中考数学必考考点专题31轴对称图形的平移和旋转含解析.pdf

中考数学必考考点专题 31 轴对称图形的平移和旋转含解析 1 专题 31 轴对称、图形的平移和旋转 一、轴对称 1对称轴：把一个图形沿某条直线对折，如果它与另一个图形重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。2对称轴图形：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。3轴对称的性质：（1）关于某条直线成轴对称的两个图形是全等形。（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。（4）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。二、平移 1平移：在平面内，把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。2对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。3平移的性质：（1）平移前后两个图形的形状、大小完全相同。（2）平移前后两个图形的对应点连接线段平行（或在同一直线上）且相等。三、旋转 1旋转：在平面内，将一个图形绕某一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。2.旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。3旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0，大于 360）。专题知识回顾 中考数学必考考点专题 31 轴对称图形的平移和旋转含解析 2 4中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转 180 度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。这个点就是它的对称中心。5中心对称的性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。6中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180 度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。这个点就是它的对称中心。【例题 1】（2019 山东东营）下列图形中，是轴对称图形的是（）【答案】D【解析】观察图形，选项 D 中图形是轴对称图形，有 3 条对称轴，其他图形都不是轴对称图形故选D【例题 2】（2019 湖南邵阳）一次函数y1k1x+b1的图象l1如图所示，将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，l2的函数表达式为y2k2x+b2下列说法中错误的是（）Ak1k2 Bb1b2 Cb1b2 D当x5 时，y1y2【答案】B【解析】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图专题典型题考法及解析中考数学必考考点专题 31 轴对称图形的平移和旋转含解析 3 形上某点的平移相同平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系 根据两函数图象平行k相同，以及向下平移减即可判断 将直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，直线l1直线l2，k1k2，直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，b1b2，当x5 时，y1y2。【例题 3】(2019 黑龙江绥化)下列图形中,属于中心对称图形的是()【答案】C【解析】绕某点旋转 180能和原图形重合,则这个图形称为中心对称图形,其中,A 是轴对称图形,B旋转 120的整数倍可以重合,D 选项旋转 72的整数倍可以重合,故选 C.【例题 4】（2019 辽宁本溪）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A B C D【答案】B.【解析】A 选项，是轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误；B 选项，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故正确；C 选项，是中心对称图形，但不是轴对称图形，故错误；D 选项，是轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误，故选 B 中考数学必考考点专题 31 轴对称图形的平移和旋转含解析 4【例题 5】（2019 山东枣庄）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把ADE绕点A顺时针旋转90到ABF的位置若四边形AECF的面积为 20，DE2，则AE的长为（）A4 B2 C6 D2【答案】D【解析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案 ADE绕点A顺时针旋转 90到ABF的位置 四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于 20，ADDC2，DE2，RtADE中，AE2 一、选择题 1.（2019 江苏泰州）如图图形中的轴对称图形是（）ABCD【答案】B 【解析】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合根据轴对称图形的概念判断即可 A.不是轴对称图形；B.是轴对称图形；C.不是轴对称图形；D.不是轴对称图形。2.（2019 湖北宜昌）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（）专题典型训练题中考数学必考考点专题 31 轴对称图形的平移和旋转含解析 5 A B C D【答案】D 【解析】本题考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 A.不是轴对称图形，故本选项错误；B.