2020高中数学第一章常用逻辑术语.简单的逻辑联结词讲义2-.pdf

学必求其心得，业必贵于专精 -1-1.3 简单的逻辑联结词 1用逻辑联结词“或”“且”“非”构成新命题 构成新命题 记作 读作 用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题 错误!pq p或q 用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题 错误!pq p且q 对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题 错误!綈p 非p或p的否定 2“pq”“pq”“綈p的真假判断 真值表 学必求其心得，业必贵于专精 -2-p q pq pq 綈p 真 真 错误!真 05真 错误!假 真 假 错误!真 错误!假 错误!假 假 真 错误!真 错误!假 错误!真 假 假 错误!假 错误!假 错误!真 1判一判（正确的打“”，错误的打“”)（1）“綊”的含义是“且”,“”的含义是“或”，“”的含义是“非（)(2)“pq为假命题是“p为假命题”的充要条件()（3)命题“p（綈p)”是真命题（）(4)梯形的对角线相等且平分是“pq”的形式命题()答案(1）(2)(3）（4）2做一做 学必求其心得，业必贵于专精 -3-(1）(教材改编 P18A 组 T1）由下列各组命题构成的新命题“p或q”“p且q都为真命题的是(）Ap:449，q：74 Bp:aa,b,c，q:aa，b，c Cp:15 是质数，q：8 是 12 的约数 Dp：2 是偶数，q：2 不是质数(2)若p真q假，则 下 列 命 题 是 真 命 题 的 是_ pq；pq；綈p；綈q。(3)命题“若x1，则x21”的否定是_(4)命题p：22,3，q：2 2，3,则下列对命题的判断，正确的是_（填上所有正确的序号)p或q为真；p或q为假;p且q为真；p且q为假；非p为真；非q为假 答案（1）B(2)(3)若x1,则x21（4）解析（1)“p或q”“p且q”都为真，则p真q真故选 B.学必求其心得，业必贵于专精 -4-探究 1 含有逻辑联结词的命题的构成 例 1 指出下列命题的形式及构成它的命题(1)向量既有大小又有方向；（2)矩形有外接圆或有内切圆；(3）集合A(AB）；(4)正弦函数ysinx（xR)是奇函数并且是周期函数 解(1）是“pq”形式的命题 其中p：向量有大小，q：向量有方向(2)是“pq”形式的命题 其中p:矩形有外接圆，q:矩形有内切圆(3)是“綈p形式的命题 其中p：A（AB）(4）是“pq”形式的命题 其中p：正弦函数ysinx(xR）是奇函数，q：正弦函数ysinx（xR）是周期函数 拓展提升 复合命题的构成方式 用“或“且”“非”联结两个简单命题时，要正确理解这三个学必求其心得，业必贵于专精 -5-联结词的意义，通常情况下，可以直接使用逻辑联结词联结，有时为了通顺也可以适当添加词语或省略联结词如：甲是运动员兼教练员，就省略了“且”【跟踪训练 1】分别写出由下列命题构成的“pq“pq“綈p形式的复合命题（1)p：是无理数,q：e 不是无理数；(2)p：方程x22x10 有两个相等的实数根，q：方程x22x10 两根的绝对值相等；(3）p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q:三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角 解（1）“pq”：是无理数或 e 不是无理数;“pq：是无理数且 e 不是无理数；“綈p：不是无理数 (2)“pq”:方程x22x10 有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；“pq”：方程x22x10 有两个相等的实数根且两根的绝对值相等;“綈p”：方程x22x10 没有两个相等的实数根 (3)“pq”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或学必求其心得，业必贵于专精 -6-大于与它不相邻的任何一个内角；“pq”:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；“綈p：三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和 探究 2 判断含有逻辑联结词的命题的真假 例 2 分别指出“pq”“pq”“綈p”的真假(1)p:函数ysinx是奇函数；q：函数ysinx在 R 上单调递增；(2)p:直线x1 与圆x2y21 相切；q：直线x12与圆x2y21相交 解(1）p为真命题,q为假命题，“pq为真命题，“pq为假命题，“綈p”为假命题(2)p为真命题,q为真命题，“pq”为真命题，“pq”为真命题,“綈p为假命题 拓展提升 1.