2021届广东省珠海市高三上学期第一次摸底数学试题(解析版).pdf

第 1 页 共 6 页 2021 届广东省珠海市高三上学期第一次摸底数学试题 一、单选题 1设集合2|4Ax x，2|30Bx xx，则AB（）A(5,2)(2,6)B(2,2)C(,5)(6,)D(,2)(2,)【答案】A【解析】本题首先可以通过对不等式24x、230 xx进行计算得出集合A和集合B中所包含的元素，然后通过交集的相关性质即可得出结果.【详解】24x，即2x 或2x ，则集合,22,A ，230 xx，即650 xx，解得56x，则集合5,6B ，故(5,2)(2,6)AB，故选：A.【点睛】本题考查集合的相关运算，主要考查交集的相关运算，考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，是简单题.227(1)ii（）A1 B2 Ci D2i【答案】B【解析】利用复数的四则运算，计算结果即可.【详解】化简得2732(1)22221iiiii.故选：B.【点睛】本题考查了复数的四则运算和虚数单位的幂运算，属于基础题.38 名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测，甲、乙两个单位各需三名医生，丙需两名医生，其中医生 a不能去甲医院，则不同的选派方式共有（）第 1 页 共 6 页 A280 种 B350 种 C70 种 D80 种【答案】B【解析】对医生 a 去乙、丙医院进行讨论，分别按要求选派，即得结果.【详解】若医生 a去乙医院，再依次为甲、乙、丙三个单位选派得322742210C C C；若医生 a去丙医院，再依次为甲、乙、丙三个单位选派得331741140C C C；所以不同的选派方式共有210 140350种.故选：B.【点睛】本题考查了组合的应用，分类加法计数原理和分步乘法计数原理，属于基础题.4 一球O内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形ABC，过C作与球O相切的平面，则直线AC与平面所成的角为（）A30 B45 C15 D60【答案】D【解析】分析得平面与圆锥底面平行，求直线AC与圆锥底面所成的角，即得结果.【详解】如图所示截面为正三角形的三棱锥中，,A B C在球O上，过C作与球O相切的平面必然与圆锥底面平行，则直线AC与平面所成的角，即直线AC与圆锥底面所成的角，即60CAB，故选：D.【点睛】本题考查了球内接圆锥，直线与平面所成的角，属于基础题.5现有 8 位同学参加音乐节演出，每位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知 5 人会拉小提琴，5 人会吹长笛，现从这 8 人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是（）第 1 页 共 6 页 A14 B12 C38 D58【答案】A【解析】根据题意：8 位同学会拉小提琴或会吹长笛，已知 5 人会拉小提琴，5人会吹长笛即可知有 2 位同学两种乐器都会演奏，利用古典概型的概率公式求概率即可；【详解】由题意知，8位同学中有 2位同学两种乐器都会演奏 从 8 人中随机选一人上场演出，恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率为：(P两种乐器都会演奏的同学12181)4CC 故选：A【点睛】本题考查了古典概型，首先根据已知判断两种乐器都会演奏的学生人数，然后利用古典概型的概率公式求概率；6 若定义在R上的奇函数 f x在0,单调递增，且 50f，则满足 0 xf x 的解集是（）A,55,B,50,5 C 5,05,D 5,00,5【答案】D【解析】分析出函数 f x在,0单调递增，可得出 50f，然后分0 x、0 x、0 x 三种情况解不等式 0 xf x，综合可得出原不等式的解集.【详解】由于定义在R上的奇函数 f x在0,单调递增，则该函数在,0单调递增，且 00f，550ff.显然当0 x 时，000f；当0 x 时，由 0 xf x 可得 05f xf，解得05x；当0 x 时，由 0 xf x 可得 05f xf，解得5x0.因此，不等式 0 xf x 的解集为 5,00,5.第 1 页 共 6 页 故选：D.