求值域的10种方法.pdf

求函数值域的十种方法 一直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 1求函数1yx的值域。【解析】0 x，11x ，函数1yx的值域为1,)。【练习】1求下列函数的值域：32(11)yxx；xxf42)(；1xxy；4112 xy，2,1,0,1x。【参考答案】1,5；2,)；(,1)(1,)；4 1,0,3。二配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如2()()()F xafxbf xc的函数的值域问题，均可使用配方法。例 2求函数242yxx（1,1x）的值域。【解析】2242(2)6yxxx 。11x，321x ，21(2)9x，23(2)65x ，35y。函数242yxx（1,1x）的值域为 3,5。例 3求函数)4,0(422xxxy的值域。【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：)0)(4)(2xfxxxf配方得：)4,0(4)2()(2xxxf利用二次函数的相关知识得4,0)(xf，从而得出：0,2y。说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：0)(xf。例 4若,42yx0,0yx，试求yxlglg的最大值。【分析与解】本题可看成第一象限内动点(,)P x y在直线42yx上滑动时函数xyyxlglglg的最大值。利用两点(4,0)，(0,2)确定一条直线，作出图象易得：2(0,4),(0,2),lglglglg(42)lg 2(1)2xyxyxyyyy而，y=1 时，yxlglg取最大值2lg。（【练习】2求下列函数的最大值、最小值与值域：142xxy；4,3,142xxxy；1,0,142xxxy；5,0,142xxxy；5xxxy422，4,41x；6223yxx。【参考答案】3,)；2,1；2,1；3,6；5736,4；60,2 三反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。适用类型：分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自变量的函数类型。例 5求函数12xxy的值域。分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出x，从而便于求出反函数。12xxy反解得yyx2，故函数的值域为(,2)(2,)。【练习】）1求函数2332xyx的值域。2求函数axbycxd，0,dcxc 的值域。【参考答案】122(,)(,)33；(,)(,)aacc。四分离变量法：适用类型 1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。例 6：求函数125xyx的值域。解：177(25)112222525225xxyxxx，72025x，12y ，函数125xyx的值域为1|2y y 。适用类型 2：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为)(xfky(为k常数)的形式。例 7：求函数122xxxxy的值域。分析与解：观察分子、分母中均含有xx 2项，可利用分离变量法；则有22221 111xxxxyxxxx 21113()24x。（不妨令：)0)()(1)(,43)21()(2xfxfxgxxf从而,43)(xf。注意：在本题中若出现应排除0)(xf，因为)(xf作为分母.所以4()0,3g x故1,31y。另解：观察知道本题中分子较为简单，可令222111xxtxxxx，求出t的值域，进而可得到y的值域。【练习】1求函数132222xxxxy的值域。【参考答案】110(2,3 五、换元法：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。例 8：求函数212yxx的值域。解：令12tx（0t），则212tx，22151()24yttt 。当12t，即38x 时，max54y，无最小值。函数212yxx的值域为5(,4。例 9：求函数221(1)yxx的值域。解：因21(1)0 x，即2(1)1x。故可令1cos,0,x ，1cossincos11cosy21)4sin(2。4544,0，2sin()124，02sin()1124 故所求函数的值域为21,0。例 10.求函数34221xxyxx的值域。解：原函数可变形为：222121211xxyxx 可令 X=tan，则有222221sin2,cos11xxxx 11sin2cos2sin424y 当28k时，max14y 当28k时，min14y 而此时tan有意义。故所求函数的值域为41,41 例 11.求函数(sin1)(cos1)yxx，,12 2x 的值域。解：(sin1)(cos1)yxx sincossincos1xxxx 令sincosxxt，则21sin cos(1)2xxt 2211(1)1(1)22yttt 由sincos2sin()4txxx 且,12 2x 可得：222t 当2t 时，max322y，当22t 时，3242y 故所求函数的值域为32 3,2422。;例 12.求函数245yxx 的值域。解：由250 x，可得|5x 故可令5cos,0,x 5cos45sin10sin()44y 0 5444 当4时，max410y 当时，min45y 故所求函数的值域为：45,410 六、判别式法：把函数转化成关于x的二次方程(,)0F x y；通过方程有实数根，判别式0，从而求得原函数的值域，形如21112222a xb xcya xb xc（1a、2a不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。例 13：求函数2231xxyxx的值域。【解：由2231xxyxx变形得2(1)(1)30yxyxy，当1y 时，此方程无解；当1y 时，xR，2(1)4(1)(3)0yyy，解得1113y，又1y，1113y 函数2231xxyxx的值域为11|13yy 七、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例 14：求函数12yxx的值域。解：当x增大时，12x随x的增大而减少，12x随x的增大而增大，函数12yxx在定义域1(,2上是增函数。