2019年度普通高等学校招生全国统一考试'文科数学(二-).doc

''2019 年普通高等学校招生全国统一考试文文 科科 数数 学（二）学（二）注注意意事事项项：1、本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。2、回答第卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。3、回答第卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第第卷卷一、选择题：共一、选择题：共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的1.已知集合，则（ ）2 log (1)0AxxRC A A.B.(,12,)C.D.(,1)(2,)(,12,)【答案】D【解析】由集合，则或.2 log (1)0 12Axxxx1RC Ax x2x 2.若复数满足，则复平面内表示的点位于（ ）z(23 )13i zzA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】，(23 )13i z1313(23 )2323(23 )(23 )iziiii则复平面内表示的点位于第四象限.z(2, 3)3.函数的图象大致为（ ）11( )22xf xex''A.B.C.D.【答案】C【解析】函数是偶函数，排除选项 B；11( )22xf xex当时，函数，可得，0x 11( )22xf xex1( )12xfxe当时，函数是减函数，0ln2x( )0fx当时，函数是增函数，排除选项 A，D，故选 C.ln2x 4.在中，（ ）ABC90B(1,2)AB (3, )AC A.B.C.D.1234【答案】A【解析】中，ABC90B(1,2)AB (3, )AC，(2,2)BCACAB 又，即，解得.90BABBC 0AB BC 22(2)015.在中，分别是角，的对边，ABCabcABC()()2abc acbab则角的正弦值为（ ）CA.B.C.D.1 23 22 21【答案】D【解析】由，可得，()()2abc acbab2220abc''根据余弦定理得，222 cos02abcCab，.(0, )Bsin1C 6.双曲线（）的一条渐近线方程为，则它的离心率为（ 221mxny0mn 1 2yx）A.B.C.或D.或55 255 255 2【答案】C【解析】双曲线（）的一条渐近线方程为，221mxny0mn 1 2yx或，双曲线的离心率为或.2b a1 2b a21 ( )5cbeaa5 27.执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则判断框中可以填入的条件是（ ）1A.B.C.D.999n 999n 999n 999n 【答案】C【解析】该程序框图的功能是计算的值.122lglglg2lg(1)231nSnn要使输出的的值为，则，即.故中应填.S12lg(1)1n 999n 999n 8.已知单位圆有一条直径，动点在圆内，则使得的概率为（ ）ABP2AP AB ''A.B.C.D.1 21 42 4 2 4 【答案】A【解析】由可知，在向量上的投影为 ，2AP AB AP AB 1所以点所在位置为半个圆，面积占整个圆的，所以概率为.P1 21 29.长方体，则异面直线与1111ABCDABC D4AB 2AD 15AA 11AB所成角的余弦值为（ ）1ACA.B.C.D.2 53 54 51 2【答案】C【解析】，异面直线与所成的角即为与所成的角1111/ /C DAB11AB1AC11C D1AC.11AC D在中，. 11AC DRt114C D 222 142( 5)5AC 11 11 14cos5C DAC DAC10.将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数( )sin2cos2f xxx3 8的图象，则图象的一个对称中心是（ ）( )g x( )g xA.B.C.D.(,0)3(,0)4(,0)6(,0)2【答案】D【解析】将函数图象上22( )sin2cos22(sin2cos2 )2sin(2)224f xxxxxx所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，3 8 ( )2sin(2)2sin2g xxx 令，求得，令，可得图象的一个对称中心为.2xk2kxkZ1k ( )g x(,0)2''11.已知是定义在上偶函数，对任意都有且，( )f xRxR(3)( )f xf x( 1)4f 则的值为（ ）(2020)fA.B.C.D.2345【答案】C【解析】由，知函数为周期函数，且周期，(3)( )f xf x( )f x3T 则.(2020)(3 673 1)(1)( 1)4ffff12.过抛物线：（）的焦点的直线交该抛物线于、两点，C22xpy0p FAB若，为坐标原点，则（ ）4 AFBFOAFOFA.B.C.D.5 4345【答案】A【解析】由题意得，则，所以，22xpy(0,)2pF2pOF 设直线的方程为，设，且，AB2pykx11( ,)A x y22(,)B xy12xx因为，所以，则，4 AFBF4AFBF 214xx 由，整理得，所以，22 2pykxxpy 2220xpkxp122xxpk2 12x xp 联立可得，即直线的方程为，3 4k AB3 42pyx 又，整理得，23 42 2pyxxpy 222320xpxp解得或，故，2xp 2px (,)2 8p pA( 2 ,2 )Bpp''所以根据抛物线的定义可知，所以.5 828ppAFp5 4AFOF第第卷卷本本卷卷包包括括必必考考题题和和选选考考题题两两部部分分 。