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7已知 P是边长为 1 的正方形 ABCD边上或正方形内的一点，则AP BP的最大值是（）A14 B2 C1 D12【答案】C【解析】构建A为原点，AB为x轴，AD为y轴的直角坐标系用坐标表示各顶点，设(,)P x y则可用坐标表示22AP BPxxy，由于,x y是两个相互独立的变量，即可将代数式中含x和y的部分分别作为独立函数求最大值，它们的和即为AP BP的最大值【详解】构建以 A 为原点，AB为 x轴，AD 为 y 轴的直角坐标系，如下图示：由正方形 ABCD边长为 1，知：(1,0),(1,1),(0,1)BCD，若令(,)P x y，即(,)APx y，(1,)BPxy；22AP BPxxy，而01x，01y，则2211()()24f xxxx在01x上0 x 或1x 有最大值为 0，2()g yy在01y上1y 有最大值为 1；AP BP的最大值为 1 故选：C 第 1 页 共 6 页【点睛】本题考查了利用坐标表示向量数量积求最值，首先构建直角坐标系将目标向量用坐标表示，根据数量积的坐标公式得到函数式，进而求最大值 8 直线:l ykxb是曲线 ln1f xx和曲线 2lng xe x的公切线，则b（）A2 B12 Cln2e D ln 2e【答案】C【解析】由 fxk可求得直线l与曲线 ln1f xx的切点的坐标，由 gxk可求得直线l与曲线 2lng xe x的切点坐标，再将两个切点坐标代入直线l的方程，可得出关于k、b的方程组，进而可求得实数b的值.【详解】设直线l与曲线 ln1f xx相切于点11,A x y，直线l与曲线 2lng xe x相切于点22,B x y，ln1f xx，则 11fxx，由 1111fxkx，可得11 kxk，则 111ln1lnyf xxk，即点1,lnkAkk，将点A的坐标代入直线l的方程可得1lnkkkbk，可得ln1bkk，2ln2lng xe xx，则 1gxx，由 221gxkx，可得21xk，222lnyg xk，即点1,2lnBkk，将点B的坐标代入直线l的方程可得12ln1kkbbk，1 lnbk ，联立可得2k，1 ln2ln2eb .故选：C.【点睛】本题考查利用两曲线的公切线求参数，要结合切点以及切线的斜率列方程组求解，考查 第 1 页 共 6 页 计算能力，属于中等题.二、多选题 9已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为2yx，则双曲线E的离心率为（）A52 B5 C5 33 D3 55【答案】AB【解析】对双曲线的焦点位置进行讨论，得,a b关系，再计算离心率即可.【详解】若双曲线焦点在x轴上，因为渐近线方程为2yx，故2ba，215cbeaa；若双曲线焦点在y轴上，由渐近线方程为2yx，得2ab，2512cbeaa.故选：AB.【点睛】本题考查了双曲线的离心率，考查了分类讨论思想，属于基础题.10如图是函数 sin0f xAx 的部分图象，则（）A 12sin24fxx B 12sin22f xx C 12sin22f xx D 12cos2f xx【答案】BCD【解析】由图象可求得函数 yf x的振幅A以及最小正周期T，可求得的值，再 第 1 页 共 6 页 将点0,2的坐标代入函数 yf x的解析式可求得的值，结合诱导公式可得出合适的选项.【详解】由图象可得 max2f xA，该函数的最小正周期T满足122T，可得4T，212T，所以，12sin2fxx，又 02sin2f，可得sin1，22kkZ，1112sin22sin2cos22222f xxkxx，B、D选项合乎要求；对于 A选项，112sin2sin2422f xxx，不合乎要求；对于 C选项，1112sin2sin2cos22222f xxxx，C选项合乎要求.故选：BCD.【点睛】本题考查利用图象求正弦型函数的解析式，同时也考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于中等题.11已知0ab，则（）A222abab B222abab C()0a ab D2baab【答案】ACD【解析】由,a b异号，利用不等式性质以及基本不等式即可判断各选项的正误；【详解】0ab 即,a b异号；222abab成立，故 A 正确，而 B错误；又2()0a ab=aab，故 C 正确；第 1 页 共 6 页|()()2()()2bababaababab 当且仅当 ab时等号成立，故 D正确 故选：ACD【点睛】本题考查了不等式，根据两数异号，结合不等式性质以及基本不等式判断正误，属于简单题；12已知随机变量X的取值为不大于()n nN的非负整数，它的概率分布列为 X 0 1 2 3 n p 0p 1p 2p 3p np 其中(0,1,2,3,)ip in满足0,1ip，且0121npppp定义由X生成的函数230123()ininf xpp xp xp xp xp x，()g x为函数()f x的导函数，()E X为随机变量X的期望现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有 1，2，3，4 个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X，此时由X生成的函数为1()f x，则（）A()(2)E Xg B115(2)2f C()(1)E Xg D1225(2)4f【答案】CD【解析】先求出1211123()()23ining xfxpp xp xip xnp x和123()23inE Xpppipnp，并判断123()23(1)inE Xpppipnpg，则排除选项 A，判断选项 C 正确；再求出X的分布列和1()f x的解析式，最后求出1225(2)4f，则排除选项 B；判断选项 D 正确.