11112222y ，函数12yxx的值域为1(,2。|例 15.求函数11yxx 的值域。解：原函数可化为：1x1x2y 令1,121xyxy，显然21y,y在,1 上为无上界的增函数 所以21yyy在,1 上也为无上界的增函数 所以当 x=1 时，21yyy有最小值2，原函数有最大值222 显然0y，故原函数的值域为2,0(适用类型 2：用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减）例 16：求函数)4(log221xxy的值域。分析与解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：2()4()0)t xxx t x 配方得：2()(2)4()0,4)t xxt x 所以（由复合函数的单调性（同增异减）知：),2y。八、利用有界性：一般用于三角函数型，即利用 1,1cos,1,1sinxx等。例 17：求函数cossin3xyx的值域。|解：由原函数式可得：sincos3yxxy，可化为：21sin()3yx xy 即23sin()1yx xy xR sin()1,1x x 即23111yy 解得：2244y 故函数的值域为22,44 注：该题还可以使用数形结合法。coscos0sin3sin3xxyxx，利用直线的斜率解题。例 18：求函数1 21 2xxy的值域。解：由1 212xxy解得121xyy，?20 x，101yy，11y 函数1 212xxy的值域为(1,1)y。九、图像法（数形结合法）：其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例 19：求函数|3|5|yxx的值域。解：22|3|5|822xyxxx(3)(35)(5)xxx ，|3|5|yxx的图像如图所示，由图像知：函数|3|5|yxx的值域为8,)例 20.求函数22(2)(8)yxx的值域。解：原函数可化简得：|2|8|yxx 上式可以看成数轴上点 P（x）到定点 A（2），(8)B 间的距离之和。、由上图可知，当点 P 在线段 AB 上时，|2|8|10yxxAB 当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时，|2|8|10yxxAB 故所求函数的值域为：10,例 21.求函数2261345yxxxx的值域。85-3oyx解：原函数可变形为：2222(3)(02)(2)(0 1)yxx 上式可看成 x 轴上的点(,0)P x到两定点(3,2),(2,1)AB 的距离之和，由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时，22min|(32)(2 1)43yAB，故所求函数的值域为 43,.例 22.求函数2261345yxxxx的值域。解：将函数变形为：2222(3)(02)(2)(0 1)yxx 上式可看成定点 A（3，2）到点 P（x，0）的距离与定点)1,2(B 到点)0,x(P的距离之差。即：|yAPBP 由图可知：（1）当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时，如点 P，则构成ABP，根据三角形两边之差小于第三边，有22|(32)(2 1)26APBPAB 即：2626y（2）当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时，有|26APBPAB 综上所述，可知函数的值域为：(26,26 例 23、：求函数xxycos2sin3的值域.分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式1212xxyyk，将原函数视为定点(2，3)到动点)sin,(cosxx的斜率，又知动点)sin,(cosxx满足单位圆的方程，从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得，从而解得：3326,3326y 点评：本题从函数本身的形式入手，引入直线的斜率，结合图形，从而使问题得到巧解。例 24求函数xxy11的值域。分析与解答：令xu1，xv1，则0,0vu，222vu，yvu，原问题转化为：当直线yvu与圆222vu在直角坐标系uov的第一象限有公共点时，求直线的截距的取值范围。由图 1 知：当yvu经过点)2,0(时，2miny；当直线与圆相切时，2222maxOCODy。所以：值域为22 y 2 2OVUABCDE 十：不等式法：利用基本不等式32,3abab abcabc(,)a b cR，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例 25.求函数2211(sin)(cos)4sincosyxxxx的值域。解：原函数变形为：222222222211(sincos)sincos1sec3tancot32 tancot5yxxxxces xxxxxx 当且仅当tancotxx 即当4xk时()kz，等号成立 故原函数的值域为：5,)例 26.求函数2sinsin 2yxx的值域。解：4sinsincosyxxx 24sincosxx 42222222316sincos8sinsin(22sin)8(sinsin22sin)/36427yxxxxxxxx 当且仅当22sin22sinxx，即当22sin3x 时，等号成立。由26427y 可得：8 38 399y 故原函数的值域为：8 3 8 3,99 十一、多种方法综合运用：例 27.求函数23xyx的值域。解：令2(0)txt，则231xt（1）当0t 时，211112tyttt，当且仅当 t=1，即1x 时取等号，所以102y（2）当 t=0 时，y=0。综上所述，函数的值域为：10,2 注：先换元，后用不等式法 例 28.求函数23424121 2xxxxyxx的值域。解：24324241 21 21 2xxxxyxxxx 2222111xxxx 令tan2x，则22221cos1xx 21sin12xx 2211cossinsinsin122y 2117sin416 当1sin4时，max1716y 当sin1 时，min2y 此时tan2都存在，故函数的值域为172,16 注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。