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特殊的四边形 压轴题题 一解答题（共 30 小题）1已知，正方形 ABCD 中，MAN=45，MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB、DC（或它们的延长线）于点 M、N，AHMN 于点 H（1）如图，当MAN 绕点 A 旋转到 BM=DN 时，请你直接写出 AH 与 AB 的数量关系：；（2）如图，当MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时，（1）中发现的 AH 与 AB 的数量关系还成立吗如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图，已知MAN=45，AHMN 于点 H，且 MH=2，NH=3，求 AH 的长（可利用（2）得到的结论）2如图，在 ABCD 中，BC=2AB=4，点 E、F 分别是 BC、AD 的中点（1）求证：ABECDF；（2）当四边形 AECF 为菱形时，求出该菱形的面积 3如图，在ABC 中，D 是 BC 边上的一点，E 是 AD 的中点，过 A 点作 BC 的平行线交 CE的延长线于 F，且 AF=BD，连接 BF（1）求证：D 是 BC 的中点（2）如果 AB=AC，试判断四边形 AFBD 的形状，并证明你的结论 4已知在 RtABC 中，ACB=90，现按如下步骤作图：分别以 A，C 为圆心，a 为半径（aAC）作弧，两弧分别交于 M，N 两点；过 M，N 两点作直线 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E；将ADE 绕点 E 顺时针旋转 180，设点 D 的像为点 F（1）请在图中直线标出点 F 并连接 CF；（2）求证：四边形 BCFD 是平行四边形；（3）当B 为多少度时，四边形 BCFD 是菱形 5如图，在矩形 ABCD 中，AB=5，AD=3，点 P 是 AB 边上一点（不与 A，B 重合），连接 CP，过点 P 作 PQCP 交 AD 边于点 Q，连接 CQ（1）当CDQCPQ 时，求 AQ 的长；（2）取 CQ 的中点 M，连接 MD，MP，若 MDMP，求 AQ 的长 6正方形 ABCD 和正方形 AEFG 有公共顶点 A，将正方形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转，记旋转角DAG=，其中 0180，连结 DF，BF，如图（1）若=0，则 DF=BF，请加以证明；（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由 7如图正方形 ABCD 中，E 为 AD 边上的中点，过 A 作 AFBE，交 CD 边于 F，M 是 AD 边上一点，且有 BM=DM+CD（1）求证：点 F 是 CD 边的中点；（2）求证：MBC=2ABE 8如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、AB 上两点，且 BE=BF，过点 B 作 AE 的垂线交 AC 于点 G，过点 G 作 CF 的垂线交 BC 于点 H 延长线段 AE、GH 交于点 M（1）求证：BFC=BEA；（2）求证：AM=BG+GM 9如图，已知矩形 ABCD，AD=4，CD=10，P 是 AB 上一动点，M、N、E 分别是 PD、PC、CD的中点（1）求证：四边形 PMEN 是平行四边形；（2）请直接写出当 AP 为何值时，四边形 PMEN 是菱形；（3）四边形 PMEN 有可能是矩形吗若有可能，求出 AP 的长；若不可能，请说明理由 10如图，已知正方形 ABCD，把边 DC 绕 D 点顺时针旋转 30到 DC处，连接 AC，BC，CC，写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程 11如图，在正方形 ABCD 中，点 E、点 F 分别在边 BC、DC 上，BE=DF，EAF=60（1）若 AE=2，求 EC 的长；（2）若点 G 在 DC 上，且AGC=120，求证：AG=EG+FG 12如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O点 E 是线段 DO 上一点，连接 CE点 F 是OCE 的平分线上一点，且BFCF 与 CO 相交于点 M点 G 是线段 CE 上一点，且 CO=CG（1）若 OF=4，求 FG 的长；（2）求证：BF=OG+CF 15如图，正方形 ABCD 中，M 为 BC 上除点 B、C 外的任意一点，AMN 是等腰直角三角形，斜边 AN 与 CD 交于点 F，延长 AN 