第第(13)(21)题题为为必必考考题题，每每个个试试题题考考生生都都必必须须作作答答 。第第(22)(23)题题为为选选考考题题，考考生生根根据据要要求求作作答答 。二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.已知某大学由大一人，大二人，大三人.为该大学学生的身体健康状况，500750850该大学负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若在大二学生中随机抽取了人，试问这次抽样调查抽取的人数是 人.50【答案】140【解析】根据题意可得抽样比为，501 75015则这次抽样调查抽取的人数是.11(500750850)2100140151514.若变量，满足约束条件，则的最大值为 .xy840,0xyxyxy 2zxy【答案】16【解析】由约束条件作出可行域如图所示：840,0xyxyxy ''可化为.当直线过点时，取最大值，即2zxy1 22zyx (0,8)Cz.max2 816z 15.已知，则 .23sincos2cos2【答案】4 5【解析】由已知得，解得，.22sincos11cos221cos22cos12 16.已知一个正八面体的所有棱长均为，则该正八面体的外接球的表面积为 .2【答案】4【解析】正八面体的所有棱长均为，外接球的直径为正八面体的体对角线长，22所以球的半，故外接球的表面积为.1R 244SR三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（12 分）已知正项等比数列满足，.na3112SS212314aS（1）求数列的通项公式；na（2）记，求数列的前项和.2212211 loglogn anbaa nbnnT【答案】 （1）；（2）.2nna 21nnTn【解析】 （1）设数列的公比为，由已知，由题意得，naq0q 2 1111+123214a q a qaa q所以，解得，.因此数列的通项公式为.275180qq2q 12a na2nna （2）由（1）知，22122111111()loglog(21)(21)2 2121n anbaannnn''.11111111(1)(1)2335212122121nnTnnnn18.（12 分）经调查，个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正3常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：其中：，.1221nii i ni ix ynxy b xnx aybx8 2117232i ix8147384ii ix y（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程.（yxybxa，的值精确到） ab0.01（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的倍，则为血压正常人群；收缩压为标0.91.06:准值的倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的倍，则为中度1.061.12:1.121.20:高血压人群；收缩压为标准值的倍及以上，则为高度高血压人群.一位收缩压为1.20的岁的老人，属于哪类人群？180mmHg70【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）画出散点图如图：''（2），2832384248525862458x，114 118 122 127 129 135 140 1471298y，81 8 221473848 45 1291180.91172328 45129ii ii ix ynxy b xnx .回归直线方程为.1290.91 4588.05aybx0.9188.05yx（3）根据回归直线方程的预测，年龄为岁的老人标准收缩压约为（） ，700.91 7088.05151.75mmHg，收缩压为的岁老人为中度高血压人群.1801.19151.75180mmHg7019.（12 分）已知椭圆：，其短轴为，离心率为，双曲线E22221(0)xyabab41e（，）的渐近线为，离心率为，且.22 1xy mn0m 0n yx 2e121e e（1）求椭圆的方程；E''（2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于，两点，EF(4,0)G0EMN设直线和的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；FMFN1k2k12kk若不是定值，请说明理由.