【详解】解：因为230123()ininf xpp xp xp xp xp x，则1211123()()23ining xfxpp xp xip xnp x，第 1 页 共 6 页 123()23inE Xpppipnp，令1x 时，123()23(1)inE Xpppipnpg，故选项 A 错误，选项 C正确；连续抛掷两次骰子，向下点数之和为X，则X的分布列为：X 2 3 4 5 6 7 8 p 116 216 316 416 316 216 116 234567811234321()16161616161616f xxxxxxxx 234567811234321225(2)2222222161616161616164f 故选项 B 错误；选项 D正确.故选：CD.【点睛】本题考查导数的运算、由X生成的函数求数学期望、求随机变量生成的函数与函数值，是基础题.三、填空题 13椭圆22:143xyE的左、右焦点分别为1F、2F，过原点的直线l与E交于 A，B两点，1AF、2BF都与x轴垂直，则|AB=_【答案】13【解析】根据题中所给的椭圆方程，以及椭圆中,a b c三者之间的关系，可以求得21c，设出111,1,AyBy，由两点间距离公式可以求得2144ABy，根据点在椭圆上点的坐标满足椭圆方程，求得2194y，之后代入求得944134AB ，得到结果.【详解】第 1 页 共 6 页 在已知椭圆中，222431cab，因为直线l过原点，交椭圆于,A B两点，则A与B关于原点对称，又1AF、2BF都与x轴垂直，设111,1,AyBy，则222111(1 1)()44AByyy ，又A在椭圆上，则211143y，得2194y，则944134AB ，故答案为：13.【点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆中,a b c三者之间的关系，椭圆上点的坐标的特征，两点间距离公式，属于基础题目.14将数列 2n与 2n的公共项从小到大排列得到数列 na，则 na的前10项和为_（用数字作答）【答案】2046【解析】本题首先可以根据题意确定数列 na的前10项，然后通过等比数列求和公式即可得出结果.【详解】因为数列 na是由数列 2n与 2n的公共项从小到大排列得到，所以数列 na的前10项为2、22、32、42、102，则 na的前10项和为10112 1 22220461 2，故答案为：2046.【点睛】本题考查数列的项以及等比数列求和公式的应用，能否根据题意确定数列中的项是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题.15已知、为锐角三角形的两个内角，4 3sin7，5 3sin()14，则 第 1 页 共 6 页 cos2_【答案】12【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系式得到cos、cos()，再用凑角得到cos，最后利用二倍角公式得到答案.【详解】因为、为锐角三角形的两个内角，所以0,022，2，因为4 3sin7，5 3sin()14，所以224 31cos1 sin177，225 311cos()1 sin11414 ，所以coscos()cos()cossin()sin 1114 35 311477142，则211cos22cos12142 ，故答案为：12.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系式，两角差的三角公式、倍角公式，属于基础题.16一半径为R的球的表面积为64，球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形，则该长方体体积的最大值为_【答案】64 2【解析】由球体的表面积公式求出半径R，根据其内接长方体的过球心的对角截面为正方形，设内接长方体的长、宽、高分别为,a b c即有222abc、2232ab，最后利用长方体的体积公式有22Vab ab，利用基本不等式即可求其最大值【详解】由半径为R的球的表面积为64，知：2464R，有4R；第 1 页 共 6 页 由题意，若设内接长方体的长、宽、高分别为,a b c，则222abc，2222464abcR；2232ab，而长方体体积22Vabcab ab 322222()64 22abVab ab当且仅当4ab时等号成立 故答案为：64 2【点睛】本题考查了空间几何体的表面积和体积，根据球体表面积公式得到其半径，由内接长方体的对角截面为正方形即可得长、宽、高的等量关系，利用长方体的体积公式结合基本不等式求最值 四、解答题 17在1cos2B，1cos2C，2cos2C 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由 问题：是否存在非直角ABC，它的内角,A B C的对边分别为,a b c，且sin(12cos)2sincoscossinBCACAC，1b，_?