与 BC 的延长线交于点 E，连接 MF、CN（1）求证：BM+DF=MF；（2）求NCE 的度数 16如图，在菱形 ABCD 中，AB=2，DAB=60，点 E 是 AD 边的中点，点 M 是 AB 边上的一个动点（不与点 A 重合），延长 ME 交 CD 的延长线于点 N，连接 MD，AN（1）求证：四边形 AMDN 是平行四边形（2）当 AM 的值为何值时，四边形 AMDN 是矩形请说明理由 17如图，ABC 中，AB=AC，AD 是ABC 外角的平分线，已知BAC=ACD（1）求证：ABCCDA；（2）若B=60，求证：四边形 ABCD 是菱形 18如图，在ABC 中，AB=AC，B=60，FAC、ECA 是ABC的两个外角，AD 平分FAC，CD 平分ECA 求证：四边形 ABCD 是菱形 19如图，在四边形ABCD 中，AB=AD，CB=CD，E 是 CD 上一点，BE 交 AC 于 F，连接 DF（1）证明：BAC=DAC，AFD=CFE（2）若 ABCD，试证明四边形 ABCD 是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E 点的位置，使得 EFD=BCD，并说明理由 20如图，ABC 中，AB=AC，AD 是BAC 的角平分线，点 O 为 AB 的中点，连接 DO 并延长到点 E，使 OE=OD，连接 AE，BE（1）求证：四边形 AEBD 是矩形；（2）当ABC 满足什么条件时，矩形 AEBD 是正方形，并说明理由 21如图，ABC 中，点 O 是边 AC 上一个动点，过 O 作直线 MNBC设 MN 交ACB 的平分线于点 E，交ACB 的外角平分线于点F（1）求证：OE=OF；（2）若 CE=12，CF=5，求 OC 的长；（3）当点 O 在边 AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形并说明理由 22如图，过正方形ABCD 的顶点 D 作 DEAC 交 BC 的延长线于点 E（1）判断四边形ACED 的形状，并说明理由；（2）若 BD=8cm，求线段 BE 的长 23如图，菱形ABCD 中，E 是 AD 中点，EFAC 交 CB 的延长线于点 F（1）DE 和 BF 相等吗请说明理由（2）连接 AF、BE，四边形 AFBE 是平行四边形吗说明理由 24如图 1，菱形 ABCD 中，点 E、F 分别为 AB、AD 的中点，连接 CE、CF（1）求证：CE=CF；（2）如图 2，若 H 为 AB 上一点，连接 CH，使CHB=2ECB，求证：CH=AH+AB 25如图，四边形 ABCD 是菱形，E 是 BD 延长线上一点，F 是 DB 延长线上一点，且 DE=BF，连接 AF、CF（1）请你猜想图中与点 F 有关的一个正确结论；（2）证明你的猜想 26如图，菱形 ABCD 中，点 E、M 在 AD 上，且 CD=CM，点 F 为 AB 上的点，且ECF=B（1）若菱形 ABCD 的周长为 8，且D=，求MCD 的面积；（2）求证：BF=EFEM 27如图，在菱形 ABCD 中，B=60，点 E、F 分别在边 BC、CD 上（1）若 AB=4，试求菱形 ABCD 的面积；（2）若AEF=60，求证：AB=CE+CF 28（1）人教版八年级数学下册 92 页第 14 题是这样叙述的：如图 1，ABCD 中，过对角线BD 上一点 P 作 EFBC，HGAB，图中哪两个平行四边形的面积相等为什么 根据习题背景，写出面积相等的一对平行四边形的名称为 和 ；（2）如图 2，点 P 为 ABCD 内一点，过点 P 分别作 AD、AB 的平行线分别交 ABCD 的四边于点 E、F、G、H已知 SBHPE=3，SPFDG=5，则 SPAC=；（3）如图 3，若五个平行四边形拼成一个含 30内角的菱形 EFGH（不重复、无缝隙）已知四个平行四边形面积的和为 14，四边形 ABCD 的面积为 11，则菱形EFGH 的周长为 29将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合，然后展开，折痕为 EF，连接 AE、CF，求证：四边形 AECF 是菱形 30如图，ABC 中，BAC=90，点 D 是 BC 的中点，AEDC，ECAD，连接 DE 交 AC 于点 O，（1）求证：四边形 ADCE 是菱形；（2）若 AB=AO，求 tanOCE 的值 2017 年 11 月 04 日数学 1 的初中数学组卷参考答案与试题解析 一解答题（共 30 小题）1已知，正方形 ABCD 中，MAN=45，MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB、DC（或它们的延长线）于点 M、N，AHMN 于点 