圆及不规则图形面积.pdf

第二讲 几何之圆与扇形 教学目标 组合图形的面积计算，除了直线型面积计算“五大模型”（已在暑假班重点精讲），跟圆有关的曲线型面积也是得别重要的组成部分。其中，尤以结合情境的曲线形面积计算为最常见考点。教师版答案提示：纸的厚度为：(206)27（厘米），那么有70.04175圈纸，中心的卷轴到纸用完时大约会转 175 圈；圆环的面积为：2210391（-）=，因为纸的厚度为 0.4 毫米，即 0.04 厘米，所以纸展开后的长度约为：910.0422757143.5厘米.利用“加、减”思想解答问题 【例1】（04 年华罗庚金杯数学邀请赛）如图，一个“月牙”形屏幕在屏幕上随意平行移动（不许发生转动也不越过屏幕边界），已知线段 AB 是月牙外半圆弧的直径，长为 2厘米。初始时，A、B 两点在矩形屏幕的一条边上。屏幕的长和宽分别为 30 厘米和 20 厘米。问：屏幕上“月牙”擦不到的部分的面积是多少平方厘米？（取 3）分析：由于“月牙”形屏幕在屏幕上只能平行移动（不许发生转动也不越过屏幕边界），所以它擦不到的地方只是屏幕的右上角和右下角两部分，如右下图中斜线所示区域，其面积为 0.5 平方厘米。想 挑 战 吗？卷筒软纸中的数学 右图为一圈“心相印”圈纸的截面图，纸卷直径 为 20 厘米，中间有一直径为 6 厘米的卷轴，若纸的 厚度为 0.4 毫米，问：中心的卷轴到纸用完时大约会 转多少圈？这卷纸展开后大约有多长？（取 3.14）前铺如右图所示，等腰直角三角形 ABC 的高 AD=4 厘米，以 AD 为直径作圆分别交 AB、AC 与 E、F，求阴影部分的面积。（取 3）分析：连接 EF，那么有BEDABDEODSSS阴影三角形扇形，计算可得阴影部分面积为 6 平方厘米。巩固（第三届兴趣杯）一个长方形的长为 9，宽为 6，一个半径为 l 的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内这圆无法运动到的部分，面积的和是多少？(取 3)分析：圆无法运动到的部分是右下图中角处的阴影部分面积的 4 倍，1 1 41 11 拓展（华罗庚金杯数学邀请赛）如右图所示，用一块面积为 36 平方厘米铝板下料，可裁出七个同样大小的圆铝板。问余下的边角料的总面积是多少平方厘米？分析：由图可知大圆直径是小圆直径的 3 倍，所以每个小圆面积是大圆面积的19，即 4 平方厘米，所以余下的边角料的总面积是 8 平方厘米.【例2】如右图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为 1040 平方厘米，空白部分是 6 个半径为 10 厘米的小扇形。（取 3）分析：所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积，正六边形的面积已知，现在关键是小扇形面积如何求，只要知道扇形的圆心角，问题就解决了。n边形的内角和为：-2180n（），正多边形的每条边相等，每个内角也相等。所以正六边形每个内角为 120，这样就可求出扇形的面积，进而得到阴影面积为：21012010406440360 巩固 如右图，求阴影部分的面积，其中 OABC 是正方形.（取 3 关键在于求出正方形的面积，我们知道正方形是特殊的菱形，菱形面积为对角线乘积的一半，所以正方形面积为 18，阴影面积为14圆的面积减去正方形面积为 9。也可以这样想，连接 OB，将上半部分移至下面，可形成一个扇形减去三角形的阴影面积，这样也非常容易得到答案，其实有许多图形通过“割、移、补“简化计算，下面让我们来看看吧！巩固 右图是一个等腰直角三角形，直角边长 2 厘米 图中阴影部分面积是多少平方厘米？（取 3）分析：如右下图添加辅助线，那么原图阴影部分可转化为下图中的阴影部分，211=222=142 阴影面积，过度到下一专题。