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】答案见解析.【解析】利用两角和正弦公式化简三角函数式，得到(2sinsin)cos0BAC，结合题设可知2ab且1b、2a，进而利用或或求得相关结论，判断是否与题设矛盾即可；若不矛盾，利用正余弦定理即可求c的值；【详解】ABC中，由sin(12cos)2sincoscossinBCACAC，得sin2sincossincoscossinsincosBBCACACACsinsincosBAC(2sinsin)cos0BAC；ABC不是直角三角形；cos0C，则有2sinsinBA，即2ab，而1b，即有2a；第 1 页 共 6 页 选：由1cos2B，及0B 得3B；由sinsinbaBA 得sin31A不合理，故ABC不存在.选：由1cos2C 得：222cos3cababC，故有222bca；A为直角，不合题设，故ABC不存在 选：由2cos2C 得：222cos52 2cababC【点睛】本题考查了解三角形及三角恒等变换等相关知识，利用三角恒等变换中两角和正弦公式化简已知函数式，进而得到相关结果，再结合所给条件得到相关结论并判断是否与题设矛盾；18已知数列 na是正项等比数列，满足3452aaa，121aa（1）求 na的通项公式；（2）设2log(3)nnta，求数列121nntt的前n项和nT【答案】（1）123nna；（2）1nnTn.【解析】（1）本题首先可设数列 na的公比为q，然后根据题意得出2341111121a qa qa qaa q，通过计算求出1a和q的值，最后根据等比数列通项公式即可得出结果；（2）本题首先可根据123nna得出1ntn，然后根据1ntn得出121111nnttnn，最后通过裂项相消法求和即可得出结果.【详解】（1）设正项等比数列 na的公比为0q，因为3452aaa，121aa，所以2341111121a qa qa qaa q，解得1132aq，第 1 页 共 6 页 故 na的通项公式123nna.（2）因为123nna，所以122log(3)log 21nnntan，则121111(1)1nnttn nnn，故数列121nntt的前n项和为：1111111(1)()()()2233411nnTnnn【点睛】本题考查等比数列通项公式的求法以及裂项相消法求和，常见的裂项有：111(1)1n nnn、11(1)1kn nnnk、1111()n naanna等，考查计算能力，是中档题.19如图，三棱锥PABC中，2ACBCPCPB，120ACB，平面PBC 底面ABC，D、E分别是BC、AB的中点 （1）证明：PD 平面ABC；（2）求二面角PCEB的正切值 【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】（1）利用等腰三角形三线合一可得PDBC，由面面垂直的性质定理可得出PD 平面ABC；（2）取CE中点F，连接DF、PF，证明出CE 平面PDF，可得出二面角PCEB的平面角为PFD，通过解PDF可求得tanPFD，进而得解.【详解】（1）证明：PCPB，D是BC中点，PDBC，第 1 页 共 6 页 平面PBC 底面ABC，平面PBC底面ABCBC，PD 平面PBC，PD平面ABC；（2）如图，取CE的中点F，连接DF、PF，则/DF AB，2ACBCPCPB，E是AB的中点，120ACB，则30CBE，CEAB，DFCE，cos303BEBC，223PDPDBD，1322DFBE，PD 平面ABC，CE 平面ABC，CEPD，PDDFD，CE平面PDF，PF 平面PDF，CEPF，PFD为二面角PCEB的平面角.在Rt PDF中，3tan232PDPFDDF，因此，二面角PCEB的正切值为2.【点睛】本题考查利用面面垂直证明线面垂直，同时也考查了利用定义求解二面角的正切值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20某药企对加工设备进行升级，现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了 100件产品作为样本检测某项质量指标值:该项质量指标值落在25,30)内的产品为优等品，每件售价 240 元；质量指标值落在20,25)和30,35)内的为一等品，每件售价为180 元；质量指标值落在35,40)内的为二等品，每件售价为 120 元；其余为不合格品，全部销毁每件产品生产销售全部成本 50 元下图是设备升级前 100 个样本的质量指标值的频率分布直方图 第 1 页 共 6 页 下表是设备升级后 100 个样本的质量指标值的频数分布表 质量指标值 15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)40,45)频数 2 18 48 14 16 2 （1）以样本估计总体，若生产的合格品全部在当年内可以销售出去，计算设备升级前一件产品的利润X(元)的期望的估计值（2）以样本估计总体，若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件，设其支付的费用为(单位：元)，求(元)的分布列【答案】（1）118元；（2）答案见解析.