H（1）如图，当MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：AH=AB；（2）如图，当MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时，（1）中发现的 AH 与 AB 的数量关系还成立吗如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图，已知MAN=45，AHMN 于点 H，且 MH=2，NH=3，求 AH 的长（可利用（2）得到的结论）【分析】（1）由三角形全等可以证明 AH=AB，（2）延长 CB 至 E，使 BE=DN，证明AEMANM，能得到 AH=AB，（3）分别沿 AM、AN 翻折AMH 和ANH，得到ABM 和AND，然后分别延长 BM 和 DN 交于点 C，得正方形 ABCE，设 AH=x，则 MC=x2，NC=x3，在 RtMCN 中，由勾股定理，解得x【解答】解：（1）如图AH=AB（2）数量关系成立如图，延长 CB 至 E，使 BE=DN ABCD 是正方形，AB=AD，D=ABE=90，在 RtAEB 和 RtAND 中，RtAEBRtAND，AE=AN，EAB=NAD，EAM=NAM=45，在AEM 和ANM 中，AEMANMSAEM=SANM，EM=MN，AB、AH 是AEM 和ANM 对应边上的高，AB=AH（3）如图分别沿 AM、AN 翻折AMH 和ANH，得到ABM 和AND，BM=2，DN=3，B=D=BAD=90 分别延长 BM 和 DN 交于点 C，得正方形 ABCD，由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD 设 AH=x，则 MC=x2，NC=x3，在 RtMCN 中，由勾股定理，得 MN2=MC2+NC2 52=（x2）2+（x3）2（6 分）解得 x1=6，x2=1（不符合题意，舍去）AH=6【点评】主要考查正方形的性质和三角形全等的判断，难度中等 2如图，在 ABCD 中，BC=2AB=4，点 E、F 分别是 BC、AD 的中点（1）求证：ABECDF；（2）当四边形 AECF 为菱形时，求出该菱形的面积【分析】第（1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用 SAS 证全等 第（2）要求菱形的面积，在第（1）问的基础上很快知道ABE 为等边三角形这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得【解答】（1）证明：在 ABCD 中，AB=CD，BC=AD，ABC=CDA 又BE=EC=BC，AF=DF=AD，BE=DFABECDF（2）解：四边形 AECF 为菱形，AE=EC又点 E 是边 BC 的中点，BE=EC，即 BE=AE 又 BC=2AB=4，AB=BC=BE，AB=BE=AE，即ABE 为等边三角形，ABCD 的 BC 边上的高为 2sin60=，菱形 AECF 的面积为 2【点评】考查了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力（1）用 SAS 证全等；（2）若四边形 AECF 为菱形，则 AE=EC=BE=AB，所以ABE 为等边三角形 3如图，在ABC 中，D 是 BC 边上的一点，E 是 AD 的中点，过 A 点作 BC 的平行线交 CE的延长线于 F，且 AF=BD，连接 BF（1）求证：D 是 BC 的中点（2）如果 AB=AC，试判断四边形 AFBD 的形状，并证明你的结论【分析】（1）因为 AFBC，E 为 AD 的中点，即可根据 AAS 证明AEFDEC，故有 BD=DC；（2）可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定【解答】（1）证明：AFBC，AFE=DCE（1 分）E 是 AD 的中点，AE=DE（2 分）AEF=DEC，AEFDEC（3 分）AF=DC，AF=BDBD=CD，D 是 BC 的中点；（4 分）（2）四边形 AFBD 是矩形，（5 分）证明：AB=AC，D 是 BC 的中点，ADBC，ADB=90，（6 分）AF=BD，AFBC，四边形 AFBD 是平行四边形，（7 分）四边形 AFBD 是矩形【点评】本题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质要熟知这些判定定理才会灵活运用，根据性质才能得到需要的相等关系 4已知在 RtABC 中，ACB=90，现按如下步骤作图：分别以 A，C 为圆心，a 为半径（aAC）作弧，两弧分别交于 M，N 两点；过 M，N 两点作直线 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E；将ADE 