2020高中数学第章不等式的基本性质和证明的基本方法.4绝对值的三角不等式讲义4-.pdf

学必求其心得，业必贵于专精 -1-1.4 绝对值的三角不等式 学习目标:1。理解绝对值不等式的性质定理.2。会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式;会求简单绝对值不等式的最值 教材整理 绝对值的三角不等式 1定理1 若a，b为实数,则|ab|a|b|，当且仅当ab0 时，等号成立 2定理 2 设a,b，c为实数，则|ac|ab|bc|，等号成立（ab）（bc）0，即b落在a,c之间 若ab|a|b|成立，a，bR，则有（)Aab0 Bab0 Cab0 D以上都不对 解析 由定理 1 易知答案选 C。答案 C 学必求其心得，业必贵于专精 -2-绝对值不等式的理解与应用【例 1】已知a|b,m错误!，n错误!，则m，n之间的大小关系是 _ 精彩点拨 利用绝对值三角不等式定理分别判定m，n与 1的大小 自主解答 因为|a|b|ab|，所以错误!1，即m1.又因为|ab|a|b，所以错误!1,即n1.所以m1n.答案 mn 1本题求解的关键在于|a|b|ab|与|ab|ab的理解和应用 2在定理 1 中，以b代b，得|ab|a|b|；以ab代替实数a，可得到|a|b|ab|.1若将“本例的条件”改为“n错误!”，则n与 1 之间的大小关系是_ 学必求其心得，业必贵于专精 -3-解析 ab|a|b|，错误!1，n1.答案 n1 运用绝对值不等式求最值与范围【例 2】对任意xR，求使不等式|x1|x2|m恒成立的m的取值范围 精彩点拨 令tx1|x2，只需mtmin.自主解答 法一:对xR，x1x2|(x1)(x2）|1，当且仅当（x1)(x2）0 时，即2x1 时取等号 tx1|x2|的最小值为 1，故m1。实数m的取值范围是（,1 法二:tx1x2|错误!t1，则tx1|x2的最小值为 1,故m1.因此实数m的取值范围是(，1 1本题也可利用绝对值的几何意义求解 学必求其心得，业必贵于专精 -4-2对于含有两个绝对值以上的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数,进而利用分段函数的性质求函数最值 2若x1|x3|k对任意的xR 恒成立,则实数k的取值范围为_ 解析 设f(x）|x1|x3，则有f（x）错误!当x1 时，f(x）有最小值为 4；当1x3 时,f（x)有最小值为 4；当x3 时，f（x)有最小值为 4.综上所述，f（x)有最小值为 4,所以k4.答案(，4)含绝对值不等式的证明【例 3】设m等于a|，|b|和 1 中最大的一个,当|xm时，求证:错误!2。精彩点拨 不管|a，b|，1 的大小,总有m|a|,mb|，m1,然后利用绝对值不等式的性质证明 自主解答 依题意ma|，m|b|，m1，学必求其心得，业必贵于专精 -5-又|x|m，x|a,x|b|,|x|1，从而|x|2|b|.因此错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!2，即错误!2.1将文字语言“m等于a，|b|，1 中最大的一个”转化为符号语言“ma，m|b|，m1”是证明本题的关键 2运用绝对值不等式的性质证明不等式时，要注意放缩的方向和“尺度，切忌放缩过度 3若f（x)x2xc(为常数），且|xa1，求证：|f（x）f(a)|2（|a|1）证明 f(x）f（a）|(x2xc）（a2ac)|x2xa2a|(xa)（xa1）xa|xa1|xa1|（xa）（2a1)xa|2a1.又xa|1，学必求其心得，业必贵于专精 -6-|f（x）f（a）|xa|2a1|xa|2a112a12（a|1）绝对值的三角不等式 探究问题 1绝对值的三角不等式|a|b|ab|ab|的几何意义是什么？提示 绝对值的三角不等式：|ab|ab|a|b的几何意义是三角形任意两边之差小于第三边，三角形任意两边之和大于第三边 2绝对值的三角不等式|a|b|ab|a|b|的结构特点是什么?提示 对|a|bab|a|b|的诠释：定理的构成部分 特征 大小关系 等号成立的条件 左端 a|b|可能是 负的 中间 部分 中间部分为ab|时，ab0,且a|b时,左边的等号成立；中间部分为ab 时，ab0,且 学必求其心得，业必贵于专精 -7-a|b时，左边等号成立.中间部分 ab 肯定是 非负的 左端 右端 用“”连接时，ab0，右端取等号，ab0,且a|b|时,左端取等号；用“”连接时,ab0，且|a|b|时，左端取等号，ab0，右端取等号。右端|ab|是非 负的 中间 部分 中间部分为ab时，ab0，等号成立；中间部分为|ab|时，ab0，等号成立.3。含绝对值不等式的证明思路是什么？提示 含绝对值不等式的证明题主要分两类:一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性质定理：|a|b|ab|ab|,通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，进而特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法学必求其心得，业必贵于专精 -8-来证明【例 4】设a，bR，求证:|a1a错误!错误!.精彩点拨 利用绝对值不等式性质或构造函数证明 自主解答 法一：若ab0 或ab0，不等式显然成立 若ab0 且ab0，|ab|a|b|，错误!错误!错误!错误!（)又错误!错误!，错误!错误!,错误!错误!错误!。又由（)式可知错误!错误!错误!.综上可知错误!错误!错误!。法二：若ab0 或ab0，不等式显然成立 若ab0 且ab0,abab|，01错误!1错误!.即 0错误!错误!.取倒数得错误!错误!,又由法一知,原不等式成立 学必求其心得，业必贵于专精 -9-法三:|a|b|ab|，a|b（|ab|）|ab|ab|(a|b|）|ab|，即(|a|b|)（1|ab)|ab|（1|a|b)两边同除以(1|ab|）（1ab|）得 错误!错误!.又由法一知，原不等式成立 法四：构造函数f（x)错误!，任取x1，x20，）且x1x2，有 f(x1）f（x2)错误!错误!错误!0。f(x)在0,)上为增函数 又|abab|，f（|a|b|)f(ab|）,即|a|b|1|ab|错误!。又由法一知，所证不等式成立 学必求其心得，业必贵于专精 -10-1已知实数a,b满足ab0,那么有（)Aab|a|b|C|abab D|abab|成立，|ab|a|b,|ab|a|b也成立 答案 C 2若a，bR，则使ab1 成立的充分不必要条件（)A|a|错误!且|b错误!B|ab|1 Ca|1 Db1 解析 当b1 时，b1,|a|b1,但|a|b|1/b1(如a2，b0），“b1”的充分不必要条件 学必求其心得，业必贵于专精 -11-答案 D 3若|ac0，b|b|。ac|ac|，|a|cb,则a|b|cb|c，故选项 A 成立 同理,由|c|aac,得|ca|b,由选项 B 成立，得c|a|b.b|c|a2错误!.以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，下列正确的命题是（）A B C D都不正确 解析 当，成立时,则|4错误!5.答案 A 5已知f(x）|x10|x20(xR)，求f(x）的最小值，并求当f(x)有最小值时,实数x的取值范围 解|x10 x20|x10|20 x|（x10)(20 x）|10。当且仅当（x10)（20 x）0 时取等号 由（x10)(20 x)0，得 10 x20，因此f（x)的最小值为 10,此时实数x的取值范围是10，20 学必求其心得，业必贵于专精 -13-