2020高中数学第三章空间向量与立体几何.1.5空间向量运算的坐标表示练习(含解析)2-.pdf
学必求其心得，业必贵于专精 -1-3.1。5 空间向量运算的坐标表示 学生用书 P139（单独成册）A 基础达标 1已知a（1,1,0），b（0,1，1），c(1，0，1）,pab，qa2bc,则pq()A1 B1 C0 D2 解析：选 A.因为pab（1，0，1),qa2bc(0，3，1),所以pq1003（1）11，故选 A。2已知ABC的三个顶点为A（3，3，2）,B(4，3,7)，C(0,5，1)，则BC边上的中线长为（）A2 B3 C4 D5 解析:选 B.设BC边的中点为D，则错误!错误!（错误!错误!）(1，2，2),所以|错误!|错误!3。3若向量a(1，1，x)，b(1，2，1)，c（1,1，1)，满足条学必求其心得，业必贵于专精 -2-件(ca）(2b)2，则x的值为()A2 B2 C0 D1 解析：选 A。因为ca（0，0，1x），2b（2,4,2），所以(ca）(2b）2(1x）22x2。所以x2。4 若ABC中，C90,A(1，2，3k），B(2，1，0)，C(4,0，2k），则k的值为(）A。错误!B错误!C2错误!D错误!解析：选 D。错误!(6，1，2k),错误!（3，2，k），则错误!错误!(6）(3）22k(k)2k2200,所以k错误!.5已知向量a（1，2，3),b(2，4，6),c|错误!，若(ab)c7，则a与c的夹角为()A30 B60 C120 D150 学必求其心得，业必贵于专精 -3-解析：选 C。ab（1，2，3)a,故（ab）cac7，得ac7，而a|12223214,所以 cosa，c错误!错误!，所以a，c120.6已知点A(1，3，1）,B(1，3,4)，若错误!2错误!，则点P的坐标是_ 解析：设点P（x，y，z），则由错误!2错误!，得(x1，y3，z1)2（1x，3y，4z)，则错误!解得错误!即P(1，3，3）答案：(1，3，3）7已知点A（1，1，3)，B（2，,2)，C(3，3,9)三点共线，则实数_,_ 解析：因为错误!（1,1,23），错误!（2，2,6），由A，B，C三点共线,得错误!错误!，即错误!错误!错误!,解得0,0.答案：0 0 8若a（x，2,2）,b（2，3,5)的夹角为钝角,则实数x的取值范围是_ 解析：ab2x23252x4，设a,b的夹角为，因为为钝角，所以 cos 错误!0，又a0，b|0，所以ab学必求其心得，业必贵于专精 -4-0，即 2x40,所以x2.又a,b不会反向,所以实数x的取值范围是（，2)答案:（,2）9已知向量a(x，4,1)，b（2，y，1），c(3，2，z)，且ab，bc。(1)求向量a，b，c；(2)求向量ac与向量bc所成角的余弦值 解：(1）因为ab，所以错误!错误!错误!，解得x2,y4，此时a(2,4，1)，b（2，4，1)又由bc得bc0,故(2，4，1)(3，2，z)68z0,得z2，此时c(3,2,2）（2)由(1)得，ac（5，2，3），bc(1，6，1),因此向量ac与向量bc所成角的余弦值为 cos 错误!错误!.学必求其心得，业必贵于专精 -5-10已知四边形ABCD的顶点坐标分别是A（3，1，2)，B(1，2，1），C（1，1,3)，D（3,5，3)，求证：四边形ABCD是一个梯形 证明：因为错误!（1，2,1）（3，1，2）（2，3,3），错误!（3，5，3)(1，1，3)（4，6，6),且错误!错误!错误!，所以错误!与错误!共线 又因为AB与CD不共线，所以ABCD。又因为错误!（3,5，3）（3,1，2)（0，4，1)，错误!（1，1,3)（1，2，1)（2，1,2)，且错误!错误!错误!，所以错误!与错误!不平行 所以四边形ABCD为梯形 B 能力提升 11从点P（1，2，3）出发,沿着向量v（4，1，8)方向取点Q，使PQ|18，则Q点的坐标为（)A(7，0，19）B（9,4,13)C（7，0，19)或（9，4，13)D（1，2，3)或（1，2，3）学必求其心得，业必贵于专精 -6-解析：选 C。设Q（x0，y0，z0），则错误!v，即（x01，y02，z03)(4，1，8)由|PQ|18 得（4）2（2（8）2)18，所以2，所以（x01,y02，z03）2(4，1，8)，所以错误!或错误!12 已知O为坐标原点,错误!(1,2，3)，错误!（2,1,2），错误!(1,1，2)，点Q在直线OP上运动，则当错误!错误!取得最小值时，点Q的坐标为(）A.错误!B错误!C。错误!D错误!解析:选 C.设错误!错误!，则错误!错误!错误!错误!错误!（1，2，32），错误!错误!错误!错误!错误!（2,1，22），所以错误!错误!(1,2，32)(2，1，22）2(3285）23（错误!)2错误!所以当错误!时，错误!错误!取得最小值,此时错误!错误!错误!(错误!，错误!，错误!)，即点Q的坐标为（错误!,错误!，错误!)13已知空间三点A(0，2，3),B（2，1，6），C(1，1，5)学必求其心得，业必贵于专精 -7-(1)求分别以向量错误!，错误!为一组邻边的平行四边形的面积S；（2）若向量a与向量错误!,错误!均垂直，且|a错误!,求向量a的坐标 解:（1)因为错误!(2，1，3)，错误!（1，3，2），所以错误!错误!错误!，错误!|错误!错误!，所以 cosBAC错误!错误!，所以S|错误!|错误!sin BAC7错误!。(2)设a（x，y，z），则a错误!2xy3z0，a错误!x3y2z0,|a|错误!x2y2z23,解得xyz1 或xyz1，所以a(1，1，1）或(1，1,1)14(选做题)如图,四棱锥P。ABCD中，PA底面ABCD,四边形ABCD中,ABAD，ABAD4，CD错误!,CDA45.设ABAP,在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C,D的距离都相等？说明理由 学必求其心得，业必贵于专精 -8-解:因为PA平面ABCD，且AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，所以PAAB，PAAD。又ABAD，所以AP，AB,AD两两垂直 以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.假设在线段AD上存在一个点G,使得点G到点P，B,C，D的距离都相等连接GB，GC,GP，设ABAPt,则B(t，0，0)，G（0，m，0)（其中 0m4t），P（0，0,t）,D(0，4t，0）因为CDA45，所以C（1，3t，0)所以错误!（1，3tm，0），错误!(0,4tm，0），错误!(0，m，t）由错误!|错误!，得 12(3tm）2（4tm）2，即t3m.由|错误!|错误!，得（4tm)2m2t2.由消去t，化简得m23m40。学必求其心得，业必贵于专精 -9-由于方程没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等