绕点 E 顺时针旋转 180，设点 D 的像为点 F（1）请在图中直线标出点 F 并连接 CF；（2）求证：四边形 BCFD 是平行四边形；（3）当B 为多少度时，四边形 BCFD 是菱形【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）首先根据作图得到 MN 是 AC 的垂直平分线，然后得到 DE 等于 BC 的一半，从而得到DE=EF，即 DF=BC，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可；（3）得到 BD=CB 后利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可【解答】解：（1）如图所示：【解答】解：（1）CDQCPQ，DQ=PQ，PC=DC，AB=DC=5，AD=BC=3，PC=5，在 RtPBC 中，PB=4，PA=ABPB=54=1，设 AQ=x，则 DQ=PQ=3x，在 RtPAQ 中，（3x）2=x2+12，解得 x=，AQ=（2）方法 1，如图 2，过 M 作 EFCD 于 F，则 EFAB，MDMP，PMD=90，PME+DMF=90，FDM+DMF=90，MDF=PME，M 是 QC 的中点，DM=QC，PM=QC，DM=PM，在MDF 和PME 中，MDFPME（AAS），ME=DF，PE=MF，EFCD，ADCD，EFAD，QM=MC，DF=CF=DC=，ME=，ME 是梯形 ABCQ 的中位线，2ME=AQ+BC，即 5=AQ+3，AQ=2 方法 2、点 M 是 RtCDQ 的斜边 CQ 中点，DM=CM，DMQ=2DCQ，点 M 是 RtCPQ 的斜边的中点，MP=CM，PMQ=2PCQ，DMP=90，2DCQ+2PCQ=90，PCD=45，BCP=9045=45，BPC=45=BCP，BP=BC=3，CPQ=90，APQ=1809045=45，AQP=9045=45=APQ，AQ=AP=2【点评】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边中线的性质，梯形的中位线的性质等，（2）求得MDFPME 是本题的关键 6正方形 ABCD 和正方形 AEFG 有公共顶点 A，将正方形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转，记旋转角DAG=，其中0180，连结DF，BF，如图（1）若=0，则 DF=BF，请加以证明；（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由【分析】（1）利用正方形的性质证明DGFBEF 即可；（2）当=180时，DF=BF（3）利用正方形的性质和DGFBEF 的性质即可证得是真命题【解答】（1）证明：如图 1，四边形 ABCD 和四边形 AEFG 为正方形，AG=AE，AD=AB，GF=EF，DGF=BEF=90，DG=BE，在DGF 和BEF 中，DGFBEF（SAS），DF=BF；（2）解：图形（即反例）如图 2，（3）解：补充一个条件为：点 F 在正方形 ABCD 内；即：若点 F 在正方形 ABCD 内，DF=BF，则旋转角=0【点评】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，旋转的性质，命题和定理，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键，注意利用正方形的性质找三角形全等的条件 7如图正方形 ABCD 中，E 为 AD 边上的中点，过 A 作 AFBE，交 CD 边于 F，M 是 AD 边上一点，且有 BM=DM+CD（1）求证：点 F 是 CD 边的中点；（2）求证：MBC=2ABE【分析】（1）由正方形得到 AD=DC=AB=BC，C=D=BAD=90，ABCD，根据 AFBE，求出AEB=AFD，推出BAEADF，即可证出点 F 是 CD 边的中点；（2）延长 AD 到 G 使 BM=MG，得到 DG=BC=DC，证FDGFCB，求出 B，F，G 共线，再证ABECBF，得到ABE=CBF，根据三角形的外角性质即可求出结论（1）证明：正方形 ABCD，AD=DC=AB=BC，C=D=BAD=90，ABCD，AFBE，AOE=90，EAF+AEB=90，EAF+BAF=90，AEB=BAF，ABCD，BAF=AFD，AEB=AFD，BAD=D，AB=AD，BAEADF，AE=DF，E 为 AD 边上的中点，点 F 是 CD 边的中点；（2）证明：延长 AD 到 G使 MG=MB连接 FG，FB，BM=DM+CD，DG=DC=BC，GDF=C=90，DF=CF，FDGFCB（SAS），DFG=CFB，B，F，G 