拓展 求右图中阴影部分的面积（取 3）分析：法 1：我们只用将两个半径为 10 厘米的四分之一圆减去空白的、部分面积和即可，其中、面积相等易知、部分均是等腰直角三角形，但是部分的直角边 AB 的长度未知单独求部分面积不易，于是我们将、部分平移至一起，如下右图所示，则、部分变为一个以 AC 为直角边的等腰直角三角形，而 AC 为四分之一圆的半径，所以有 AC=10 两个四分之一圆的面积和为 150，而、部分的面积和为 1/21010=50，所以阴影部分的面积为 150-50=100(平方厘米)法 2：欲求图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕 B 点逆时针方向旋转 180，使 A 与 C 重合，从而构成如右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.利用“割、补、移”思想解答问题 【例3】（02年南京市数学智力冬令营）如图，已知正方形ABCD的边长为 10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆，再将对边中点用直线连结起来那么，图中阴影部分的面积为多少平方厘米？(取 314)分析：由移补知，阴影部分面积等于两圆之间的半个圆环面积大圆的半径为:225550,所求面积为：250 5237.5（-）(平方厘米)前铺（迎春杯竞赛试题）算图 626 中阴影部分的面积(单位：分米)。（取3）分析：将右边的扇形向左平移，如图所示。两个阴影部分拼成个直角梯形。(5+10)52=752=375(平方分米)前铺 如右图所示，三个同心圆的半径分别是 2、6、10，求图中阴影部分占大圆面积的百分之几？分析：把 3 个阴影旋转到一个方位，我们不难发现 3 个阴影的面积和是大圆面积的 1/4.【例4】下图中阴影部分的面积(单位：厘米)。（取 3）分析：（1）将图中左半叶阴影部分向右翻折，与右上部分的阴影合拼成斜边为 4 厘米的等腰直角 三角形。如右图（附）所示，即得：444=4(平方厘米)（2）如右图（附），我们添加两条辅助线，而后发现可将圆内弓形割补 到上部，那么阴影部分面积=1/4 大圆-正方形=1/4355-1/255=25/4。注：正方形也是菱形，菱形面积是对角线乘积的一半。（3）把阴影部分下端的一块割下，补在上面的空白部分，这样阴影部分面积=1/4 大圆 1/4 小圆=71/4。（4）采用“补”的思想。三角形内角和是 180 度，所以阴影部分面积=半圆面积=3/2。【例5】平面上有7个大小相同的圆，位置如图所示 如果每个圆的面积都是10，那么阴影部分的面积是多少?（取 3）分析：题中阴影部分面积可以视为一个完整的圆与 6 个阴影部分的面积和 而图形可以通过割补得到图形，而图形是一个圆心角为60 度的扇形，即 1/6 圆 所以，原题图中阴影部分面积为 1 个完整圆与 6 个 1/6 圆，即 2 个圆的面积 即原题图中阴影部分面积为 210=20 巩固右图中的 4 个圆的圆心是正方形的 4 个顶点，它们的公共点是该正方形的中心如果每个圆的半径都是 1 厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?（取 3）分析：法 1：如图所示，可以将每个圆内的阴影部分拼成一个正 方形，而这个正方形与图中的正方形形状、大小相同 每个正方形的面积为(112)4=0.54=2平方厘米，所以阴影部分的总面积为24=8 法 2：我们可以将图中空白部分分成 8 个形状相同、面积相等的小图形 ，原题图中的整个图形的面积为四个圆的面积减去公共的 4 个 的面积，即 8 个的面积，而阴影部分面积又是整个图 形面积减去 4 个的面积，即 8 个的面积.那么，原题图 中阴影部分面积为4个圆面积减去16个的面积 所以，原题图中阴影部分总面积为：4113-160.25=8(平方厘米)奇思妙解 【例6】如图，阴影部分的面积是 25 平方厘米，试求圆环的面积。(取 3)分析：设大圆、小圆半径分别为,R r，阴影面积为 25 平方厘米，则有222211255022SRrRr阴影，所以222250150SRrRr圆环（）（平方厘米）巩固（华校 20052006 年度第一学期期中测试）大圆半径为 R，小圆半径为 r，两个同心圆构成一个环形。以圆心 O 为顶点，半径 R 为边长作一个正方形：再以O 为顶点，以 r 为边长作一个小正方形。