天津市滨海新区大港太平村中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题Word版含解析.pdf

高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -16-数学试卷 第卷 选择题 一.选择题.1.复数23zi的虚部为（）A.3 B.3 C.2 D.3i【答案】A【解析】【分析】根据复数的概念直接可得答案.【详解】复数23zi的虚部为3 故选：A【点睛】本题考查复数的基本概念，属于基础题.2.已知向量(1,2)a，(,4)bx，且ab，那么x的值为（）A.4 B.2 C.2 D.8【答案】D【解析】【分析】由平面向量垂直的坐标表示解方程即可得解.【详解】因为(1,2)a，(,4)bx，ab，所以80a bx，解得8x.故选：D.【点睛】本题考查了平面向量垂直的坐标表示，考查了运算求解能力，属于基础题.3.某单位职工分老中青三个层次，其中青年职工 350 人，中年职工 250 人，老年职工 150 人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为 7人，则样本容量为（）A.35 B.25 C.20 D.15【答案】D【解析】高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -16-【分析】由分层抽样的性质列方程即可得解.【详解】设样本容量为 x，则由分层抽样的性质可得7350350250150 x，所以15x，所以样本容量为 15.故选：D.【点睛】本题考查了分层抽样的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.4.若i为虚数单位，则复数2zi 在复平面上对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】由复数的坐标表示可得复数在复平面内对应的点，即可得解.【详解】由题意，复数2zi 在复平面上对应的点为2,1，位于第二象限.故选：B.【点睛】本题考查了判断复数对应的点所在的象限，牢记知识点是解题关键，属于基础题.5.袋中有大小相同，质地均匀的 2 个红球和 3 个黄球，从中无放回的先后取两个球，取到红球的概率为（）A.110 B.12 C.710 D.35【答案】C【解析】【分析】由题意给小球编号，列举出所有基本情况及满足要求的基本情况，由古典概型概率公式即可得解.【详解】由题意，给 2 个红球编号为 1、2，给 3 个黄球编号为 3、4、5，则无放回的先后取出两个球的所有基本情况有：1,2，1,3，1,4，1,5，2,1，2,3，2,4，2,5，3,1，3,2，3,4，3,5，4,1，4,2，4,3，4,5，5,1，5,2，5,3，5,4，共 20 种；高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -16-取到红球的基本情况有：1,2，1,3，1,4，1,5，2,1，2,3，2,4，2,5，3,1，3,2，4,1，4,2，5,1，5,2，共 14 种.故所求概率1472010P.故选：C.【点睛】本题考查了古典概型概率的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.6.某工厂技术人员对三台智能机床生产数据统计后发现，甲车床每天生产次品数的平均数为1.5，标准差为 1.28；乙车床每天生产次品数的平均数为 1.2，标准差为 0.87；丙车床每天生产次品数的平均数为 1.2，标准差为 1.28.由此数据可以判断生产性能最好且较稳定的为（）A.无法判断 B.甲车床 C.乙车床 D.丙车床【答案】C【解析】【分析】由平均数、标准差的实际意义即可直接得解.【详解】由题意，乙车床每天生产次品数的平均数最小，性能最好，且标准差最小，生产性能最稳定，所以可以判断生产性能最好且较稳定的为乙车床.故选：C.【点睛】本题考查了平均数、标准差应用，牢记知识点是解题关键，属于基础题.7.某人有 4 把钥匙，其中 2 把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率为（）A.23 B.13 C.12 D.14【答案】B【解析】【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式求解【详解】解：第二次打开门，说明第一次没有打开门，所以第二次打开门的概率为221433，故选：B 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -16-【点睛】此题等可能事件的概率，相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题 8.棱长为 2 的正方体外接球的表面积为（）A.12 B.4 3 C.6 D.48【答案】A【解析】【分析】由正方体的结构特征可得该正方体外接球的半径，再由球的表面积公式即可得解.【详解】由题意，棱长为 2 的正方体外接球的半径22332r，所以该外接球的表面积 2244312Sr.故选：A.【点睛】本题考查了几何体外接球表面积的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.9.设a是非零向量，是非零常数，下列结论中正确的为（）A.a与a的方向相反 B.a与2a的方向相同 C.