共线，E 为 AD 边上的中点，点 F 是 CD 边的中点，AD=CDAE=CF，AB=BC，C=BAD=90，AE=CF，ABECBF，ABE=CBF，AGBC，AGB=CBF=ABE，MBC=AMB=2AGB=2GBC=2ABE，MBC=2ABE【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质，正方形的性质等知识点，综合运用性质进行证明是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度 8如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、AB 上两点，且 BE=BF，过点 B 作 AE 的垂线交 AC 于点 G，过点 G 作 CF 的垂线交 BC 于点 H 延长线段 AE、GH交于点 M（1）求证：BFC=BEA；（2）求证：AM=BG+GM【分析】（1）根据正方形的四条边都相等，AB=BC，又 BE=BF，所以ABE 和CBF 全等，再根据全等三角形对应角相等即可证出；（2）连接 DG，根据正方形的性质，AB=AD，DAC=BAC=45，AG 是公共边，所以ABG和ADG 全等，根据全等三角形对应边相等，BG=DG，对应角相等2=3，因为 BGAE，所以BAE+2=90，而BAE+4=90，所以2=4，因此3=4，根据 GMCF 和（1）中全等三角形的对应角相等可以得到1=BFC=2，在ADG 中，DGC=3+45，所以DGM 三点共线，因此ADM 是等腰三角形，AM=DM=DG+GM，所以 AM=BG+GM 证明：（1）在正方形 ABCD 中，AB=BC，ABC=90，在ABE 和CBF 中，ABECBF（SAS），BFC=BEA；（2）连接 DG，在ABG 和ADG 中，ABGADG（SAS），BG=DG，2=3，BGAE，BAE+2=90，BAD=BAE+4=90，2=3=4，GMCF，BCF+1=90，又BCF+BFC=90，1=BFC=2，1=3，在ADG 中，DGC=3+45，DGC 也是CGH 的外角，D、G、M 三点共线，3=4（已证），AM=DM，DM=DG+GM=BG+GM，AM=BG+GM【点评】本题综合性较强，主要考查正方形的性质，三角形全等的判定，三角形全等的性质，第二问中，证明三点共线是解题的关键 9如图，已知矩形 ABCD，AD=4，CD=10，P 是 AB 上一动点，M、N、E 分别是 PD、PC、CD的中点（1）求证：四边形 PMEN 是平行四边形；（2）请直接写出当 AP 为何值时，四边形 PMEN 是菱形；（3）四边形 PMEN 有可能是矩形吗若有可能，求出 AP 的长；若不可能，请说明理由【分析】（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明（2）当 DP=CP 时，四边形 PMEN 是菱形，P 是 AB 的中点，所以可求出 AP 的值（3）四边形 PMEN 是矩形的话，DPC 必需为 90，判断一下DPC 是不是直角三角形就行 解：（1）M、N、E 分别是 PD、PC、CD 的中点，ME 是 PC 的中位线，NE 是 PD 的中位线，MEPC，ENPD，四边形 PMEN 是平行四边形；（2）当 AP=5 时，在 RtPAD 和 RtPBC 中，PADPBC，PD=PC，M、N、E 分别是 PD、PC、CD 的中点，NE=PM=PD，ME=PN=PC，PM=ME=EN=PN，四边形 PMEN 是菱形；（3）四边形 PMEN 可能是矩形若四边形 PMEN 是矩形，则DPC=90设 PA=x，PB=10 x，DP=，CP=DP2+CP2=DC2 16+x2+16+（10 x）2=102 x210 x+16=0 x=2 或 x=8 故当 AP=2 或 AP=8 时，四边形 PMEN 是矩形【点评】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性质，知道矩形的四个角都是直角，对边相等等性质 10如图，已知正方形 ABCD，把边 DC 绕 D 点顺时针旋转 30到 DC处，连接 AC，BC，CC，写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程【分析】利用旋转的性质以及正方形的性质进而得出等腰三角形，再利用全等三角形的判定与性质判断得出【解答】解；图中的等腰三角形有：DCC，DCA，CAB，CBC，理由：四边形 ABCD 是正方形，AB=AD=DC，BAD=ADC=90，DC=DC=DA，DCC，DCA 为等腰三角形，CDC=30，ADC=90，ADC=60，ACD 为等边三角形，AC=AD=AB，CAB 