2020高中数学第一章三角函数.2.2同角三角函数的基本关系学案(含解析).pdf

学必求其心得，业必贵于专精 -1-1.2。2 同角三角函数的基本关系 考试标准 课标要点 学考要求 高考要求 同角三角函数的基本关系 b b 同角三角函数关系的应用 b b 知识导图 学法指导 1。充分理解同角三角函数的基本关系式，掌握公式成立的条件、形式及公式的变形，在尝试证明的基础上去理解记忆 2理解并记忆相应的求值、化简以及证明的模型,领会解题常用的方法技巧，熟练掌握公式及其变形的应用。同角三角函数的基本关系式 学必求其心得，业必贵于专精 -2-错误!（1）“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下），关系式都成立,与角的表达形式无关，如：sin23cos231 等（2）注意公式成立的条件（3)注意公式的变形，特别是公式的逆用(4）在应用平方关系式求sin 或cos 时，其正负号是由角 所在的象限决定,不可凭空想象 小试身手 1判断下列命题是否正确。(正确的打“”,错误的打“）（1）sin2错误!cos2错误!1。(）（2)sin 2cos 21。()（3)对于任意角都有 sin2cos21，tan sin cos.(）答案：（1)（2）(3)2若为第二象限角，且 sin 错误!,则 cos()学必求其心得，业必贵于专精 -3-A错误!B.错误!C。错误!D错误!解析：是第二象限角,cos 错误!错误!.答案:A 3已知 tan 错误!，且错误!，则 sin 的值是()A错误!B。错误!C.255 D错误!解析：（,错误!)，sin 0。由 tan 错误!错误!，sin2cos21，得 sin 错误!。答案：A 4化简：(1tan2)cos2等于()A1 B0 C1 D2 解析：原式错误!cos2cos2sin21.答案:C 学必求其心得，业必贵于专精 -4-类型一 利用同角基本关系式求值 例 1（1）已知 sin 错误!,求 cos，tan；(2)已知 tan 3，求错误!.【解析】(1）因为 sin 错误!0,且 sin 1，所以是第一或第二象限角 当为第一象限角时，cos 错误!错误!错误!，tan 错误!错误!；当为第二象限角时,cos 错误!错误!,tan 错误!。(2）分子、分母同除以 cos2,得3sin2cos22sin26cos2错误!。又 tan 3,所以错误!错误!错误!。(1）已知角的正弦值或余弦值，求其他三角函数值,应先判断三角函数值的符号，然后根据平方关系求出该角的正弦值或余弦值，再利用商数关系求解该角的正切值即可（2）利用同角基本关系式，分子、分母同除以cos2,把正弦、余弦化成正切 方法归纳 求同角三角函数值的一般步骤（1）根据已知三角函数值的符号,确定角所在的象限 学必求其心得，业必贵于专精 -5-（2)根据(1）中角所在象限确定是否对角所在的象限进行分类讨论（3)利用两个基本公式求出其余三角函数值 跟踪训练 1(1）本例（2)条件变为错误!2,求错误!的值；(2）本例(2)条件不变，求 4sin23sin cos 5cos2的值 解析：(1)法一：由错误!2，化简得 sin 3cos，原式错误!错误!错误!.法二:由错误!2 得 tan 3,原式错误!错误!错误!.（2)原式错误!错误!错误!错误!。形如（2)式的求解，应灵活利用“1的代换,将整式变为分式，即利用分式的性质将式子变为关于tan 的代数式，从而代入求值 类型二 化简三角函数式 例 2 化简：（1）错误!错误!;（2）错误!.【解析】（1）错误!错误!学必求其心得，业必贵于专精 -6-错误!错误!错误!2tan2。(2）错误!错误!错误!1.（1）利用同角基本关系化简(2)注意 1 的活用例如 12sin 10 cos 10 sin210 cos210 2sin210 cos 10(cos 10 sin 10)2 方法归纳 三角函数式的化简技巧（1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的（2）对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的（3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造 sin2cos21，以降低次数，达到化简的目的 跟踪训练 2(1)化简：错误!；(2)化简：sin2tan 2sin cos 错误!。