命题结构的两种类型及判断方法(1）从含有联结词“且”“或”“非或者与之等价的词语上进行判断 学必求其心得，业必贵于专精 -7-(2）若命题中不含有联结词，则从命题所表达的数学意义上进行判断 2判断命题真假的三个步骤(1）明确命题的结构，即命题是“pq”“pq”，还是“綈p”；(2)对命题p和q的真假作出判断；（3)由“pq”“pq”“綈p的真值表给出结论【跟踪训练 2】直接判断下列“pq”“pq”“綈p”形式命题的真假(1)p:不等式x22x32 的解集为 R，q：不等式x22x32的解集为;(2）p：函数f(x）2x23x7,当x错误!时，取到最大值，q：函数g(x）错误!sinx错误!cosx的最小值为错误!.解（1)p,q都是假命题，“pq”为假命题，“pq”为假命题,“綈p”为真命题（2）p，q都是真命题，“pq”为真命题,“pq”为真命题，“綈p”为假命题 探究 3 命题的否定与否命题 学必求其心得，业必贵于专精 -8-例 3 写出下列命题的否定形式和否命题(1）若abc0，则a，b，c中至少有一个为零；(2)等腰三角形的两内角相等；(3）自然数的平方是正数 解 (1)否定形式:若abc0，则a，b，c全不为零；否命题:若abc0，则a，b，c全不为零（2)否定形式：等腰三角形的任意两个内角都不相等；否命题:不是等腰三角形的三角形任意两个内角都不相等(3)否定形式：自然数的平方不是正数；否命题：不是自然数的数的平方不是正数 拓展提升 命题的否定与否命题的解决策略（1）解决此类问题:首先要分清命题的条件和结论命题的否定与否命题是不同的概念命题的否定是只否定命题的结论,命题的否命题为条件和结论均否定 学必求其心得，业必贵于专精 -9-（2）一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定，下面我们把常用的一些词语和它的否定词语对照列表如下:原词语 等于 大于(）小于()是 都是 否定词语 不等于 不大于（)不小于（)不是 不都是 原词语 至多有一个 至少有一个 至多有n个 否定词语 至少有两个 一个也没有 至少有n1 个 原词语 任 任意所有能 或 学必求其心得，业必贵于专精 -10-意的 两个 的 否定词语 某个 某两个 某些 不能 且 【跟踪训练 3】写出下列命题的否定及其否命题,并判断它们的真假（1）若x,y都是奇数,则xy是偶数；（2）若一个数是质数，则这个数是奇数；（3）若两个角相等，则这两角是对顶角;(4）如果m2n2a2b20，则实数m，n，a，b全为零 解（1)命题的否定：若x，y都是奇数，则xy不是偶数，是假命题;否命题：若x,y不都是奇数,则xy不是偶数，是假命题（2)命题的否定：若一个数是质数，则这个数不一定是奇数，是真命题；否命题：若一个数不是质数，则这个数不是奇数,是假命题(3）命题的否定：若两个角相等，则这两个角不一定是对顶角，是真命题；否命题：若两个角不相等,则这两个角不是对顶角，是真命题 学必求其心得，业必贵于专精 -11-（4）命题的否定：如果m2n2a2b20,则实数m，n，a，b不全为零,是假命题 命题的否命题:如果m2n2a2b20，则实数m，n,a，b不全为零，是真命题 探究 4 利用命题的真假求参数的取值范围 例 4 已知p：方程x2mx10 有两个不等的负根,q：方程4x24(m2)x10 无实根若pq为真，pq为假，求m的取值范围 解 若方程x2mx10 有两个不等的负根，则错误!解得m2，即p：m2.若方程 4x24(m2)x10 无实根，则16（m2)21616（m24m3）0,解得 1m3,即q:1m3。由pq为真，得p，q至少有一个为真 又pq为假,所以p,q至少有一个为假 因此,p，q两命题应一真一假，即p为真，q为假或p为假,q为真 所以错误!或错误!学必求其心得，业必贵于专精 -12-解得m3 或 1m2,即m的取值范围是m|m3 或 1m2 条件探究 如果把例 4 条件中的“负”改为“正，“pq为真”改为“綈p为假”，其他条件不变，求实数m的取值范围 解 若方程x2mx10 有两个不等的正根，则错误!