2020高中数学学期综合测评(二)2-.pdf
学必求其心得，业必贵于专精 -1-学期综合测评（二）本试卷分第卷（选择题)和第卷（非选择题)两部分满分150 分，考试时间 120 分钟 第卷（选择题,共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1下列说法正确的是()A22i B2（3i)2 C23i33i D22i2i 答案 B 解析 本题主要考查复数的性质不全为实数的两个复数不能比较大小，故排除 A，C，D；而 B 中（3i）292,故选 B.2用反证法证明命题“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程分为三步:则A，B,C,D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB,CD是异面直线矛盾；所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；假设直线AC，BD是共面直线 则正确的顺序为(）学必求其心得，业必贵于专精 -2-A B C D 答案 B 解析 本题主要考查反证法的步骤反证法的步骤是：反设归谬结论结合本题，知选B。3a，b是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2;a2b22;ab1.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是()A B C D 答案 C 解析 若a错误!，b错误!，则ab1,但a2，则a，b中至少有一个大于 1.我们可以用反证法进行证明：假设a1 且b1,则ab2，与ab2 矛盾，因此假设学必求其心得，业必贵于专精 -3-不成立,故a,b中至少有一个大于 1。因此能推出故选 C。4用数学归纳法证明 1222（n1）2n2(n1)22212错误!时，从nk 到nk1 时,等式左边应添加的式子是（)A（k1）22k2 B(k1)2k2 C（k1)2 D。错误!(k1)2（k1)21 答案 B 解析 nk时，左边1222(k1)2k2(k1）22212，nk1 时，左边1222（k1）2k2（k1）2k2(k1)22212，从nk到nk1,左边应添加的式子为(k1)2k2。5 定义在 R 上的可导函数f(x)，已知yef（x)的图象如图所示，则yf（x)的增区间是(）A(,1)B(,2)C（0，1）学必求其心得，业必贵于专精 -4-D（1，2)答案 B 解析 由题中图象知 ef（x)1，即f(x)0 时，x2，yf（x)的增区间为（，2)6已知x0，不等式x1x2，x错误!3，x错误!4，,可推广为x错误!n1,则a的值为（)An2 Bnn C2n D22n2 答案 B 解析 由x错误!2，x错误!x错误!3,x错误!x错误!4，可推广为x错误!n1,故ann。7如图，抛物线yx22x1 与直线y1 形成一个闭合图形（图中的阴影部分），则该闭合图形的面积是（)A1 B。错误!学必求其心得，业必贵于专精 -5-C。错误!D2 答案 B 解析 由错误!知错误!或错误!故所求面积S错误!（x22x1）dx错误!1dx错误!错误!x3x2x|错误!x|错误!错误!。故选B.8设 f(x）x（ax2bxc）(a0）在 x1 和 x1 处均有极值，则下列各点一定在 y 轴上的是()A(b，a）B(a,c）C(c，b）D(ab，c)答案 A 解析 f（x）3ax22bxc,由题意知 1,1 是方程 3ax22bxc0 的两根，则 11错误!0,所以 b0.故选A.9已知函数 f（x)(xR）满足f(2）3，且f（x）在 R 上的导数满足f（x）10，则不等式f（x2）x21 的解集为(）A(，2）B（2，）C（，2)(错误!，)D（错误!，错误!）答案 C 学必求其心得，业必贵于专精 -6-解析 令g（x）f（x)x，则g（x)f(x)10，g（x)在 R 上单调递减由f(x2)x21，得f(x2)x21,即g（x2）1。又g（2）f（2）21，g（x2)g（2)，x22，解得x2或x错误!。故选 C.10若a，b，c是不全相等的正数,给出下列判断:(ab）2(bc）2（ca)20；ab与ab与ab及ab三种情况，故正确;对于，因为a，b，c是不全相等的正数，所以ac，bc，ab能同时成立，故错误 11定义复数的一种运算z1z1z2|,2）（等式右边为普通运算),若复数zabi,且正实数a,b满足ab3，则z*错误!的最学必求其心得，业必贵于专精 -7-小值为（)A。错误!B.错误!C。错误!D.错误!答案 B 解析 z*错误!错误!错误!错误!错误!，又ab错误!2错误!，ab错误!，z*错误!错误!错误!错误!。12若 0 x错误!,则 2x与 3sinx的大小关系（)A2x3sinx B2x3sinx C2x3sinx D与x的取值有关 答案 D 解析 令f(x）2x3sinx,则f(x)23cosx.当 cosx0.故f（x)的值与x取值有关,即 2x与 sinx的大小关系与x取值有关故选 D。学必求其心得，业必贵于专精 -8-第卷(非选择题，共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分)13i 是虚数单位,复数错误!的共轭复数是_ 答案 2i 解析 错误!错误!错误!2i，错误!