|aa D.|aa【答案】B【解析】【分析】根据向量的概念以及向量的数乘运算的定义逐个判断即可得解.【详解】对于 A，若0即0，则a与a的方向相同，故 A 错误；对于 B，因为20，所以a与2a的方向相同，故 B 正确；对于 C，因为aa，若1，则|aa，故 C 错误；对于 D，a表示长度，a表示向量，两者不相等，故 D 错误.故选：B.【点睛】本题考查了向量的概念以及向量的数乘运算的定义，属于基础题.10.某校有住宿的男生 400 人，住宿的女生 600 人，为了解住宿生每天运动时间，通过分层随机抽样的方法抽到 100 名学生，其中男生、女生每天运动时间的平均值分别为 100 分钟、80高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -16-分钟.结合此数据，请你估计该校全体住宿学生每天运动时间的平均值为（）A.98 分钟 B.90 分钟 C.88 分钟 D.85 分钟【答案】C【解析】【分析】由分层抽样的性质可得抽取的男女生人数,进而可得样本中学生每天运动时间的平均值,即可得解.【详解】由分层抽样的性质可得抽取男生40010040400600人，女生60010060400600人，则样本中学生每天运动时间的平均值40 10060 8088100 x（分钟），故可估计该校全体住宿学生每天运动时间的平均值为 88 分钟.故选：C.【点睛】本题考查了分层抽样的应用，考查了总体平均数的估计，属于基础题.11.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的为（）A.若/，m，n，则/m n B.若m，n，/，则/m n C.若/m n，n ，/，则/m D.若mn，m，n，则【答案】B【解析】【分析】由线线、线面、面面平行和垂直的判定定理和性质定理逐个分析判断即可【详解】解：对于 A，当/，m，n时，m，n可能平行，可能异面，所以 A错误；对于 B，当m，n，/时，由线面垂直的性质定理可知/m n，所以 B 正确；对于 C，当/m n，n ，/时，m可能在平面内，或/m，所以 C 错误；对于 D，当mn，m，n时，若直线m是两个平面的交线，则，不一定垂直，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -16-所以 D 错误，故选：B【点睛】此题考查线线、线面、面面平行和垂直的判定定理和性质定理的应用，属于基础题 12.某校高三年级共有 800 名学生参加了数学测验，将所有学生的数学成绩分组如下：90，100)，100，110)，110，120)，120，130)，130，140)，140，150，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是（）成绩不低于 120 分的学生人数为 440；这 800 名学生中数学成绩的众数为 125；这 800名学生数学成绩的中位数的近似值为 121.24；这 800 名学生数学成绩的平均数为 120.A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【答案】D【解析】【分析】先由频率分布直方图求出a的值，从而可求出成绩不低于 120 分的学生人数，平均数和中位数，然后进行判断即可【详解】解：由题意得0.01020.0250.0150.00511)0(a，解得0.035a，所以成绩不低于 120 分的学生人数为800 10(0.0350.0150.005)440，所以正确；由频率直方图可知分在120，130)中最多，所以众数为1201301252，所以正确；这 800 名学生数学成绩的中位数为0.5(0.0100.0100.025)10120121.40.035，所以正确；这 800 名学生数学成绩的平均数为 10(950.0101050.0101150.0251250.0351350.0151450.005)120，所以正确，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -16-故选：D【点睛】此题考查频率分布直方图的应用，考查由频率分布直方图求平均数、众数、中位数，考查运算能力，属于基础题 第卷非选择题 二.填空题.13.已知向量(2,)am，(3,6)b，若/a b，则实数m的值为_.【答案】4【解析】【分析】由平面向量平行的坐标表示运算即可得解.【详解】因为(2,)am，(3,6)b，/a b，所以326m，所以4m.故答案为：4.【点睛】本题考查了平面向量平行的坐标表示，考查了运算求解能力，属于基础题.14.若i为虚数单位，复数1 71izi，则|z _.【答案】5【解析】【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案【详解】解：17(17)(1)68341(1)(1)2iiiiziiii ，则22|(3)(4)5z 故答案为：5【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，属于基础题 15.树人中学高一 1 班 23 名男生身高的样本数据（单位：cm）按从小到大排序，排序结果如下：164，165，165，166，167，168，168，168，170，170，170，172，172，172，173，173，173，173，174，175，175，175，176.