解析：（1）原式 学必求其心得，业必贵于专精 -7-错误!|sin 130cos 130|sin 130cos 130错误!1.（2)原式sin2错误!2sin cos cos2错误!错误!错误!错误!.(1)1sin2130 cos2130，12sin 130 cos 130 (sin 130 cos 130）2.（2）式子中的tan 应化为错误!，如果出现分式，一般应通分 类型三 利用同角三角函数关系证明 例 3 求证：错误!错误!.【证明】因为左边cos22xsin22x2sin 2xcos 2xcos22xsin22x错误!错误!错误!右边,所以等式成立。左边是含正、余弦的式子，右边是含有正切的式子，因此需要弦化切,左边的分子可以用平方关系,分母可以用平方差公式实现变形 方法归纳 证明简单三角恒等式的思路(1）从一边开始,证明它等于另一边,遵循由繁到简的原则(2)证明左右两边等于同一个式子 学必求其心得，业必贵于专精 -8-(3）证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于 1.(4）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立 跟踪训练 3 求证：错误!错误!.证明:方法一 因为右边分母为 cos，故可将左边分子分母同乘以 cos。左边错误!错误!错误!错误!右边 方法二 因为左边分母是 1sin，故可将右边分子分母同乘以1sin.右边错误!错误!错误!错误!左边 方法三 只需证明左、右两边都与某个中间结果相等即可，因此可先将它们的分母变为相同 因为左边错误!,右边错误!错误!错误!,所以左边右边，原式成立 方法四 只需证明左边右边0 即可 因为错误!错误!错误!错误!错误!0，所以错误!错误!.方法五 为了消去左、右两边的差异，在左边的分子上凑出 1sin.学必求其心得，业必贵于专精 -9-左边错误!错误!错误!错误!右边 方法六 证明内项积等于外项积 因为(1sin)(1sin)1sin2cos2，1sin 0，cos 0，所以错误!错误!。方法七 利用分析法逐步寻求等式成立的条件 要证错误!错误!成立，只需证 cos cos（1sin）(1sin）,即证 cos21sin2，此式成立，故错误!错误!成立 状元随笔 三角恒等式的证明方法非常多，其主要方法有：（1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；(2）左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子；（3）化异为同法,即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形,以消除差异;（4）变更命题法，如要证明错误!错误!，可证 adbc 或证错误!错误!等；（5)比较法，即设法证明“左边右边0”或“错误!1”类型四 sin cos 型求值 例 4 已知 sin cos 错误!，其中 0，求 sin cos 的值【解析】因为 sin cos 错误!,所以（sin cos）2错误!,可学必求其心得，业必贵于专精 -10-得：sin cos 错误!.因为 0，且 sin cos 0，cos 0.所以 sin cos 0，又（sin cos）212sin cos 错误!，所以 sin cos 错误!.sincos15,两边平方求出 2sincos 的值求sincos 的值 方法归纳 已知 sin cos 的求值问题的方法 对于已知 sin cos 的求值问题,一般利用整体代入的方法来解决,其具体的解法为:(1)用 sin 表示 cos(或用 cos 表示 sin)，代入 sin2cos21,根据角的终边所在的象限解二次方程得 sin 的值(或 cos 的值），再求其他，如 tan(体现方程思想）(2)利用 sin cos 的平方及 sin2cos21，先求出 sin cos 的值，然后求出 sin cos 的值(要注意结合角的范围确定符号)从而求解 sin,cos 的值，再求其他 跟踪训练 4 已知x是第三象限角，且 cos xsin x错误!.学必求其心得，业必贵于专精 -11-(1）求 cos xsin x的值；(2）求 2sin2xsin xcos xcos2x的值 解析：(1）(cos xsin x)212sin xcos x错误!