的共轭复数是 2i.14通过类比长方形，由命题“周长为定值l的长方形中，正方形的面积最大，最大值为错误!”,可猜想关于长方体的相应命题为_ 答案 表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为错误!错误!解析 正方形有 4 条边，正方体有 6 个面，正方形的面积为边长的平方，正方体的体积为边长的立方由正方体的边长为错误!错误!,通过类比可知，表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为错误!错误!。15若函数f(x）的导函数f(x）x24x3,则函数f(1x)的单调递减区间是_ 答案（0,2)学必求其心得，业必贵于专精 -9-解析 由f（x)x24x30 得 1x3,即函数f(x)的单调递减区间为(1，3）又函数f(1x）的图象是由f(x）的图象向左平移 1 个单位长度得到的,函数f（1x）的单调递减区间为(0,2)16如图所示的数阵中,第 20 行第 2 个数字是_ 1 错误!错误!错误!错误!错误!14 错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!答案 错误!解析 设第n(n2 且nN)行的第 2 个数字为1an，其中a11，则由数阵可知an1ann,a20（a20a19)（a19a18）（a2a1)a1191811错误!1191，错误!错误!。三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17(本小题满分 10 分)已知复数z满足z|错误!，z的虚部为学必求其心得，业必贵于专精 -10-1，且在复平面内表示的点位于第二象限（1)求复数z；（2）若m2mmz2是纯虚数,求实数m的值 解(1）设zabi,（a,bR）,则a2b22，b1。因为在复平面内表示的点位于第二象限，所以a0，所以a1，b1，所以z1i。(2)由(1）得z1i,所以z2（1i）22i,所以m2mmz2m2m2mi。又因为m2mmz2是纯虚数，所以错误!所以m1。18（本小题满分 12 分)已知函数f(x）x3ax2xc，且af（）23.（1）求a的值；（2）求函数f（x)的单调区间 学必求其心得，业必贵于专精 -11-解(1)f(x)3x22ax1,f（x)3x22f错误!x1，f错误!3错误!2f错误!错误!1,f错误!1，a1.（2)由(1）得f(x)x3x2xc,f(x）3x22x1(3x1）（x1)令f(x)0 得x错误!或x1，令f（x)0 得错误!x1,f(x）的单调递增区间为错误!和（1，）；单调递减区间为错误!.19（本小题满分 12 分）求由曲线xy1 及直线xy，y3 所围成的平面图形的面积 解 作出曲线xy1，直线xy，y3 的草图，如图：所求面积为图中阴影部分的面积 由错误!学必求其心得，业必贵于专精 -12-得错误!故A错误!;由错误!得错误!或错误!（舍去),故B（1，1)；由错误!得错误!故C（3,3）20(本小题满分 12 分）已知a，b是实数，1 和1 是函数f（x)x3ax2bx的两个极值点(1）求a和b的值；(2)设函数 g(x）的导函数 g(x）f(x）2,求 g（x)的极值点 解（1）由f(x）x3ax2bx，得 f（x）3x22axb。1 和1 是函数f（x）x3ax2bx的两个极值点,f（1）32ab0，f(1)32ab0，解得a0，b3。（2）由（1）得f(x）x33x,则 g(x）f（x)2x33x2(x1)2(x2)，令 g（x）0，得x1 或x2。当x变化时，g(x），g(x)的变化情况如下表：学必求其心得，业必贵于专精 -13-x（，2）2(2，1)1（1，)g（x)0 0 g（x）极小值 由上表可知，函数 g(x）的极值点是x2.21(本小题满分12分)水以20米3/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深 30 米，上底直径 12 米，试求当水深 10 米时，水面上升的速度 解 设容器中水的体积在 t 分钟时为 V，水深为 h,则 V20t，又 V错误!r2h，由图知错误!错误!，所以 r错误!h，学必求其心得，业必贵于专精 -14-所以 V错误!错误!2h3错误!h3,所以 20t错误!h3，所以 h错误!,于是 h错误!错误!t错误!.当 h10 时，t错误!，此时 h错误!,所以当 h10 米时，水面上升速度为错误!米/分 22(本小题满分 12 分）已知某数列的第一项为 1，并且对所有的自然数 n2,数列的前 n 项之积为 n2。(1）写出这个数列的前 5 项；（2）写出这个数列的通项公式并加以证明 解(1)已知 a11，由题意，得 a1a222,a222.a1a2a332，a33222.同理，可得 a4错误!,a5错误!。因此这个数列的前 5 项分别为 1，4，错误!，错误!,错误!。（2)观察这个数列的前 5 项，猜测数列的通项公式应为：an错误!下面用数学归纳法证明当n2 时，an错误!。学必求其心得，业必贵于专精 -15-当 n2 时，a2错误!22，结论成立 假设当 nk(k2，kN*)时，结论成立,即akk2k12。a1a2ak1(k1)2，a1a2ak1akak1(k1)2,ak1错误!k12k12错误!错误!错误!。这就是说当nk1 时，结论也成立 根据可知,当n2 时，这个数列的通项公式是 an错误!.这个数列的通项公式为an错误!