【答案】 （1）；（2）见解析.22 184xy【解析】 （1）由题意可知：，双曲线的离心率，24b 2b 1n m212nem则椭圆的离心率为，椭圆的离心率，则.12 2e 212212cbeaa2 2a 椭圆的标准方程：.22 184xy（2）设直线的方程为，MN(4)(0)yk xk22(4)28yk xxy 消去整理得：，设，y2222(12)163280kxk xk11( ,)M x y22(,)N xy则，212216 21kxxk2122328 21kx xk1212 12 1212(4)(4) 2222yyk xk xkkxxxx122112121212(4)(2)(4)(2)26() 16 (2)(2)(2)(2)xxxxx xxxkkxxxx将，212216 21kxxk2122328 21kx xk代入上式得，即.121226() 160x xxx120kk20.（12 分）在四棱锥中，底面四边形中，PABCDABCD/ /ADBCADBC;中，平面平面.ADDCPADPAPD60APDPAD PCD''（1）证明：平面；AB PCD（2）若，为线段的中点，求三棱锥的体积.4AB QPBQPCD【答案】 （1）见解析；（2）.8 3 3Q PCDV【解析】 （1）由，可知，四边形为为正方形，/ /ADBCADBCADBCABCD由中，所以为为等边三角形.取得中点，PADPAPD60APDPADPDO连接，因为为等边三角形，所以，AOPADAOPD又因为平面，平面平面，所以平面，AO PADPADPCDAO PCD因为平面，所以，因为底面为正方形，所以，CD PCDAOCDABCDCDAD因为，所以平面，因为，所以平面.AOADACD PAD/ /ABCDAB PAD（2）由（1）得平面，所以到平面的距离，AO PCDAPCD2 3dAO因为底面为正方形，所以，ABCD/ /ABCD又因为平面，所以平面，AB PCD/ /ABPCD所以，两点到平面的距离相等，均为，ABPCDd又为线段的中点，所以到平面的距离，QPBQPCD32dh 由（1）知，平面，因为平面，所以，CD PADPD PADCDPD所以.1118 34 433323Q PCDPCDVSh 21.（12 分）已知函数，为自然对数的底2( )12xaf xxex1a 2.718e 数.（1）当时，判断零点个数并求出零点0a ( )f x''（2）若函数存在两个不同的极值点，求实数的取值范围.( )f x1x2xa【答案】 （1）只有一个零点，零点为；（2）.( )f x001a【解析】 （1）由题知：，令，( )1xfxeax ( )1xg xeax ( )xg xae当，所以在上单调递减，0a ( )0g x( )fx(,) 因为，所以在上单调递增，在单调递减，(0)0f ( )f x(,0)(0,)所以，故只有一个零点，零点为.( )(0)0f xf( )f x0（2）由（1）知：不合题意，0a 当时，因为，；，；01a(,ln )xa ( )0g x(ln ,)a ( )0g x又因为，所以；(0)0f (ln )0fa又因为，因为函数，11()0afea 1( )lnaaa22111( )0aaaaa，(0,1)a所以，及，所以存在，满足，( )(1)10a 1lnaa11(,ln )xaa 1()0f x所以，；，；1(,)xx ( )0fx1( ,0)xx( )0fx(0,)x( )0fx此时存在两个极值点，符合题意.( )f x1x0当时，因为，；，；1a (,0)x ( )0g x(0,)x( )0g x所以；所以，在上单调递减，( )(0)0g xg( )0fx( )f x(,) 所以无极值点，不合题意.综上可得：.( )f x01a请请考考生生在在 22、23 题题中中任任选选一一题题作作答答 ,如如果果多多做做 ,则则按按所所做做的的第第一一题题计计分分。【选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程】22.（10 分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标xOyOx系，曲线，的极坐标方程分别为，.1C2C2sincos()24''（1）求和交点的极坐标；1C2C（2）直线 的参数方程为：（ 为参数） ，直线 与轴的交点为，且与l322 1 2xtyt tlxP交于，两点，求的值.1CABPAPB【答案】 （1），；（2）.(2,)2( 2,)4 4PAPB【解析】 （1）由，极坐标方程分别为，.1C2C2sincos()24化为平面直角坐标系方程分为，.22(1)1xy20xy得交点坐标为，.即和交点的极坐标分别为，.(0,2)(1,1)1C2C(2,)2( 2,)4（2）把直线 的参数方程：（ 为参数） ，l322 1 2xtyt t代入，得，22(1)2xy2231( 2)(1)122tt 即，所以.2(2 31)40tt1 24t t 4PAPB【选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲】23.（10 分）已知函数，.( )13f xxx 1x （1）求不等式的解集；( )5f x （2）若的最小值为，正数，满足，求的最小值.( )f xnab22nabab24ab【答案】 （1）；（2）.712xx 2【解析】 （1）根据题意，函数，.( )13f xxx 1x ''若，则有或，解得，( )5f x 1 35 13xx x 135 3xx x 712x 故原不等式的解集为.712xx （2）函数，分析可得的最小值为，即；4, 13( )1322,3xf xxxxx ( )f x44n 则正数，满足，即，ab82abab11148ab.即的最小值为1124(24 ) ()11224844abababababbab a 24ab2