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -16-由数据估计树人中学高一年级男生身高的第 50 百分位数为_.【答案】172【解析】【分析】由百分位数的概念可求得样本的第 50 百分位数，即可得解.【详解】由23 50%11.5，将样本数据从小到大排列，第 12 个数字为 172，所以可估计树人中学高一年级男生身高的第 50 百分位数为 172.故答案为：172.【点睛】本题考查了样本的百分位数的求解，考查了样本估计总体及运算求解能力，属于基础题.16.某射击运动员平时 100 次训练成绩的统计结果如下：命中环数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 频数 2 4 5 6 9 10 18 26 12 8 如果这名运动员只射击一次，估计射击成绩是 6 环的概率为_；不少于 9 环的概率为_.【答案】(1).110 (2).15【解析】【分析】由表中的数据，求对应的比值可得答案.【详解】由题意得：这名运动员只射击一次，估计射击成绩是 6 环的概率为10110010，不少于 9 环的概率为12+811005，故答案为：110；15.【点睛】本题考查利用频率估计概率，属于基础题.17.已知向量(1,3)a，(4,3)b 的夹角为，则cos_.【答案】1010【解析】高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -16-【分析】由cosa bab，结合平面向量数量积及模的坐标表示即可得解.【详解】因为(1,3)a，(4,3)b ，所以4910cos101 9169a bab.故答案为：1010.【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了运算求解能力。属于基础题.18.一个几何体由六个面围成，其中两个面是互相平行且边长为 2 的正方形，其他 4 个面都是边长为 2 和 4 的矩形，这个几何体的体积是_.【答案】16【解析】【分析】由长方体的几何特征可得该几何体为长方体，即可得解.【详解】由题意可得该几何体为长、宽、高分别为 2、2、4 的长方体，所以该几何体的体积22416V.故答案为：16.【点睛】本题考查了长方体几何特征的应用及体积的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.19.在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若222ab，sin3sinCB，则cos A_.【答案】33【解析】【分析】由sin3sinCB，根 据 正 弦 定 理“边 化 角”，可 得3cb，根 据 余 弦 定 理2222cosabcbcA，结合已知联立方程组，即可求得角cos A.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -16-【详解】sin3sinCB，根据正弦定理：sinsinbcBC，3cb，根据余弦定理：2222cosabcbcA，又222ab，故可联立方程：2222232cos2cbabcbcAab，解得：3cos3A.故答案为：33.【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.20.在ABC中，2AB，3AC，120BAC，D是BC中点，E在边AC上，AEAC，12AD BE，则|AD_，的值为_.【答案】(1).72 (2).13【解析】【分析】由2212ADABAC，结合平面向量数量积的运算即可得AD；由平面向量的线性运算可得1122ABACABAC，再由平面向量数量积的运算即可得.【详解】因为2AB，3AC，120BAC，所以cos1203AB ACABAC，由题意12ADABAC，BEBAAEACAB，所以222211224ADABACABAB ACAC 1746944，所以72AD；由12AD BE可得2211222211ABACABACAB ACABAC 31122229123，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -16-解得13.故答案为：72；13.【点睛】本题考查了平面向量线性运算及数量积运算的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.三.解答题.21.甲、乙两名运动员各投篮一次，甲投中的概率为 0.8，乙投中的概率为 0.9，求下列事件的概率：（）两人都投中；（）恰好有一人投中；（）至少有一人投中.【答案】（）0.72；（）0.26；（）0.98.【解析】【分析】（）由相互独立事件概率的乘法公式即可得解；（）由相互独立事件概率的乘法公式、互斥事件概率的加法公式，运算即可得解；（）由互斥事件概率加法公式即可得解.【详解】设A“甲投中”，B“乙投中”，则A“甲没投中”，B“乙没投中”，由于两个人投篮的结果互不影响，所以A与B相互独立，A与B，A与B，A与B都相互独立，由己知可得()0.8P A，()0.9P B，则()0.2P A，()0.1P B；（）AB“两人都投中”，则()()()0.8 0.90.72P ABP A P B；（）ABAB“恰好有一人投中”，且AB与AB互斥，则()()()()()()()P ABABP ABP ABP A P BP A P B 0.80.10.20.90.26；（）ABABAB“至少有一人投中”，且AB、AB、AB两两互斥，所以()()()P ABABABP ABP ABP AB 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -16-)0.720.260.9()(8P ABP ABAB.