不是轴对称图形，故本选项错误；C.不是轴对称图形，故本选项错误；D.是轴对称图形，故本选项正确 3.（2019 湖南怀化）怀化是一个多民族聚居的地区，民俗文化丰富多彩下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A B C D【答案】C 【解析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解 A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C.既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；D.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误 4.（2019 山东枣庄）下列图形，可以看作中心对称图形的是（）A B C D【答案】B【解析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 A.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B.是中心对称图形，故本选项符合题意；中考数学必考考点专题 31 轴对称图形的平移和旋转含解析 6 C.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D.不是中心对称图形，故本选项不符合题意 5.（2019 山东枣庄）在平面直角坐标系中，将点A（1，2）向上平移 3 个单位长度，再向左平移 2个单位长度，得到点A，则点A的坐标是（）A（1，1）B（1，2）C（1，2）D（1，2）【答案】A 【解析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可 将点A（1，2）向上平移 3 个单位长度，再向左平移 2 个单位长度，得到点A，点A的横坐标为 121，纵坐标为2+31，A的坐标为（1，1）6.（2019 山东枣庄）如图，将ABC沿BC边上的中线AD平移到ABC的位置已知ABC的面积为 16，阴影部分三角形的面积 9若AA1，则AD等于（）A2 B3 C4 D【答案】B【解析】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点 由SABC16.SAEF9 且AD为BC边的中线知SADESAEF，SABDSABC8，根据DAEDAB知（）2，据此求解可得 SABC16.SAEF9，且AD为BC边的中线，SADESAEF，SABDSABC8，将ABC沿BC边上的中线AD平移得到ABC，AEAB，DAEDAB，中考数学必考考点专题 31 轴对称图形的平移和旋转含解析 7 则（）2，即（）2，解得AD3 或AD（舍）。7.（2019 海南）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，1），平移线段AB，使点A落在点A1（2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为（）A（1，1）B（1，0）C（1，0）D（3，0）【答案】C 【解析】由点A（2，1）平移后A1（2，2）可得坐标的变化规律是：左移 4 个单位，上移 1 个单位，点B的对应点B1的坐标（1，0）8.（2019 南京）如图，ABC是由ABC经过平移得到的，ABC还可以看作是ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：1 次旋转；1 次旋转和 1 次轴对称；2 次旋转；2 次轴对称 其中所有正确结论的序号是（）A B C D【答案】D【解析】本题主要考查了几何变换的类型，在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角 依据旋转变换以及轴对称变换，即可使ABC与ABC重合 先将ABC绕着BC的中点旋转 180，再将所得的三角形绕着BC的中点旋转 180，即可得到ABC；先将ABC沿着BC的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着BC的垂直平分线翻折，即可得到中考数学必考考点专题 31 轴对称图形的平移和旋转含解析 8 ABC。9.（2019 湖北孝感）如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转 90得到点P，则P的坐标为（）A（3，2）B（3，1）C（2，3）D（3，2）【答案】D【解析】本题考查了坐标与图形变化旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标常见的是旋转特殊角度如：30，45，60，90，180 作PQy轴于Q，如图，把点P（2，3）绕原点O顺时针旋转 90得到点P看作把OPQ绕原点O顺时针旋转 90得到OPQ，利用旋转的性质得到PQO90，QOQ90，PQPQ2，OQOQ3，从而可确定P点的坐标 作PQy轴于Q，如图，P（2，3），PQ2，OQ3，点P（2，3）绕原点O顺时针旋转 90得到点P相当于把OPQ绕原点O顺时针旋转 90得到OPQ，PQO90，QOQ90，PQPQ2，OQOQ3，点P的坐标为（3，2）10.（2019 山东省聊城市）如图，在 RtABO中，OBA90，A（4，4），点C在边AB上，且，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）中考数学必考考点专题 31 轴对称图形的平移和旋转含解析 9 A（2，2）B（，）C（，）D（3，3）【答案】C【解析】根据已知条件得到ABOB4，AOB45，求得BC3，ODBD2，得到D（0，2），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），求得直线EC的解析式为yx+2，解方程组可得到结论 在 RtABO中，OBA90，A（4，4），ABOB4，AOB45，点D为OB的中点，BC3，ODBD2，D（0，2），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），直线OA 的解析式为yx，设直线EC的解析式为ykx+b，解得：，直线EC的解析式为yx+2，解得，P（，），故选：C 中考数学必考考点专题 31 轴对称图形的平移和旋转含解析 10 11.