为等腰三角形，CAB=9060=30，CDC=CAB，在DCC和ABC中，DCCABC（SAS），CC=CB，BCC为等腰三角形【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，得出ACD 为等边三角形是解题关键 11如图，在正方形 ABCD 中，点 E、点 F 分别在边 BC、DC 上，BE=DF，EAF=60（1）若 AE=2，求 EC 的长；（2）若点 G 在 DC 上，且AGC=120，求证：AG=EG+FG【分析】（1）连接 EF，根据正方形的性质求出 AB=AD，B=D，然后利用“边角边”证明ABE 和ADF 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AE=AF，从而得到AEF 是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得 EF，再判断出CEF 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的直角边与斜边的关系求解即可；（2）方法一：根据邻补角的定义求出AGF=60，然后判断出点 A、E、G、F 四点共圆，从而得到AGE=AFE=60，再求出CGE=60，延长 GE 交 AB 的延长线于 H，根据两直线平行，内错角相等可得H=CGE=60，再求出GAF=HAE，然后利用“角角边”证明AFG 和AEH 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AG=AH，FG=EH，从而得证；方法二：在 AG 上截取 GH=FG，可得FGH 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得 FH=FG，FHG=60，再求出AFH=EFG，然后利用“边角边”证明AFH 和EFG 全等，根据全等三角形对应边相等 AH=GE，然后证明即可【解答】（1）解：如图，连接 EF，在正方形 ABCD 中，AB=AD，B=D，在ABE 和ADF 中，ABEADF（SAS），AE=AF，EAF=60，AEF 是等边三角形，EF=AE=2，BE=DF，BC=CD，BCBE=CDDF，即 CE=CF，CEF 是等腰直角三角形，EC=EF=2=；（2）方法一：证明：AGC=120，AGF=180AGC=180120=60，又AEF 是等边三角形，（已证）AEF=60，点 A、E、G、F 四点共圆，AGE=AFE=60，CGE=AGCAGE=12060=60，如图（2）延长 GE 交 AB 的延长线于 H，ABCD，H=CGE=60，H=AGF，又GAF+EAG=EAF=60，HAE+EAG=GAB=60，GAF=HAE，在AFG 和AEH 中，AFGAEH（AAS），AG=AH，FG=EH，AGE=60，AGH 是等边三角形，AH=GH=EG+EH=EG+FG，即 AG=EG+FG 方法二：如图（2）在 AG 上截取 GH=FG，AGC=120，AGF=60，FGH 是等边三角形，FH=FG，FHG=60，AEF 是等边三角形，AFE=60，AFE=GFH=60，AFEEFH=GFHEFH，即AFH=EFG，在AFH 和BFG 中，AFHEFG（SAS），AH=GE，AG=AH+GH=EG+FG，即 AG=EG+FG【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，（2）先求出四点共圆，然后求出AGE=AFE=60，然后作辅助线构造出全等三角形是解题的关键 12如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O点 E 是线段 DO 上一点，连接 CE点 F 是OCE 的平分线上一点，且BFCF 与 CO 相交于点 M点 G 是线段 CE 上一点，且 CO=CG（1）若 OF=4，求 FG 的长；（2）求证：BF=OG+CF【分析】（1）根据条件证明OCFGCF，由全等的性质就可以得出OF=GF 而得出结论；（2）在 BF 上截取 BH=CF，连接 OH通过条件可以得出OBHOCF可以得出 OH=OF，从而得出 OGFH，OHFG，进而可以得出四边形 OHFG 是平行四边形，就可以得出结论【解答】（1）解：CF 平分OCE，OCF=ECFOC=CG，CF=CF，在OCF 和GCF中，OCFGCF（SAS）FG=OF=4，即 FG 的长为 4（2）证明：在 BF 上截取 BH=CF，连接 OH 四边形 ABCD 为正方形，ACBD，DBC=45，BOC=90，OCB=180BOCDBC=45OCB=DBCOB=OC BFCF，BFC=90OBH=180BOCOMB=90OMB，OCF=180BFCFMC=90FMC，且OMB=FMC，OBH=OCF 在OBH 和OCF 