新高考初高中衔接第8讲二元一次、三元一次、二元二次方程组及其解法(解析版).pdf
【第 8 讲】二元一次、三元一次、二元二次方程组及其解法 编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波【基础知识回顾】知识点 1 三元一次方程组 三一次方程组中含有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是 1，并且一共有三个方程 它的一般形式是111122223333a xb yc zda xb yc zda xb yc zd，未知项的系数不全为零，其中每一个方程都可以是三元、二元、一元一次方程，但方程组中一定要有三个未知数 知识点 2 二元二次方程组 含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是 2 的整式方程，叫做二元二次方程 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组【合作探究】探究一 二元一次方程组及其解法 方法 1、代入消元法解二元一次方程组【例 1-1】解方程组 327,25.xyxy【解析】由，得 52xy.将代入，得 3(52)27yy，15627yy，88y，1.y 把 1y 代入，得 3.x 所以原方程组的解是.1,3yx 归纳总结：此题方程的系数较简单，且方程中未知数 x 的系数是 1，因此考虑将方程变形，并用含 y 的代数式表示 x.用代入消元法解二元一次方程组，需先观察方程组的系数特点，判断消去哪个未知数较为简单.代入消元时，要注意所代代数式的整体性，必要时可添加括号，以避免符号错误.【练习 1-1】用代入法解方程组：34,110.42xyxy 【答案】84xy 方法 2、加减消元法解二元一次方程组【例 1-2】解方程组：521,7316.mnmn【解析】法一：3，2，得1563,14632.mnmn-，得 29m=-29，m=-1.将 m=-1 代入，得-5+2n=1，n=3.所以原方程组的解为1,3.mn 法二：7，5，得35147,351580.mnmn+，得29n=87，n=3.把n=3代入，得5m+6=1，m=-1.所以原方程组的解为1,3.mn 探究二 三元一次方程组及其解法【例 2-1】解方程组 3472395978xzxyzxyz 【分析】方程只含 x，z，因此，可以由，消去 y，再得到一个只含 x，z 的方程，与方程组成一个二元一次方程组【解析】3，得 11x10z35 （4）与组成方程组347111035xzxz 解这个方程组，得52xz，把 x5，z2 代入，得 253y29，13y 所以5132xyz 【例 2-2】解方程组34145217223xyzxyzxyz【分析】三个方程中，z 的系数比较简单，可以考虑用加减法，设法先消 z【解析】+，得 5x+6y=17 +2，得，5x+9y=23 与组成方程组56175923xzxy，解这个方程组，得12xy，把 x=1，y=2 代入得：21+22-z=3，z=3 123xyz 归纳总结：探究三 二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组解法【例 3-1】解方程组2220 (1)30 (2)xyxy【解析】由(1)得：2yx (3)将(3)代入(2)得：22(2)30 xx，解得：1211xx 或 把1x 代入(3)得：22y；把1x 代入(3)得：22y 原方程组的解是：11111122xxyy 或 归纳总结：(1)解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：由二元一次方程变形为用x表示y的方程，或用y表示x的方程(3)；把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程；解消元后得到的一元二次方程；把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的值；(2)消x还是消y，应由二元一次方程的系数来决定若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如210 xy，可以消去x，变形得21xy，再代入消元 (3)消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这点注意【练习 3-1】解方程组22440,220.xyxy【解析】第二个方程可变形为 x2y2，将其带人到第一个方程，整理得 8y28y0，即 y(y1)0，解得 y10，y21 把 y10 代入,得 x12；把 y21 代入,得 x20 所以原方程组的解是 112,0 xy，220,1.xy 【例 3-2】解方程组9 (1)18 (2)xyxy【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系，把x、y看成是方程29180zz的两根，解方程得：3zz或6 原方程组的解是：11113663xxyy或【练习 3-2】解方程组712xyxy【解析】解法一：由，得 7.xy 把代入，整理，得 27120yy 解这个方程，得 123,4yy 把13y 代入，得14x；把24y 代入，得23x 所以原方程的解是 114,3xy，223,4.xy 解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把,x