【解析】（1）根据产品等级得X取值，利用频数分布表计算频率，得到分布列并计算期望即可；（2）先列出患者购买一件合格品费用的分布列，再写患者随机购买两件时的分布列即可.【详解】解：(1)由题设知，产品等级分为不合格、品二等品，一等品，优等品，则50,70,130,190X ，根据频数分布表得到X的分布列为:X 50 70 130 190 第 1 页 共 6 页 P 0.14 0.18 0.28 0.4 设备升级前利润的期望值为:()0.14(50)0.18700.28 1300.4 190118E X 升级前一件产品的利润的期望估计值为 118元 (2)升级后设患者购买一件合格品的费用为(元)则120,180,240，患者购买一件合格品的费用的分布列为 120 180 240 P 16 13 12 故患者随机购买两件时240,300,360,420,480 111(240)6636P 111(300)339P 11115(360)2263318P 111(420)2323P 111(480)224P 则升级后患者购买两件合格品的费用的分布列为 240 300 360 420 480 P 136 19 518 13 14【点睛】本题考查了频率分布直方图和频率分布表的应用，以及分布列和期望的计算，属于中档题.21已知函数2()e2()xxf xxaxeaxa，0a （1）讨论函数()f x的单调性；（2）讨论()f x的零点的个数 第 1 页 共 6 页【答案】（1）减区间是(,1)，增区间是(1,)；（2）0a 时，()f x有两个零点；0a 时，()f x只有一个零点【解析】（1）利用函数求导，判断导数符号确定()f x的单调性即可；（2）对a进行分类讨论，利用零点存在定理确定零点即可.【详解】解：（1）2()e2()xxf xxaxeaxa()(1)(e2)xfxxa 0a 时20 xea，故1x 时()0fx，1x 时()0fx.0a 时，()f x的减区间是(,1)，增区间是(1,)；（2）0a 时，()01f 且()f x的减区间是(,1)，增区间是(1,)(1)0fe 是()f x的极小值，也是最小值，(2)0fa，取0b 且ln2ab 则22()(2)(1)(2)(1)(23)022baaf bbea bba bbb()f x在(,1)b和(1,2)上各一个零点；0a 时，()(2)xf xxe，只一个零点2x，综上，0a 时，()f x有两个零点；0a 时，()f x一个零点【点睛】本题考查了函数的单调性和导数的应用，函数零点问题，属于中档题.22已知抛物线E的顶点在原点，焦点(0,)2pF(0)p 到直线:2l yx的距离为3 22，00(,)P xy为直线l上的点，过P作抛物线E的切线PM、PN，切点为MN、（1）求抛物线E的方程；（2）若(3,1)P，求直线MN的方程;（3）若P为直线l上的动点，求|MFNF的最小值【答案】（1）2:4E xy；（2）:3220MNxy；（3）92【解析】（1）利用点到直线的距离公式直接求解p的值，便可确定抛物线方程；第 1 页 共 6 页（2）利用求导的思路确定抛物线的两条切线，借助均过点p，得到直线方程；（3）通过直线与抛物线联立，借助韦达定理将|MFNF进行转化处理，通过参数的消减得到函数关系式是解题的关键，然后利用二次函数求最小值.【详解】(1)由(0,)2pF到直线:20l xy的距离为3 22 得|2|3 2222p 得2p 或10p 0p 2p 抛物线2:4E xy(2)由2:4E xy知214yx 2xy 设切点11(,)M x y，22(,)N xy 则21111111:()22222xxxxPMyyxxxxy 即11:2xPMyxy 22:2xPN yxy PPM，PPN 112231023102xyxy 即112232203220 xyxy:3220MNxy(3)若P为直线l上的动点，设00(,)P xy，则002xy 由(2)知 第 1 页 共 6 页 PPM，PPN 011002200202xxyyxxyy 00:02xMNxyy与2:4E xy联立消x得 222000(24)0yyyyy“”则1y，2y是“”的二根 21200212024yyyyy yy 121212|(1)(1)1MFNFyyyyy y 200225yy 当012y 时，|MFNF得到最小值为92【点睛】本题是一道抛物线与直线的综合性应用问题，解题的关键是掌握抛物线的简单性质.