中，OBHOCF（SAS）OH=OF，BOH=COF BOH+HOM=BOC=90，COF+HOM=90，即HOF=90 OHF=OFH=（180HOF）=45 OFC=OFH+BFC=135 OCFGCF，GFC=OFC=135，OFG=360GFCOFC=90FGO=FOG=（180OFG）=45 GOF=OFH，HOF=OFG OGFH，OHFG，四边形 OHFG 是平行四边形 OG=FH BF=FH+BH，BF=OG+CF【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时采用截取法作辅助线是关键 13（1）如图，两个正方形的边长均为3，求三角形 DBF 的面积（2）如图，正方形 ABCD 的边长为 3，正方形 CEFG 的边长为 1，求三角形 DBF 的面积（3）如图，正方形 ABCD 的边长为 a，正方形 CEFG 的边长为 b，求三角形 DBF 的面积 【分析】（1）三角形的面积为底高，可看出三角形 DBF 的底和高都是 3，可求出解（2）正方形 ABCD 的面积加上以 CD 为长 CE 为宽的长方形的面积减去 ABD，BEF，DGF的面积即可求出解（3）两个正方形的面积减去ABD，BEF，GDF 的面积可求出解【解答】解：（1）三角形 DBF 的面积：33=（2 分）（2）三角形 DBF 的面积：32+3133（3+1）121=（3）三角形 DBF 的面积：a2+b2aa（a+b）b（ba）b=（2 分）结论是：三角形 DBF 的面积的大小只与a 有关，与 b 无关【点评】本题考查读图的能力，关键是从图中看出三角形DBF 的面积由哪些图形相加减得到 14如图，正方形 ABCD 中，E 是 BD 上一点，AE 的延长线交 CD 于 F，交 BC 的延长线于 G，M 是 FG 的中点（1）求证：1=2；ECMC（2）试问当1 等于多少度时，ECG 为等腰三角形请说明理由【分析】（1）根据正方形的对角线平分一组对角可得ADE=CDE，然后利用边角边定理证明ADE 与CDE 全等，再根据全等三角形对应角相等即可证明；根据两直线平行，内错角相等可得1=G，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 MC=MG，然后据等边对等角的性质得到G=MCG，所以2=MCG，然后根据FCG=90即可证明MCE=90，从而得证；（2）根据（1）的结论，结合等腰三角形两底角相等G=GEC，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可求解（1）证明：四边形 ABCD 是正方形，ADE=CDE，AD=CD，在ADE 与CDE，ADECDE（SAS），1=2，ADBG（正方形的对边平行），1=G，M 是 FG 的中点，MC=MG=MF，G=MCG，又1=2，2=MCG，FCG=MCG+FCM=90，ECM=2+FCM=90，ECMC；（2）解：1=30时，ECG 为等腰三角形理由如下：ECG 为等腰三角形，G=CEG，又1=2=G，在ECG 中，G+CEG+2+FCG=180，即 31+90=180，解得1=30 故答案为：1=30时，ECG 为等腰三角形【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，是综合题，但难度不大，细心分析即可找出解题思路 15如图，正方形 ABCD 中，M 为 BC 上除点 B、C 外的任意一点，AMN 是等腰直角三角形，斜边 AN 与 CD 交于点 F，延长 AN 与 BC 的延长线交于点 E，连接 MF、CN（1）求证：BM+DF=MF；（2）求NCE 的度数【分析】（1）截长补短类型题目，延长 CD 至 G 使 DG=BM，证明ADGABM，将 BM+DF 转化到一条线段 GF 上，再证明 MF=GF；（2）过点 N 作 NHEB，证MHNABM，再根据线段间的关系得到 NH=HC，从而得到CHN是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得NCE=45【解答】（1）证明：延长 CD 至 G 使 DG=BM，在ADG 和ABM 中，ADGABM（SAS），AG=AM，又AMN 为等腰直角三角形，MAN=45，FAD+MAB=45，DAG=BAM，GAF=FAD+DAG=45，GAF=MAN，在在AFG 和AFM 中，AFGAFM（SAS），MF=GF，又GF=GD+DF，GD=BM，BM+DF=MF；（2）解：过点 N 作 NHEB 于点 H，AMB=180AMNNMH=90NMH=MNH，在ABMMHN 中，ABMMHN（AAS），AB=MH，BM=NH，CH=MHMC=ABMC=BCMC=BM=NH，CHN 