2020高中数学第4讲用数学归纳法证明不等式2用数学归纳法证明不等式举例学案4-.pdf
学必求其心得，业必贵于专精 -1-二 用数学归纳法证明不等式举例 学习目标：1.会用数学归纳法证明简单的不等式（重点）2.会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件（难点）教材整理 用数学归纳法证明不等式 阅读教材P50P53，完成下列问题 1贝努利（Bernoulli）不等式 如果x是实数，且x1，x0，n为大于 1 的自然数，那么有(1x）n1nx。2在运用数学归纳法证明不等式时，由nk成立,推导nk1 成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行 用数学归纳法证明“2nn21 对于nn0的正整数n都成立时,第一步证明中的起始值n0应取()A2 B3 C5 D6 C n取 1,2，3,4 时不等式不成立,起始值为 5.学必求其心得，业必贵于专精 -2-数学归纳法证明不等式【例 1】已知Sn1错误!错误!错误!（n1，nN），求证：S2n1错误!（n2，nN）精彩点拨 先求Sn 再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明,注意Sn表示前n项的和(n1）,首先验证n2；然后证明归纳递推 自主解答(1）当n2 时,S221错误!错误!错误!错误!1错误!，即n2 时命题成立（2）假设nk(k2,kN)时命题成立，即S2k112错误!错误!1错误!.当nk1 时，S2k11错误!错误!错误!错误!错误!1错误!错误!错误!错误!1错误!错误!1错误!错误!1错误!。故当nk1 时，命题也成立 学必求其心得，业必贵于专精 -3-由（1)(2)知,对nN，n2，S2n1错误!都成立 此题容易犯两个错误，一是由nk到nk1 项数变化弄错,认为错误!的后一项为错误!,实际上应为错误!；二是错误!错误!错误!共有多少项之和，实际上 2k1 到 2k1是自然数递增，项数为 2k1(2k1）12k.1若在本例中，条件变为“设f(n)1错误!错误!错误!(nN），由f(1）1错误!，f(3）1，f（7)错误!，f(15）2，”。试问:f(2n1)与错误!大小关系如何？试猜想并加以证明 解 数列 1，3，7，15,，通项公式为an2n1，数列错误!，1，错误!，2，通项公式为an错误!，猜想：f（2n1）错误!。下面用数学归纳法证明：当n1 时,f(211）f（1）1错误!，不等式成立 假设当nk(k1，kN)时不等式成立，即f（2k1)错误!，当nk1 时，f(2k11）f（2k1)错误!错误!错误!学必求其心得，业必贵于专精 -4-错误!f（2k1)错误!错误!f(2k1）错误!错误!错误!错误!。当nk1 时不等式也成立 据知对任何nN原不等式均成立【例 2】证明：2n2n2(nN）精彩点拨 错误!错误!错误!自主解答(1）当n1 时，左边2124；右边1，左边右边;当n2 时，左2226，右224，所以左右；当n3 时，左23210,右329，所以左右 因此当n1，2,3 时，不等式成立（2)假设当nk（k3 且kN）时，不等式成立，即 2k2k2(kN）当nk1 时，2k1222k22(2k2）22k22 k22k1k22k3（k1)2（k1)(k3),k3，(k1）（k3)0,（k1）2(k1)(k3）(k1)2,学必求其心得，业必贵于专精 -5-所以 2k12(k1）2。故当nk1 时，原不等式也成立 根据(1）（2）知，原不等式对于任何nN都成立 1本例中,针对目标k22k1，由于k的取值范围（k1）太大，不便于缩小因此,用增加奠基步骤(把验证n1 扩大到验证n1,2,3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k3,促使放缩成功，达到目标 2利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由nk到nk1 的变形 为满足题目的要求,常常要采用“放”与“缩”等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难题一是要仔细观察题目结构，二是要靠经验积累 2 用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数，不等式错误!