00高中数学第章圆锥曲线与方程..椭圆的几何性质(二)学案-.pdf

学必求其心得，业必贵于专精 -1-2。2.2 椭圆的几何性质(二）学 习 目 标 核 心 素 养 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识(重点、难点)通过对直线与椭圆位置关系相关知识的学习,提升学生的逻辑推理、数学运算素养。1点与椭圆的位置关系 设P（x0,y0)，椭圆错误!错误!1（ab0），则点P与椭圆的位置关系如下所示:(1）点P(x0，y0)在椭圆内错误!错误!1。(2)点P(x0，y0）在椭圆上错误!错误!1.(3)点P(x0,y0)在椭圆外错误!错误!1。2直线与椭圆的位置关系(1)判断直线和椭圆位置关系的方法 将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数,得到一个一元二次方程若0，则直线和椭圆相交；若0，则直线和椭圆学必求其心得，业必贵于专精 -2-相切；若0，则直线和椭圆相离（2)根与系数的关系及弦长公式 设直线l：ykxm（k0,m为常数)与椭圆错误!错误!1(ab0)相交，两个交点为A（x1,y1）、B(x2，y2),则线段AB叫做直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫做弦长下面我们推导弦长公式:由两点间的距离公式，得AB错误!，将y1kx1m，y2kx2m代入上式，得|AB|错误!错误!错误!|x1x2|，而x1x2错误!，所以AB错误!错误!，其中x1x2与x1x2均可由根与系数的关系得到(3）直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用0.例如，直线l：yk(x2)1 和椭圆错误!错误!1。无论k取何值，直线l恒过定点（2，1），而定点（2,1)在椭圆内部,所以直线l必与椭圆相交 思考：直线和椭圆有公共点，联立直线与椭圆的方程组消去y后，推导出的弦长公式是什么？提示|AB|x1x22y1y22错误!y1y2|.1若点A（a,1)在椭圆错误!错误!1 的内部，则a的取值范围是()学必求其心得，业必贵于专精 -3-A错误!a错误!Ba错误!或a错误!C2a2 D1a1 答案 A 2已知点(3，2）在椭圆错误!错误!1 上,则()A点（3，2）不在椭圆 B点（3,2）不在椭圆上 C点（3,2)在椭圆上 D无法判断点(3，2）、（3,2)、（3，2）是否在椭圆上 C(3,2)与（3，2）关于y轴对称，由椭圆的对称性可知,选 C。3 经过椭圆错误!错误!1（ab0)的焦点且垂直于椭圆长轴所截得的弦长为_ 答案 2b2a 点、直线与椭圆的位置关系【例 1】（1)已知点p(k，1）在椭圆x29错误!1 外，则实数k的取值范围为_ 学必求其心得，业必贵于专精 -4-(2)已知椭圆 4x2y21 及直线yxm.当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围；当m1 时，求直线与椭圆的相交弦长；求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程 解（1）由题意知错误!错误!1,解得k错误!或k错误!，所以k的取值范围为错误!错误!。（2)联立错误!消去y得 5x22mxm210。(*）因为直线和椭圆有公共点，4m245（m21)0，即m2错误!，错误!m错误!.所以m的取值范围为错误!。设交点为A（x1,y1）,B(x2,y2)，联立错误!得 5x22x0.由题意得0,由根与系数的关系得x1x2错误!，x1x20,则弦长1k2x1x2|11错误!2错误!错误!。学必求其心得，业必贵于专精 -5-（3）设交点为A(x1，y1），B(x2,y2)，对于(*）式，由根与系数的关系得x1x22m5，x1x2错误!，则弦长1k2x1x2错误!错误!错误!错误!.由上式可知，当m0 时,弦最长此最长弦所在的直线的方程为yx，即xy0。（1）有关直线与椭圆的位置关系问题通常有两类问题:一是判断位置关系，二是依据位置关系确定参数的值或取值范围，两类问题在解决方法上是一致的，都是要将直线方程和椭圆方程联立，利用一元二次方程根的判别式和根与系数的关系求解(2)在弦长公式|AB错误!|x1x2错误!y1y2|中,k为直线的斜率，在计算x1x2或|y1y2|时，一定要注意“整体代入”这种设而不求的思想，即利用根与系数的关系，得到x1x2错误!或y1y2|错误!整体代入求解 1已知直线l：y2xm,椭圆C：错误!错误!1，试问当m取何值时,直线l与椭圆C:(1)有两个不重合的公共点;学必求其心得，业必贵于专精 -6-(2）有且仅有一个公共点；（3）没有公共点 解 直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组：错误!消去y，得：9x28mx2m240，方程的判别式（8m）249(2m24)8m2144，（1)当0，即3错误!m3错误!时,方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点(2)当0,即m3错误!