是等腰直角三角形，NCE=NCG=45【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形，然后确定出三角形全等的条件是解题的关键，也是本题的难点 16如图，在菱形 ABCD 中，AB=2，DAB=60，点 E 是 AD 边的中点，点 M 是 AB 边上的一个动点（不与点 A 重合），延长 ME 交 CD 的延长线于点 N，连接 MD，AN（1）求证：四边形 AMDN 是平行四边形（2）当 AM 的值为何值时，四边形 AMDN 是矩形请说明理由【分析】（1）根据菱形的性质可得 NDAM，再根据两直线平行，内错角相等可得NDE=MAE，DNE=AME，根据中点的定义求出 DE=AE，然后利用“角角边”证明NDE 和MAE全等，根据全等三角形对应边相等得到 ND=MA，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；（2）连接 BD，求出ABD 是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得 DMAB，然后根据矩形的定义证明（1）证明：四边形 ABCD 是菱形，NDAM，NDE=MAE，DNE=AME，点 E 是 AD 中点，DE=AE，在NDE 和MAE 中，NDEMAE（AAS），ND=MA，四边形 AMDN 是平行四边形；ABCD，四边形 ABCD 是平行四边形，B=60，AB=AC，ABC 是等边三角形，AB=BC，平行四边形 ABCD 是菱形【点评】考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定，菱形的判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题目比较好，综合性也比较强 18如图，在ABC 中，AB=AC，B=60，FAC、ECA 是ABC 的两个外角，AD 平分FAC，CD 平分ECA求证：四边形 ABCD 是菱形【分析】根据平行四边形的判定方法得出四边形ABCD 是平行四边形，再利用菱形的判定得出【解答】证明：B=60，AB=AC，ABC 为等边三角形，AB=BC，ACB=60，FAC=ACE=120，BAD=BCD=120，B=D=60，四边形 ABCD 是平行四边形，AB=BC，平行四边形 ABCD 是菱形【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定和角平分线的性质等内容，注意菱形与平行四边形的区别，得出AB=BC 是解决问题的关键 19如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，E 是 CD 上一点，BE 交 AC 于 F，连接 DF（1）证明：BAC=DAC，AFD=CFE（2）若 ABCD，试证明四边形 ABCD 是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定 E 点的位置，使得EFD=BCD，并说明理由【分析】（1）首先利用 SSS 定理证明ABCADC 可得BAC=DAC，再证明ABFADF，可得AFD=AFB，进而得到AFD=CFE；（2）首先证明CAD=ACD，再根据等角对等边可得 AD=CD，再有条件 AB=AD，CB=CD 可得AB=CB=CD=AD，可得四边形 ABCD 是菱形；（3）首先证明BCFDCF 可得CBF=CDF，再根据 BECD 可得BEC=DEF=90，进而得到EFD=BCD（1）证明：在ABC 和ADC 中，ABCADC（SSS），BAC=DAC，在ABF 和ADF 中，ABFADF（SAS），AFD=AFB，AFB=CFE，AFD=CFE；（2）证明：ABCD，BAC=ACD，又BAC=DAC，CAD=ACD，AD=CD，AB=AD，CB=CD，AB=CB=CD=AD，四边形 ABCD 是菱形；（3）当 EBCD 时，即 E 为过 B 且和 CD 垂直时垂线的垂足，EFD=BCD，理由：四边形ABCD 为菱形，BC=CD，BCF=DCF，在BCF 和DCF 中，BCFDCF（SAS），CBF=CDF，BECD，BEC=DEF=90，BCD+CBE=CDF+EFD，EFD=BCD【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具 20如图，ABC 中，AB=AC，AD 是BAC 的角平分线，点 O 为 AB 的中点，连接 DO 并延长到点 E，使 OE=OD，连接 AE，BE（1）求证：四边形 AEBD 是矩形；（2）当ABC 满足什么条件时，矩形 AEBD 是正方形，并说明理由【分析】（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形 AEBD 是平行四边形，进而由等腰三角形的