y看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求,x y 这个方程组的,x y是一元二次方程 27120zz 的两个根，解这个方程，得 3z，或4z 所以原方程组的解是 114,3;xy 223,4.xy 【练习 3-3】解下列方程组:（1）225,625;yxxy （2）3,10;xyxy （3）221,543;xyyx （4）2222,8.yxxy【答案】（1）1115,20,xy2220,15;xy （2）115,2,xy 222,5;xy （3）5,34.3xy （4）112,2,xy 222,2.xy 探究四 二元二次方程组成的方程组的解法【例 4-1】解方程组2212 (1)4 (2)xxyxyy【分析】本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数项，可得到一个二次三项式的方程对其因式分解，就可以转化为例 3 的类型【解析】(1)(2)3得：223()0 xxyxyy，即 22230(3)()0 xxyyxy xy，300 xyxy或 原方程组可化为两个二元一次方程组：22300,44xyxyxyyxyy 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：121233,11xxyy 归纳总结：若方程组的两个方程均缺一次项，则消去常数项，得到一个二元二次方程此方程与原方程组中的任一个方程联立，得到一个可因式分解型的二元二次方程组【例 4-2】解方程组2226 (1)5 (2)xyxy【分析】(1)(2)2得：2()36 (3)xy，(1)(2)2得：2()16 (4)xy，分别分解(3)、(4)可得四个二元一次方程组【解析】(1)+(2)2得：222236()3666xyxyxyxyxy 或，(1)-(2)2得：222216()1644xyxyxyxyxy 或 解此四个方程组，得原方程组的解是：312412341515,1551xxxxyyyy 归纳总结：对称型方程组，如22xyaxyb、22xyaxyb都可以通过变形转化为xymxyn的形式，通过构造一元二次方程求解 【课后作业 1】1.解下列三元一次方程组（1）15239540 xyzxyzxyz （2）369abbcca （3）34518268322xyzxyzxyz 2已知345xyz，且 x+y+z=24，求 x、y、z 的值 3代数式 ax2+bx+c 在 x 为 1，-1，2 时，它的值分别是-6，-8，-11，求：（1）a，b，c 的值；（2）当 x=-4 时，求代数的值*4已知 2x+5y+4z=0，3x+y-7z=0，且 xyz0，求：234xyzxyz的值*5已知567xyyzzx且 xyz0，求 x：y：z*6用 100 元恰好买了三种笔共 100 支，其中金笔每支 10 元，铂金笔每支 3 元，圆珠笔每支 0.5 元，试问三种笔各买了多少支？【参考答案 1】1.(1)438xyz (2)306abc (3)842xyz 2.x=6,y=8,z=10 3.a=-2,b=1,c=-5;-41 4.81 5.:3:2:4x y z 6.金笔 5 支 铂金笔 5 支 圆珠笔 90 支 【课后作业 2】A 组 1解下列方程组：(1)26xyyx (2)22282xyxy (3)221235xyxxyy (4)2203210 xyxxy 2解下列方程组：(1)32xyxy (2)16xyxy 3解下列方程组：(1)2(23)01xxyx (2)(343)(343)0325xyxyxy(3)22(2)()08xyxyxy (4)()(1)0()(1)0 xy xyxy xy 4解下列方程组：(1)222230 xyxy (2)168xyxxyx B 组 1解下列方程组：(1)2232320 xyxyx (2)22231234330 xyxxyyxy 2解下列方程组：(1)32xyxy (2)24221xyxy 3解下列方程组：(1)2222384xyxxyy (2)224221xyxy 4解下列方程组：(1)2252xyxy (2)22410 xyxy 5解下列方程组:（1）225,625;yxxy （2）3,10;xyxy （3）221,543;xyyx （4）2222,8.yxxy 【参考答案 2】A 组 1212121121212810103204322(1),(2),(3),(4),32 2231010 344xxxxxxxyyyyyyy 2 121212121232(1),(2),21 23 xxxxyyyy 32112302(1),154xxyy 312123121271323113(2),(3),332311314xxxxxyyyyy 23414414231120122,(4),2011022xxxxxyyyyy 4(1)1234123466662222,66662222xxxxyyyy (2)43xy B 组 11122122175154(1),(2),41 33 2xxxxyyyy 2121212127312(1),(2),3721 22xxxxyyyy 3123434126 136 13221313(1),222 132 131313xxxxyyyy 312412342002(2),2222xxxxyyyy 4312412341212(1),1221xxxxyyyy ，121213(2),31 xxyy 5（1）1115,20,xy2220,15;xy （2）115,2,xy 222,5;xy （3）5,34.3xy （4）112,2,xy 222,2.xy
