（X）E(X2)E（X)2错误!。(3）因为Y4X3，所以E（Y）4E(X）32，D（Y)42D（X）11。方差的计算需要一定的运算能力,公式的记忆不能出错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式D(X)E(X2)学必求其心得，业必贵于专精 -5-E(X）2不失为一种比较实用的方法另外注意方差性质的应用，如D(aXb)a2D(X）1已知的分布列为：0 10 20 50 60 P 13 错误!115 错误!错误!（1)求的方差及标准差;(2)设Y2E（)，求D（Y)解(1）E（）0错误!10错误!20错误!50错误!60错误!16，D（）（016）2错误!（1016）2错误!（2016）2115（5016)2错误!（6016)2错误!384，D86.（2)Y2E（),D(Y）D（2E（）22D（)43841 536。学必求其心得，业必贵于专精 -6-两点分布与二项分布的方差【例 2】设X的分布列为P（Xk)C错误!错误!k错误!5k（k0，1,2,3,4，5），则D（3X）（）A10 B30 C15 D5 A 由P(Xk)C错误!错误!k错误!5k(k0，1，2,3,4,5)可知随机变量服从二项分布XB错误!,所以D（X)5错误!错误!错误!，D(3X）9D(X)10。1(变换条件、改变问法）本例题改为随机变量X服从二项分布B（n,p），且E(3X2)9。2,D（3X2）12.96，求二项分布的参数n，p的值 解 由E(3X2)9.2，D（3X2)12.96 及XB（n,p)知 错误!即错误!解得错误!所以二项分布的参数n6，p0。4.2（改变问法)本例题条件不变，求E（3X2)学必求其心得，业必贵于专精 -7-解 由例题可知XB错误!，所以E（X)513错误!.故E（3X2)3E（X）27.求离散型随机变量的均值与方差的关注点 1写出离散型随机变量的分布列 2正确应用均值与方差的公式进行计算 3对于二项分布，关键是通过题设环境确定随机变量服从二项分布，然后直接应用公式计算 均值、方差的实际应用 探究问题 1A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时,出次品的概率如下表：A机床 次品数X1 0 1 2 3 P 0.7 0。2 0。06 0。04 学必求其心得，业必贵于专精 -8-B机床 次品数X2 0 1 2 3 P 0。8 0.06 0。04 0.10 由E(X1）和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么?提示 不能 因为E（X1)00.710。220.0630。040。44.E（X2)00。810。0620.0430.100.44。所以，不能由E(X1)和E(X2)的值比较两台机床的产品质量 2在探究 1 中，试想利用什么指标可以比较A,B两台机床加工质量？提示 利用样本的方差方差越小，加工的质量越稳定【例 3】甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于 6 环，且甲射中 10，9，8,7 环的概率分别为 0。5,3a，a，0。1，乙射中 10,9，8 环的概率分别为 0。3，0。3，0.2.(1)求，的分布列；（2）求，的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术 思路点拨（1)由分布列的性质先求出a和乙射中 7 环的概学必求其心得，业必贵于专精 -9-率,再列出，的分布列(2)要比较甲、乙两射手的射击水平,需先比较两射手击中环数的均值，然后再看其方差值 解(1)由题意得：0.53aa0。11，解得a0.1.因为乙射中 10,9，8 环的概率分别为 0。3，0.3，0.2，所以乙射中 7 环的概率为 1(0。30。30。2）0.2。所以，的分布列分别为 (2）由（1）得：E（)100。590.380。170.19.2；E()100.390.380.270.28.7；D(）(109。2）20.5（99.2）20。3（89。2)20。1（79.2)20。10.96；D（）(10 8.7）20。3（98。7)20。3(88.7）20。2（78。7）20。21.21。由于E(）E（），D()D(X2),则自动包装机_的质量较好 乙 因为E(X1)E（X2),D(X1）D(X2),故乙包装机的质量稳定 4为防止风沙危害,某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物某人一次种植了n株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，已知E(X)4，D(X）错误!,求n，p的值 解 由题意知,X服从二项分布B(n，p)，由E(X)np4，D(X）np(1p)错误!,得 1p错误!，p错误!，n6。