图中阴影部分的面积为 50 平方厘米，求环形面积。分析：环形的面积应该用大圆的面积减去小圆的面积，但分别求出两个圆的面积显然不可能。题中已知阴影部分的面积，也就是50rR22平方厘米，那么环形的面积为:50)rR(rR2222=157(平方厘米)。【例7】（04 年全国小学数学去奥林匹克）如右图所示，求阴影部分的面积。（取 3）分析：利用“包含与排除”的思路解答，2221311SS+S-S335.6252242阴影半圆扇形等腰直角三角形（）巩固如右图所示，正方形的边长为 10，以各边为直径在正方形内画半圆，则所构成的阴影面积为多少？（取 3）分析：利用“包含与排除”的思路解答，阴影面积4 个半圆面积正方形面积50 拓展（01 年全国小学数学奥林匹克）如右图，ABCD 是平行四边形，AD=8厘米，AB=10 厘米，DAB=30，高 CH=4 厘米，弧 BE、DF 分别以 AB、CD为半径，弧 DM、BN 分别以 AD、CB 为半径，则阴影部分的面积是多少？（取 3.14,精确到 0.01）分析：23025103603EADFCDSS扇形扇形 230168360310 440DAMBCNABCDSSS扇形扇形平行四边形 DFBEDMBN2225162405.8333EADABCDABCDDAMSSSSSSS阴影曲边四边形曲边四边形扇形平行四边形平行四边形扇形（-）-（-）（+）旋转构图 【例8】（全国小学去奥林匹克）一只狗被拴在底座为边长 3 米的等边三角形建筑物的墙角上（如右图），绳长是 4 米，求狗所能到的地方的总面积。（取 3.14）分析：如右图所示，羊活动的范围是一个半径 4m，圆心角 300的扇形与两个半径1m，圆心角 120的扇形之和。所以答案是 43.96m2。【例9】如右图，一条直线上放着一个长和宽分别为 4cm和 3cm 的长方形。它的对角线长恰好是 5cm。让这个长方形绕顶点 B顺时针旋转 90后到达长方形的位置，这样连续做三次，A 点到达 E 点的位置。求 A 点走过的路程的长。（取 3）分析：如右下图，A 点走过的总路程等于三个半径分别为 4cm，5cm，3cm 的 1/4 弧长之和 18 cm。【例10】（祖冲之杯竞赛试题）如图，ABCD 是一个长为 4，宽为 3.对角线长为 5 的正方形，他绕 C 点按顺时针方向 旋转 900，分别求出四边扫过图形的面积。（取 3）分析：（1）容易发现，DC 边和 BC 边旋转后扫过的图形都是以线段长 度为半径的圆的41，如下图：因此 DC 边扫过图形的面积 为 4，BC 边扫过图形的面积为49；（2）研究 AB 边的情况。在整个 AB 边上，距离 C 点最近的点是 B 点，最远的点是 A 点，因此整条线段所扫过部分应该介 于这两个点所扫过弧线之间，见右图中阴影部分：下面来求这部分的面积。观察图形可以发现，所求阴影 部分的面积实际上是：扇形 ACA 面积+三角形 ABC 面积一 三角形 ABC 面积一扇形 BCB 面积扇形 ACA 面积 一扇形 BCB 面积2253444；（3）研究 AD 边扫过的图形。由于在整条线段上距离 C 点最远的 点是A，最近的点是D，所以我们可以画出AD边扫过的图形，如下图阴影部分所示：用与前面同样的方法可以求出面积 为：22549444 前铺 右图是一个直径为 3cm 的半圆，让这个半圆以 A 点为轴沿逆时针 方向旋转 60，此时 B 点移动到 B点，求阴影部分的面积。（图中长度单位为cm，圆周率按 3 计算）分析：面积等于=圆心角为 60的扇形面积+半圆-空白部分面积（也是半圆）=圆心角为 60的扇形面积=5.4233360602cm2 巩固（04 年华罗庚金杯数学邀请赛）如右图，一个半径为 1 厘米的小圆盘沿着一个半径为 4 厘米的大圆盘外侧做无滑动的滚动，当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动 90 度后，小圆盘运动过程中扫过的面积是多少平方厘米？（取 3）分析：小圆盘运动过程中扫过的面积由两部分组成：第一部分：半径为 6 厘米，中心角为 90 度的扇形减去半径为 4 厘米，中心角为 90 度的扇形，面积为：22644 515（-）=；第二部分是半径为 1 厘米的 2 个半圆，总面积是 3，所以扫过的面积为 18平方厘米.