解得m2,即p:m2.若方程 4x24（m2)x10 无实根，则16(m2)21616（m24m3)0，解得 1m3，即q：1m3，因为綈p为假，pq为假,所以p为真,q为假 所以错误!解得m2。所以m的取值范围是mm2 拓展提升 应用逻辑联结词求参数范围的四个步骤（1）分别求出命题p，q为真时对应的参数集合A，B；（2）由“p且q“p或q”的真假讨论p,q的真假；（3）由p，q的真假转化为相应的集合的运算;（4)求解不等式或不等式组得到参数的取值范围 学必求其心得，业必贵于专精 -13-注意:当p，q中参数的范围不易求出时，也可以利用綈p 与p，綈q与q不能同真同假的特点，先求綈p,綈q中参数的范围 【跟踪训练 4】已知命题p：方程 2x2axa20 在1，1上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x错误!2ax02a0，若命题“pq”是假命题,求a的取值范围 解 由 2x2axa20，得（2xa）(xa)0，x错误!或xa,当命题p为真命题时，错误!1 或|a|1，|a2。又“只有一个实数x0满足不等式x202ax02a0”，即抛物线yx22ax2a与x轴只有一个交点,4a28a0,a0 或a2。当命题q为真命题时，a0 或a2.命题“pq”为真命题时，|a|2。命题“pq”为假命题，a2 或a2，即a的取值范围为(，2）(2，)学必求其心得，业必贵于专精 -14-1。判断不含有逻辑联结词的命题构成形式的关键：弄清构成它的命题条件、结论。2.对用逻辑联结词联结的复合命题的真假进行判断时，首先找出构成复合命题的简单命题，判断简单命题的真假，然后分析构成形式，根据构成形式判断复合命题的真假(1）“pq形式的命题简记为：同真则真，一假则假;(2)“pq”形式的命题简记为：同假则假,一真则真.3.“否命题与命题的“否定”的区别：对命题的否定(即非p)只是否定命题的结论，而否命题(“若p则q”形式的命题）既否定条件又否定结论否命题与原命题的真假无必然联系，而命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假.1命题：“菱形对角线互相垂直平分，使用的逻辑联结词的情况是(）A没有使用逻辑联结词 B使用了逻辑联结词“且”C使用了逻辑联结词“或”D使用了逻辑联结词“非”答案 B 学必求其心得，业必贵于专精 -15-解析 菱形的对角线互相垂直且互相平分,使用了逻辑联结词“且”2 已知命题p：225，命题q:32，则下列判断正确的是()A“p或q”为假，“非q”为假 B“p或q为真,“非q”为假 C“p且q”为假，“非p”为假 D“p且q”为真，“p或q”为假 答案 B 解析 显然p假q真,故“p或q”为真，“p且q”为假,“非p为真，“非q”为假 3若命题綈（pq）为假命题,则（)Ap，q中至少有一个为真命题 Bp，q中至多有一个为真命题 Cp，q均为真命题 Dp，q均为假命题 答案 A 解析 易知pq为真，所以p，q中至少有一个为真命题,选A.学必求其心得，业必贵于专精 -16-4用“或”“且”填空（1)若xAB,则xA_xB；(2)若xAB，则xA_xB；（3）若ab0,则a0_b0;(4)若a2b20，则a0_b0。答案（1)或(2）且（3）或（4）且 解析(1）ABx|xA或xB,xAB时，xA或xB。（2)ABxxA且xB,xAB时,xA且xB。(3)若ab0，则a0 或b0.(4)若a2b20,则a0 且b0。5分别写出下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p形式的新命题,并判断其真假(1）p：3 是 9 的约数,q：3 是 18 的约数；(2)p:方程x2x10 的两实根符号相同，q：方程x2x10的两实根绝对值相等；(3）p：是有理数，q：是无理数 学必求其心得，业必贵于专精 -17-解(1)p或q：3 是 9 的约数或是 18 的约数,真；p且q:3 是 9 的约数且是 18 的约数,真；非p：3 不是 9 的约数，假(2)p或q:方程x2x10 的两实根符号相同或绝对值相等，假;p且q：方程，x2x10 的两实根符号相同且绝对值相等，假；非p:方程x2x10 的两实根符号不同，真（3）p或q：是有理数或是无理数，真；p且q:是有理数且是无理数，假;非p:不是有理数，真