（2019 河南）如图，在OAB中，顶点O（0，0），A（3，4），B（3，4），将OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转 90，则第 70 次旋转结束时，点D的坐标为（）A（10，3）B（3，10）C（10，3）D（3，10）【答案】D【解析】先求出AB6，再利用正方形的性质确定D（3，10），由于 70417+2，所以第 70 次旋转结束时，相当于OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转 2 次，每次旋转 90，此时旋转前后的点D关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点D的坐标 A（3，4），B（3，4），AB3+36，四边形ABCD为正方形，ADAB6，D（3，10），70417+2，每 4 次一个循环，第 70 次旋转结束时，相当于OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2 次，每次旋转 90，点D的坐标为（3，10）二、填空题 12（2019 山东临沂）在平面直角坐标系中，点P（4，2）关于直线x1 的对称点的坐标是 中考数学必考考点专题 31 轴对称图形的平移和旋转含解析 11【答案】（2，2）【解析】先求出点P到直线x1 的距离，再根据对称性求出对称点P到直线x1 的距离，从而得到点P的横坐标，即可得解 点P（4，2），点P到直线x1 的距离为 413，点P关于直线x1 的对称点P到直线x1 的距离为 3，点P的横坐标为132，对称点P的坐标为（2，2）故答案为：（2，2）13.（2019 海南省）如图，将RtABC的斜边AB绕点A顺时针旋转（090）得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转（090）得到AF，连结EF若AB3，AC2，且+B，则EF 【答案】【解析】由旋转的性质可得AEAB3，ACAF2，由勾股定理可求EF的长 由旋转的性质可得AEAB3，ACAF2，B+BAC90，且+B，BAC+90 EAF90 EF 14.（2019 河南）如图，在矩形 ABCD中，AB1，BCa，点E 在边 BC 上，且 BE35a连接 AE，将ABE沿 AE折叠，若点 B 的对应点 B落在矩形 ABCD的边上，则 a 的 值为_ 中考数学必考考点专题 31 轴对称图形的平移和旋转含解析 12 【答案】53或53【解析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形 的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等也考查了矩形的性质，勾股定 理，相似三角形的判定与性质进行分类讨论与数形结合是解题的关键 分两种情况：点 B落在 AD 边上，根据矩形与折叠的性质易得 ABBE，即可 求出 a 的值；点 B落在 CD边上，证明ADBBCE，据相似三角形对应边成比例即可求出 a的值 分两种情况：当点 B落在 AD 边上时，如图 1 四边形 ABCD是矩形，BADB90，将ABE沿 AE折叠，点 B 的对应点 B落在 AD 边上，BAEBAE12BAD45，ABBE，35a1，a53；当点 B落在 CD 边上时，如图 2 四边形 ABCD是矩形，BADBCD90，ADBCa 将ABE沿 AE折叠，点 B 的对应点 B落在 CD边上，BABE90，ABAB1，EBEB35a，DB22B AAD21 a，ECBCBEa35a25a 在ADB与BCE中，中考数学必考考点专题 31 轴对称图形的平移和旋转含解析 13 009090B ADEB CAB IDC ，ADBBCE，DBABCEB E，即2112355aaa，解得 a153，a20（舍去）综上，所求 a 的值为53或53 15.（重点题）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE=5，则GE的长为 .【答案】1349【解析】因为四边形ABCD是正方形，易得AFB DEA，AF=DE=5，则BF=13.又易知AFHBFA，所以AHAFBABF，即AH=1360，AH=2AH=13120，由勾股定理得AE=13，GE=AE-AG=1349 16.（2019 湖南邵阳）如图，将等边AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B在第一象限，将等边AOB绕点O顺时针旋转 180得到AOB，则点B的坐标是 【答案】故答案为（2，2）中考数学必考考点专题 31 轴对称图形的平移和旋转含解析 14【解析】作BHy轴于H，如图，OAB为等边三角形，OHAH2，BOA60，BHOH2，B点坐标为（2，2），等边AOB绕点O顺时针旋转 180得到AOB，点B的坐标是（2，2）故答案为（2，2）17.(2019 山西）如图，在ABC 中，BAC=90，AB=AC=10cm，点 D 为ABC 内一点，BAD=15，AD=6cm，连接 BD，将ABD 绕点 A 逆时针方向旋转，使 AB 与 AC 重合，点 D 的对应点 E，连接 DE，DE交 AC 于点 F，则 CF 的长为 cm.【答案】6210 【解析】过点 A 作 AGDE 于点 G，由旋转可知：AD=AE，DAE=90，CAE=BAD=15 AED=45；在AEF中：AFD=AED+CAE=60 在 RtADG 中：AG=DG=3 22AD 在 RtAFG 中：6,22 63AGGFAFFG 102 6CFACAF 故答案为：6210 中考数学必考考点专题 31 轴对称图形的平移和旋转含解析 15 18.（2019 山东淄博）如图，在正方形网格中，格点ABC绕某点顺时针旋转角（0180）得到格点A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则 度 【答案】90【解析】作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，可得点E是旋转中心，即AEA190 如图，连接CC1，AA1，作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，连接AE，A1E CC1，AA1的垂直平分线交于点E，点E是旋转中心，AEA190旋转角 90 19.