，所以 2sin xcos x错误!，所以（cos xsin x)212sin xcos x错误!，因为x是第三象限角，所以 cos xsin x0，所以 cos xsin x错误!.(2)由错误!解得 cos x错误!，sin x错误!，所以 2sin2xsin xcos xcos2x2错误!错误!错误!错误!。（1）把cosxsinx错误!平方(2）注意 x 的范围(3)分别求出sinx、cosx 1.2.2 学必求其心得，业必贵于专精 -12-基础巩固(25 分钟，60 分）一、选择题（每小题 5 分，共 25 分）1下列四个命题中可能成立的一个是()Asin 错误!且 cos 错误!Bsin 0 且 cos 1 Ctan 1 且 cos 1 Dtan 错误!(在第二象限）解析：由同角三角函数基本关系式，知A，C，D 不可能成立，B 可能成立 答案:B 2 已知是第二象限角，且 cos 错误!，则 tan 的值是（）A.错误!B错误!C.512 D错误!解析:为第二象限角，sin 错误!错误!错误!，tan 错误!错误!错误!.答案：D 3已知 cos sin 错误!,则 sin cos 的值为()学必求其心得，业必贵于专精 -13-A。错误!B错误!C错误!D错误!解析：由已知得(cos sin)2sin2cos22sin cos 12sin cos 14，所以 sin cos 38。答案:A 4化简错误!（1cos)的结果是（)Asin Bcos C1sin D1cos 解析：错误!（1cos)错误!（1cos)错误!错误!sin.答案：A 5已知sin|错误!，且错误!5，则 tan 的值是（）A.错误!B2错误!C错误!D2错误!解析:因为错误!0，则 cos _.解析:由已知得是第三象限角,所以 cos 错误!错误!错误!。答案：错误!7已知 sin cos 错误!，则 sin cos _.解析:因为(sin cos)212sin cos 12错误!0，所以 sin cos 0。答案：0 8已知错误!2，则 sin cos 的值为_ 解析：由错误!2，得错误!2，tan 3，sin cos 错误!错误!错误!。答案：错误!三、解答题(每小题 10 分,共 20 分）9已知 tan 3，求下列各式的值:(1）错误!；（2)错误!;（3）错误!sin2错误!cos2。解析：(1)tan 3,cos 0。学必求其心得，业必贵于专精 -15-原式的分子、分母同除以 cos，得 原式4tan 13tan 5错误!错误!.(2)原式的分子、分母同除以cos2，得 原式tan22tan 143tan2错误!错误!。(3）原式错误!错误!错误!错误!.10证明:错误!错误!1.证明：错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!1.能力提升（20 分钟，40 分)11设A是ABC的一个内角,且 sin Acos A23，则这个三角形是（）A锐角三角形 B钝角三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 解析:将 sin Acos A错误!两边平方得 sin2A2sin Acos Acos2A学必求其心得，业必贵于专精 -16-49,又 sin2Acos2A1,故 sin Acos A错误!。因为 0A0,则 cos A0，即A是钝角 答案：B 12化简 sin2cos4sin2cos2的结果是_ 解析:原式sin2cos2(cos2sin2）sin2cos21。答案：1 13化简：1cos21tan2 错误!（为第二象限角)解析：是第二象限角，cos 0.则原式错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!tan。14已知错误!x0，sin xcos x错误!，求下列各式的值(1）sin xcos x；(2）错误!。学必求其心得，业必贵于专精 -17-解析：(1）sin xcos x错误!，（sin xcos x）2错误!2，即 12sin xcos x错误!，2sin xcos x错误!.(sin xcos x）2sin2x2sin xcos xcos2x12sin xcos x1错误!错误!，又错误!x0，sin x0，cos x0，sin xcos x0，sin xcos x错误!.（2）由已知条件及（1），可知错误!，解得错误!,错误!错误!错误!.