错误!错误!错误!均成立 证明（1)当n2 时,左边1错误!错误!；右边错误!.左边右边，不等式成立；（2）假设nk(k2，且kN)时不等式成立，学必求其心得，业必贵于专精 -6-即错误!错误!错误!错误!。则当nk1 时，错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!.当nk1 时,不等式也成立 由(1）（2）知，对于一切大于 1 的自然数n，不等式都成立.不等式中的探索、猜想、证明【例 3】若不等式错误!错误!错误!错误!错误!对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论 精彩点拨 先通过n取值计算,求出a的最大值，再用数学归纳法进行证明，证明时，根据不等式特征，在第二步,运用比差法较方便 自主解答 当n1 时，错误!错误!错误!错误!，则错误!错误!，a26。又aN，取a25。下面用数学归纳法证明错误!错误!错误!错误!.(1）n1 时,已证 学必求其心得，业必贵于专精 -7-(2）假设当nk时(k1,kN)，错误!错误!错误!错误!,当nk1 时，错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!,错误!错误!错误!错误!，错误!错误!错误!0,1k11错误!错误!错误!也成立 由(1)（2)可知,对一切nN，都有错误!错误!错误!错误!，a的最大值为 25.1不完全归纳的作用在于发现规律，探究结论,但结论必须证明 2 本题中从nk到nk1 时，左边添加项是13k2错误!错误!错误!.这一点必须清楚 学必求其心得，业必贵于专精 -8-3设an1错误!错误!错误!（nN)，是否存在n的整式g(n)，使得等式a1a2a3an1g（n）（an1）对大于 1 的一切正整数n都成立？证明你的结论 解 假设g（n）存在,那么当n2 时，由a1g（2）(a21)，即 1g（2）错误!，g（2）2；当n3 时，由a1a2g（3）（a31）,即 1错误!g（3)错误!，g（3)3,当n4 时,由a1a2a3g(4)（a41),即 1错误!错误!g（4）错误!，g（4）4，由此猜想g(n）n（n2，nN）下面用数学归纳法证明:当n2，nN时，等式a1a2a3an1n（an1)成立(1)当n2 时，a11，学必求其心得，业必贵于专精 -9-g(2）(a21)2错误!1,结论成立(2)假设当nk(k2，kN)时结论成立，即a1a2a3ak1k（ak1)成立,那么当nk1 时，a1a2ak1ak k(ak1)ak（k1）akk(k1)ak(k1)1（k1)错误!（k1）（ak11），说明当nk1 时，结论也成立,由(1）(2)可知，对一切大于 1 的正整数n，存在g（n)n使等式a1a2a3an1g(n)（an1)成立 1数学归纳法适用于证明的命题的类型是()A已知结论 B结论已知 C直接证明比较困难 D与正整数有关 学必求其心得，业必贵于专精 -10-D 数学归纳法证明的是与正整数有关的命题故应选 D。2用数学归纳法证明不等式 1错误!错误!错误!2错误!（n2，nN）时，第一步应验证不等式()A1错误!2错误!B 1错误!错误!2错误!C1错误!2错误!D1错误!错误!2错误!A n02 时，首项为 1，末项为错误!.3用数学归纳法证不等式 1错误!错误!错误!错误!成立,起始值至少取（）A7 B8 C9 D10 B 左边等比数列求和Sn错误!2错误!错误!，即 1错误!错误!错误!，错误!错误!错误!，错误!错误!错误!错误!，n7，n取 8，选 B。4用数学归纳法证明 1错误!错误!错误!n(nN,n1）时,第一步证明不等式_成立 解析 因为n1，所以第一步n2,即证明 1错误!错误!2学必求其心得，业必贵于专精 -11-成立 答案 1错误!错误!2 5试证明：1错误!错误!错误!2错误!(nN)证明(1）当n1 时，不等式成立（2)假设nk（k1，kN）时，不等式成立，即 1错误!错误!错误!2错误!。那么nk1 时,错误!错误!2k1k1错误!错误!2错误!。这就是说，nk1 时，不等式也成立 根据(1）（2）可知不等式对nN成立