【点睛】本题考查了对立事件的概率及概率的加法公式、乘法公式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.22.在正方体1111ABCDABC D中，E为棱1DD的中点，底面对角线AC与BD相交于点O.（）求证：1/BD平面ACE；（）求证：1BDAC.【答案】（）证明见解析；（）证明见解析.【解析】【分析】（）连结OE，由OBOD，E为棱1DD的中点，证得1/BDOE，再结合线面平行的判定定理，即可证得1/BD平面ACE；（）根据线面垂直的判定定理，证得AC 面1BDD，进而证得1BDAC.【详解】（）连结OE，在正方体1111ABCDABC D中，因为OBOD，E为棱1DD的中点，所以1/BDOE，又因为OE 平面ACE，1BD 平面ACE，所以1/BD平面ACE；（）在正方体1111ABCDABC D中，由ACBD，1DD 面ABCD，AC 面ABCD，所以1DDAC，又因为BD 面1BDD，1DD 面1BDD，1BDDDD，所以AC 面1BDD，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -16-又由1BD 面1BDD，所以1BDAC.【点睛】本题主要考查了直线与平面平行判定，以及直线与平面垂直的判定及应用，其中解答中熟记正方体的结合结构特征，以及线面位置关系的判定定理与性质定理是解答的关键，着重考查推理与论证能力，属于基础题.23.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，7a，8c.（1）若4 3sin7C，求角A；（2）若ba，且ABC的面积为10 3，求b.【答案】（1）3；（2）5.【解析】【分析】（1）由正弦定理直接求解即可；（2）由三角形的面积公式结合三角形的面积求出5 3sin14B，从而可得11cos14B，再利用余弦定理可求出b的值【详解】（1）由已知条件可知，7a，8c，4 3sin7C，根据正弦定理可得sinsinacAC，sin74 33sin872aAcC，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -16-ac，AC，0,2A，3A.（2）因为ABC的面积为10 3，且7a，8c.顶点A到BC的距离为h，11sin28sin10 322ABCSahacBB，5 3sin14B.2111 sis14cnoBB .ba，2B，11cos14B，由余弦定理得，2222cosbacacB，2211782 7 82514 5b 【点睛】此题考查正弦、余弦定理的应用，考查三角形的面积公式的应用，考查计算能力，属于基础题 24.如图，四棱锥PABCD的底面是边长为 2 的菱形，60DAB，PD 底面ABCD，点E在棱PB上.（）求证：平面AEC 平面PDB；（）若2PD，E是棱PB中点，求异面直线AE和BC所成角的余弦值；（）若直线AE与平面PBD所成角的正切值最大为 2，求PD的长.【答案】（）证明见解析；（）34；（）2 3.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -16-【解析】【分析】（）由菱形的性质得ACBD.再由线面垂直的性质得PDAC，由线面垂直的判定定理可证得AC 平面PDB，根据面面垂直的判定定理可得证.（）连结DE、OE.由异面直线所成的角的定义可得异面直线AE和BC所成角为DAE（或补角），由三角形的边角关系和余弦定理可求得异面直线AE和BC所成角的余弦值；（）由（）知，AC 平面PDB于点O，根据线面角和定义 可得AEO为AE与平面PDB所成的角.再由三角形的边角关系可求得答案.【详解】（）四边形ABCD是菱形，ACBD.PD 底面ABCD，AC 面ABCD，PDAC.又PDBDD，PD 面PBD，BD 面PBD，AC 平面PDB.又AC 平面AEC，平面AEC 平面PDB.（）连结DE、OE./AD BC，异面直线AE和BC所成角为DAE（或补角），菱形ABCD的边长为 2，60DAB，2BD，在Rt PDB中，90PDB，2PD，2BD，E是棱PB中点，2DE，OBOD，PEBE，/OE PD，1OE，即OE 面ABCD，AC 面ABCD，.90EOA，3OA，2AE，在ADE，2AD，2AE，2DE，4423cos2 2 24DAE，故异面直线AE和BC所成角的余弦值为34；（）由（）知，AC 平面PDB于点O，AEO为AE与平面PDB所成的角.在AOE中，3OA，OAOE，3tanOAAEOOEOE的最大值为 2，OE的最小值为32，即点O到直线的PB距离是32，BEOBDP，设PDt，OEOBPDPB，即23124tt，解之：2 3t，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 -16-所以此时2 3PD.【点睛】本题考查空间中的面面垂直的证明，异面直线所成的角的定义和计算，线面角的定义和计算，属于中档题.