专题.10圆锥曲线的定点、定值、开放性问题-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(原卷版).pdf

精品 拼搏 第八篇 平面解析几何 专题 8.10 圆锥曲线的定点、定值、开放问题【考点聚焦突破】考点一 定点问题【例 1】(2019咸阳二模)已知 A(2，0)，B(2，0)，点 C 是动点，且直线 AC 和直线 BC 的斜率之积为34.(1)求动点 C 的轨迹方程；(2)(一题多解)设直线 l 与(1)中轨迹相切于点 P，与直线 x4 相交于点 Q，判断以 PQ 为直径的圆是否过 x轴上一定点.【规律方法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.精品 拼搏【训练 1】已知抛物线 C 的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点 A(1，2)为抛物线 C 上一点.(1)求抛物线 C 的方程；(2)若点 B(1，2)在抛物线 C 上，过点 B 作抛物线 C 的两条弦 BP 与 BQ，如 kBPkBQ2，求证：直线 PQ过定点.精品 拼搏 考点二 定值问题【例 2】(2019河北省“五个一”名校联盟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x24y21，点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆 C 上两个动点，直线 OP，OQ 的斜率分别为 k1，k2，若 mx12，y1，nx22，y2，mn0.(1)求证：k1k214；(2)试探求OPQ 的面积 S 是否为定值，并说明理由.【规律方法】圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.(2)两大解法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；引起变量法：其解题流程为 变量 选择适当的动点坐标或动线中系数为变量 函数 把要证明为定值的量表示成上述变量的函数 精品 拼搏 定值 把得到的函数化简，消去变量得到定值 【训练 2】(2019青岛调研)已知直线 l 过抛物线 C：x22py(p0)的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l 与抛物线两交点间的距离为 2.(1)求抛物线 C 的方程；(2)若点 P(2，2)，过点(2，4)的直线 m 与抛物线 C 相交于 A，B 两点，设直线 PA 与 PB 的斜率分别为 k1和 k2.求证：k1k2为定值，并求出此定值.考点三 开放问题【例 3】(2019福州四校联考)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点分别为 F1，F2，短轴的一个端点为P，PF1F2内切圆的半径为b3，设过点 F2的直线 l 与被椭圆 C 截得的线段为 RS，当 lx 轴时，|RS|3.(1)求椭圆 C 的标准方程；精品 拼搏(2)在 x 轴上是否存在一点 T，使得当 l 变化时，总有 TS 与 TR 所在直线关于 x 轴对称？若存在，请求出点 T的坐标；若不存在，请说明理由.精品 拼搏【规律方法】此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.【训练 3】(2019上海静安区检测)已知动点 P 到定点 F(1，0)和到直线 x2 的距离之比为22，设动点 P 的轨迹为曲线 E，过点 F 作垂直于 x 轴的直线与曲线 E 相交于 A，B 两点，直线 l：ymxn 与曲线 E 交于 C，D 两点，与 AB 相交于一点(交点位于线段 AB 上，且与 A，B 不重合).(1)求曲线 E 的方程；(2)当直线 l 与圆 x2y21 相切时，四边形 ACBD 的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由.【反思与感悟】1.有关弦的三个问题(1)涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；(2)涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；(3)涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解.2.求解与弦有关问题的两种方法(1)方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元(x 或 y)成为二次方程之后，结合根与系数的关系，建立等式关系或不等式关系.(2)点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程.“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式 是否为正数.精品 拼搏【易错防范】1.求范围问题要注意变量自身的范围.2.利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯一”的不等价关系.注意特殊关系、特殊位置的应用.3.解决定值、定点问题，不要忘记特值法.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40 分钟)一、选择题 1.(2019石家庄模拟)已知 P 为双曲线 C：x29y2161 上的点，点 M 满足|OM|1，且OMPM0，则当|PM|取得最小值时点 P 到双曲线 C 的渐近线的距离为()A.95 B.125 C.4 D.5 2.已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率 e2，过双曲线上一点 M 作直线 MA，MB 交双曲线于 A，B 两点，且斜率分别为 k1，k2，若直线 AB 过原点，则 k1k2的值为()A.2 B.3 C.3 D.6 3.直线 l 与抛物线 C：y22x 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若直线 OA，OB 的斜率分别为 k1，k2，且满足 k1k223，则直线 l 过定点()A.(3，0)B.(0，3)C.(3，0)D.(0，3)精品 拼搏 4.(2019北京通州区模拟)设点 Q 是直线 l：x1 上任意一点，过点 Q 作抛物线 C：y24x 的两条切线 QS，QT，切点分别为 S，T，设切线 QS，QT 的斜率分别为 k1，k2，F 是抛物线的焦点，直线 QF 的斜率为 k0，则下列结论正确的是()A.k1k2k0 B.k1k22k0 C.k1k22k0 D.k1k22k0 5.(2019长春监测)已知 O 为坐标原点，设 F1，F2分别是双曲线 x2y21 的左、右焦点，P 为双曲线左支上任一点，过点 F1作F1PF2的平分线的垂线，垂足为 H，则|OH|()A.1 B.2 C.4 D.12 二、填空题 6.已知动点 P(x，y)在椭圆x225y2161 上，若 A 点坐标为(3，0)，|AM|1，且PMAM0，则|PM|的最小值是_.7.若双曲线 x2y2b21(b0)的一条渐近线与圆 x2(y2)21 至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是_.精品 拼搏 8.(2019湘中名校联考)已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FAFBFC0，则1kAB1kAC1kBC_.三、解答题 9.已知抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴的正半轴上，直线 xy10 与抛物线相交于 A，B 两点，且|AB|8 611.(1)求抛物线的方程；(2)在 x 轴上是否存在一点 C，使ABC 为正三角形？若存在，求出 C 点的坐标；若不存在，请说明理由.10.(2019江西九校联考)已知椭圆 C：x2a2y2b21 过 A(2，0)，B(0，1)两点.精品 拼搏(1)求椭圆 C 的方程及离心率；(2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，求证：四边形 ABNM 的面积为定值.【能力提升题组】(建议用时：20 分钟)11.(2019衡水中学周测)设 F 为抛物线 y24x 的焦点，A，B，C 为该抛物线上不同的三点，FAFBFC0，O 为坐标原点，且OFA，OFB，OFC 的面积分别为 S1，S2，S3，则 S21S22S23等于()A.2 B.3 C.6 D.9 12.(2019郑州调研)已知直线 l 与双曲线x24y21 相切于点 P，l 与双曲线的两条渐近线交于 M，N 两点，则精品 拼搏 OMON的值为()A.3 B.4 C.5 D.与 P 的位置有关 13.若点O和点F分别为椭圆x29y281的中心和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则OPFP的最小值为_.14.已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的一个焦点与上、下顶点两两相连构成直角三角形，以椭圆 C 的长轴长为精品 拼搏 直径的圆与直线 xy20 相切.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设过椭圆右焦点且不重合于 x 轴的动直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，探究在 x 轴上是否存在定点 E，使得EAEB为定值？若存在，试求出定值和点 E 的坐标；若不存在，请说明理由.