（2019广西池河）如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，1），AC由AB绕点A顺时针旋转 90而得，则AC所在直线的解析式是 【答案】y2x4【解析】过点C作CDx轴于点D，易知ACDBAO（AAS），已知A（2，0），B（0，1），从而求得中考数学必考考点专题 31 轴对称图形的平移和旋转含解析 16 点C坐标，设直线AC的解析式为ykx+b，将点A，点C坐标代入求得k和b，从而得解 A（2，0），B（0，1）OA2，OB1 过点C作CDx轴于点D，则易知ACDBAO（AAS）ADOB1，CDOA2 C（3，2）设直线AC的解析式为ykx+b，将点A，点C坐标代入得 直线AC的解析式为y2x4 20.（2019黑龙江哈尔滨）如图，将ABC绕点C逆时针旋转得到ABC，其中点A与A是对应点，点B与B是对应点，点B落在边AC上，连接AB，若ACB45，AC3，BC2，则AB的长为 【答案】【解析】由旋转的性质可得ACAC3，ACBACA45，可得ACB90，由勾股定理可求解 将ABC绕点C逆时针旋转得到ABC，ACAC3，ACBACA45 ACB90 AB 三、解答题 中考数学必考考点专题 31 轴对称图形的平移和旋转含解析 17 21.（2019 广西北部湾）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC的三个顶点坐标分别是A（2，1）、B（1，2）、C（3，3）.（1）将ABC向上平移 4 个单位长度得到A1B1C1，请画出A1B1C1;（2）请画出ABC关于y轴对称的A2B2C2;（3）请写出A1、A2的坐标.【答案】（1）如图所示：A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：A2B2C2，即为所求；（3）A1（2，3），A2（-2，-1）【解析】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）利用所画图象得出对应点坐标 22.（2019 北京市）已知30AOB，H 为射线 OA 上一定点，31OH，P 为射线 OB 上一点，M 为线段 OH 上一动点，连接 PM，满足OMP为钝角，以点 P 为中心，将线段 PM 顺时针旋转150，得到线段 PN，连接 ON（1）依题意补全图 1；（2）求证：OMPOPN；（3）点 M 关于点 H 的对称点为 Q，连接 QP写出一个 OP 的值，使得对于任意的点 M 总有 ON=QP，并证明 中考数学必考考点专题 31 轴对称图形的平移和旋转含解析 18 【答案】见解析。【解析】本题考查的知识点有尺规作图、旋转、三角形的内角和、方程思想、30锐角的性质、中心对称的性质.（1）见下图。（2）证明：30AOB 在OPM 中，=180150OMPPOMOPMOPM 又150MPN，150OPNMPNOPMOPM OMPOPN.（3）如下图，过点 P 作 PKOA 于 K，过点 N 作 NFOB 于 F OMP=OPN PMK=NPF 备用图图1BAOHHOAB中考数学必考考点专题 31 轴对称图形的平移和旋转含解析 19 在NPF 和PMK 中，90NPFPMKNFOPKMPNPM NPFPMK （AAS）PF=MK，PNF=MPK，NF=PK 又ON=PQ 在 RtNOF 和 RtPKQ 中，ONPQNFPK RtNOFRtPKQ （HL）KQ=OF 设,MKy PKx POA=30，PKOQ 2OPx 3,3OKx OMxy 2OFOPPFxy，313MHOHOMxy，313KHOHOKx.M 与 Q 关于 H 对称 MH=HQ KQ=KH+HQ=313313xxy =2 322 3xy 又KQ=OF 2 322 32xyxy 2 3222 3x 1x，即 PK=1 又30POA OP=2.23.（2019 广西贵港）已知：ABC是等腰直角三角形，BAC90，将ABC绕点C顺时针方向中考数学必考考点专题 31 轴对称图形的平移和旋转含解析 20 旋转得到ABC，记旋转角为，当 90180时，作ADAC，垂足为D，AD与BC交于点E （1）如图 1，当CAD15时，作AEC的平分线EF交BC于点F 写出旋转角 的度数；求证：EA+ECEF；（2）如图 2，在（1）的条件下，设P是直线AD上的一个动点，连接PA，PF，若AB，求线段PA+PF的最小值（结果保留根号）【答案】见解析。【解析】（1）解直角三角形求出ACD即可解决问题 连接AF，设EF交CA于点O在EF时截取EMEC，连接CM首先证明CFA是等边三角形，再证明FCMACE（SAS），即可解决问题（2）如图 2 中，连接AF，PB，AB，作BMAC交AC的延长线于M 证明AEFAEB，推出EFEB，推出B，F关于AE对称，推出PFPB，推出PA+PFPA+PBAB，求出AB即可解决问题【解答】（1）解：旋转角为105 理由：如图 1 中，ADAC，ADC90，CAD15，ACD75，ACA105，旋转角为 105 中考数学必考考点专题 31 轴对称图形的平移和旋转含解析 21 证明：连接AF，设EF交CA于点O在EF时截取EMEC，连接CM CEDACE+CAE45+1560，CEA120，FE平分CEA，CEFFEA60，FCO180457560，FCOAEO，FOCAOE，FOCAOE，COEFOA，COEFOA，FAOOEC60，AOF是等边三角形，CFCAAF，EMEC，CEM60，CEM是等边三角形，ECM60，CMCE，FCAMCE60，FCMACE，FCMACE（SAS），FMAE，CE+AEEM+FMEF（2）解：如图 2 中，连接AF，PB，AB，作BMAC交AC的延长线于M 由可知，EAFEAB75，AEAE，AFAB，AEFAEB，EFEB，B，F关于AE对称，PFPB，PA+PFPA+PBAB，在 RtCBM中，CBBCAB2，MCB30，中考数学必考考点专题 31 轴对称图形的平移和旋转含解析 22 BMCB1，CM，AB PA+PF的最小值为 文末学习倡导书：学习不是三天打鱼，两天晒网。即使你拥有一个良好的学习心态和准确的学习方法，如果只是一曝十寒，没有坚持不懈的精神，那也无法达到学习的顶峰。我们要真正学到一点东西，就要虚心。譬如一个碗，如果已经装得满满的，哪怕再有好吃的东西，象海参，鱼翅之类，也装不进去，如果碗是空的，就能装很多东西。