时,方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解，这时直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，(3)当0,即m3错误!,或m3错误!时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解，这时直线l与椭圆C没有公共点.弦长及弦中点问题【例2】已知椭圆错误!错误!1的弦AB的中点M的坐标为（2，1），求直线AB的方程 思路探究 利用中点公式或点差法可求解直线的斜率k。学必求其心得，业必贵于专精 -7-解 法一:由椭圆的对称性,知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y1k(x2）将其代入椭圆方程并整理,得（4k21）x28(2k2k)x4(2k1)2160。设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两根,于是x1x2错误!.又M为线段AB的中点，错误!错误!2，解得k错误!。故所求直线的方程为x2y40。法二：（点差法)设A(x1，y1)，B(x2，y2),x1x2。M(2，1）为线段AB的中点，x1x24，y1y22。又A，B两点在椭圆上，则x2，14y2116，x错误!4y错误!16，两式相减，得（x错误!x错误!)4(y错误!y错误!）0,于是(x1x2）（x1x2）4（y1y2）(y1y2)0。错误!错误!学必求其心得，业必贵于专精 -8-442错误!,即kAB错误!。故所求直线的方程为x2y40.法三：对称点法（或共线法）设所求直线与椭圆的一个交点为A（x，y），由于点M（2,1）为线段AB的中点，则另一个交点为B(4x，2y)A，B两点都在椭圆上，错误!，得x2y40.即点A的坐标满足这个方程,根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A,B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x2y40。直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题,即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式.解决弦长问题，一般应用弦长公式.而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程。学必求其心得，业必贵于专精 -9-2已知椭圆错误!错误!1 和点P（4,2），直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点(1)当直线l的斜率为错误!时，求线段AB的长度；(2）当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程 解(1)由已知可得直线l的方程为y212(x4），即y错误!x。由错误!消去y可得x2180，若设A（x1，y1），B(x2，y2）则x1x20，x1x218.于是|AB错误!错误!错误!错误!错误!6错误!3错误!.所以线段AB的长度为 310。（2)法一：当直线l的斜率不存在时,不合题意 设l的斜率为k，则其方程为y2k(x4)学必求其心得，业必贵于专精 -10-联立错误!消去y得（14k2）x2（32k216k)x(64k264k20)0.若设A(x1，y1），B（x2，y2)，则x1x232k216k14k2，由于AB的中点恰好为P（4，2),所以错误!错误!4，解得k12，且满足0。这时直线的方程为y212（x4)，即x2y80。法二：设A（x1，y1），B(x2，y2），则有错误!两式相减得错误!错误!0，整理得kAB错误!错误!，由于P(4，2）是AB的中点，x1x28,y1y24，学必求其心得，业必贵于专精 -11-于是kAB98364错误!，于是直线AB的方程为 y2错误!(x4)即x2y80。椭圆中的最值（或范围)问题 探究问题 1求解椭圆的最值问题一般有哪两种方法？提示(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及其意义，则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应椭圆的定义及对称知识求解（2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值常用方法有配方法、判别式法、重要不等式及函数的单调性法等 2弦长公式是什么？提示 AB错误!|x1x2错误!|y1y2|。学必求其心得，业必贵于专精 -12-【例 3】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：错误!错误!1（ab0)的离心率e错误!