【例11】右图是一个直角边长为 1 的等腰直角三角形。当三角形绕 C 点顺时针旋转 90。时，斜边 AB 扫过的图形面积是多少?（取 3）分析：如右下图，从 C 向 AB 作垂线交 AB 于 D。AB 距 C 点最近的点是 D 点，最远的点是 A 点与 B 点，所以当ACB 绕 C 点顺时针旋转 90 度时，A 点转到 A 点与 B点重合，B 点转到 B点。AB 扫过的图形就是上图中阴影部分。，两部分的面积和等于半径为 1 的半圆减去ABB的面积，等于（/2-1)。I，两部分的面积等于正方形 CDBD减去扇形 CDD的面积。因为正方形CDBD 与三角形 ABC 的面积相等，所以 CD2=12。扇形 CDD 的面积是 CD24=8。I，两部分的面积和等于（12-），阴影部分的面积为：（-1）+（12-）=38-12=5/8。专题展望 熟练掌握本节内容，寒假班将学习等积变形、旋转平移、借来还去（踩凳子、差等原理）、整体考虑。练习二 1（01 年全国华罗庚数学邀请赛）如右图，图中五个相同的圆的圆心连线构成一个边长为 10 厘米的正五边形，求五边形内阴影部分的面积（取 3.14）828 分析：正五边形的内角为：1805-25108（），所求阴影面积是 5 个半径为 5 厘米、圆心角为 108的扇形面积之和，即251083605117.75S 阴影（）.2 （迎春杯数学竞赛）如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中 阴影部分面积为，空白部分面积为2S，那么这两个部分的面积之比是多少？（取 3）分析：如右下图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形。设大圆半径为，则222rS，所以1S：=（3.142）：2=57：100 3 （全国小学数学去奥林匹克）如右图所示，最外面是正方形为 4 米，图中阴影部分的面积为 5 平方厘米，那么最里面正方形的边长是多少？分析：将图形的阴影进行适当移动，可得右下图，我们可以得到阴影部分最顶端的小三角形为：54441，所以最小的正方形面积为 4，那么其边长为 2。4 如右图所示，平行四边形 ABCD 的面积是 40cm2，求图中阴影部分的面积。分析：平行四边形面积=底高=直径高=2r高=40，所以 r高=20，所以阴影面积=10cm2.5 如右图，将边长为 1 的正三角形放在一条直线上，让三角形绕顶点 C 顺时针转动到达位置，再继续这样转动到达位置。求 A 点走过的路程的长（取 3）。分析：A 走的总路程等于半径为 1 的圆的周长的 2/3，即 4。6 如右图所示，直角三角形 ABC 的斜边 AB 长为 10 厘米，ABC=60，此时 BC 长 5 厘米。以点 B 为中心，将ABC 顺时针旋转 120，点 A，C分别到达点 E，D 的位置。求 AC 边扫过的图形即图中阴影部分的面积。（取 3）1Sr2212rrS2S 分析：如右下图所示，将图形 l 移补到图形 II 的位置，则阴影部分为一圆 环 的。面 积 为：(AB2一 BC)3=(10一 52)3=7533=75(平方厘米)。成长故事 被玷污的20美元 时刻关注自己的内在价值 在一次讨论会上，一位著名的演说家没讲一句开场白，却高举着一张20美元的钞票。面对会议室里的200个人，他问：“谁要这20美元?”一只只手举了起来。他接着说：“我打算把这20美元送给你们中的一位，但在这之前，请准许我做一件事。”他说着将钞票揉成一团，然后问：“谁还要?”仍有人举起手来。他又说：“那么，假如我这样做又会怎么样呢?”他把钞票扔到地上，又踏上一只脚，并且用脚碾它。尔后他拾起钞票，钞票已变得又脏又皱。“现在谁还要?”还是有人举起手来。演说家最后说：“朋友们，你们已经上了一堂很有意义的课。无论我如何对待那张钞票，你们还是想要它，因为它并没贬值。它依旧值 20 美元。人生路上，我们会无数次被自己的决定或碰到的逆境击倒、欺凌甚至碾得粉身碎骨。我们觉得自己似乎一文不值。但无论发生什么，你们永远不会丧失价值。”1322