，且点P（2，1）在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）若点A，B都在椭圆C上，且AB中点M在线段OP(不包括端点)上求直线AB的斜率;求AOB面积的最大值 思路探究(1）首先求出椭圆方程（2）求出直线AB的斜率，设出直线AB的方程，求出AOB的面积，用变量表示，根据重要不等式求出最值 解(1)由题意得错误!错误!椭圆C的方程为错误!错误!1。（2)法一：设A（x1,y1），B（x2,y2)，M(x0，y0），直线AB的斜率为k，则错误!错误!错误!0，错误!错误!k0.又直线OP：y错误!x，M在线段OP上，y0错误!x0，k1。法二:设A(x1,y1）,B(x2，y2），M(x0，y0），直线AB的方程为yy0k(xx0)，学必求其心得，业必贵于专精 -13-则错误!(12k2)x24k（y0kx0)x2（y0kx0)260.由题意，0，x1x2错误!，x0错误!。又直线OP:y错误!x，M在线段OP上，y0错误!x0，错误!1,k1.法三：设A（x1，y1），B(x2，y2)，M(x0，y0），直线AB的方程为ykxm，则错误!（12k2）x24kmx2m260。由题意，0，x1x2错误!.x0错误!（)又直线OP：y错误!x，M在线段OP上,y0错误!x0（)，M在直线AB上，y0kx0m()解(）（)（)得k1。设直线AB的方程为yxm,m(0,3）则错误!3x24mx2m260，错误!学必求其心得，业必贵于专精 -14-AB112|x1x2|错误!错误!，原点到直线的距离d错误!。SAOB错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!，当且仅当m错误!错误!（0，3）时，等号成立 AOB面积的最大值为错误!.求最值问题的基本策略 1求解形如|PA|PB|的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|PA|PB|取得最值。2求解形如PA的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围.3求解形如axby的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决.4利用不等式，尤其是均值不等式求最值或取值范围。3已知椭圆C：错误!错误!1（ab0）的离心率为错误!，过点M(1,0）的直线l交椭圆C于A，B两点，MAMB,且当直线l垂直于x轴时，AB错误!。（1)求椭圆C的方程；学必求其心得，业必贵于专精 -15-(2）若错误!，求弦长AB的取值范围 解（1）由已知e错误!，得错误!错误!，当直线垂直于x轴时,|AB错误!，椭圆过点错误!，代入椭圆方程得错误!错误!1，又a2b2c2，联立方程可得a22，b21，椭圆C的方程为错误!y21.（2）当过点M的直线斜率为 0 时，点A,B分别为椭圆长轴的端点，错误!错误!32错误!2 或错误!错误!32错误!错误!，不符合题意 直线的斜率不能为 0。设直线方程为xmy1，A(x1，y1），B(x2，y2),将直线方程代入椭圆方程得：（m22)y22my10，由根与系数的关系可得，错误!将式平方除以式可得：错误!错误!2错误!，由已知MAMB|可得，错误!,错误!2错误!,又知错误!，错误!2错误!，学必求其心得，业必贵于专精 -16-12错误!0，解得m2错误!.AB|2（1m2)|y1y2|2（1m2)(y1y2）24y1y28错误!28错误!2，m2错误!,错误!错误!,|AB错误!.错误!1思考辨析(1）点P(1,2)在椭圆错误!错误!1 上（)(2）直线l：kxyk0 与椭圆错误!错误!1 相交(3)若直线ykx2 与椭圆错误!错误!1 相切，则k错误!.提示（1)在椭圆外（2）（3）2已知直线l：xy30，椭圆x24y21，则直线与椭圆的位置关系是（）A相交 B相切 学必求其心得，业必贵于专精 -17-C相离 D相切或相交 答案 C 3 过椭圆错误!y21 的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，则|AB等于(）A4 B23 C1 D4错误!C 因为错误!y21 中a24，b21,所以c23,所以右焦点坐标F(错误!，0)，将x错误!代入错误!y21 得，y错误!，故|AB1.4已知直线与椭圆 4x29y236 相交于A、B两点,弦AB的中点坐标为M(1,1），则直线AB的方程为_ 4x9y130 法一:根据题意，易知直线AB的斜率存在，设通过点M（1,1)的直线AB的方程为yk（x1）1，代入椭圆方程，整理得（9k24)x218k（1k）x9（1k)2360。设A,B的横坐标分别为x1，x2，则错误!错误!1，解得k错误!.故直线AB的方程为y错误!(x1）1,即 4x9y130。学必求其心得，业必贵于专精 -18-法二：设A（x1，y1），B(x2，y2)，代入椭圆方程，得错误!，得 4(x1x2)(x1x2）9(y1y2)(y1y2）0.M(1,1)为弦的中点，x1x22，y1y22。4(x1x2)9（y1y2）0.kAB错误!错误!。故直线AB的方程为y1错误!(x1)，即 4x9y130.