章勾股定理全章教案.pdf

年 4 周 8 年级 班 第 3 节课时教案 新科题目 17.1 勾股定理1 教学 目标 知识目标:让学生通过观察、计算、猜测直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论 能力目标:1在学生充分观察、归纳、猜测、探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的过程中，开展合情推理能力，体会数形结合的思想 2在探索上述结论的过程中，开展学生归纳、概括和有条件地表达活动的过程和结论 感情、态度与价值观目标:1培养学生积极参与、合作交流的意识 2 在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气 重点 探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论，从而开展勾股定 理 难点 以直角三角形的边为边的正方形面积的计算 教具 多媒体，三角尺 教学方式 实验课 演示课 电教课 多媒体课 提 前 测 评 及 导 入 新 课 一、创设问题情境，引入新课 问题 1：在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦根据我国古算书?周髀算经?记载，在约公元前 1100 年，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五，你知道是为什么吗？问题 2：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高 3 米，消防队员取出 6.5 米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是 2.5 米，请问消防队能否进入三楼灭火？问题 3：我们再来看章头图，在下角的图案，它有什么意义？为什么选定它作为 2002 年在北京召开的国际数学大会的会徽？教学过程设计教学内容二、实际操作，探索直角三角形的三边关系 活动 1 问题 1：毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传 2500 年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来 原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他 谁知毕达哥拉斯突破恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了 同学们，我们也来观察下面图中的地面，看看你能发现什么？是否也和大哲学家有同样的发现呢？问题 2：你能发现以下图中等腰直角三角形 ABC，方法，根底知识归纳能力测评 教学过程有什么性质吗？问题 3：等腰直角三角形都有上述性质吗？活动 2 问题 1：等腰三角形有上述性质，其他的三角形也有这个性质吗？如以下图，每个小方格的面积均为 1，请分别计算出以下图中正方形 A、B、C，A、B、C 的面积，看看能得出什么结论 提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于虚线标出的正方形的面积减去四个直角三角形 问题 2：给出一个边长为 0.5，1.2，1.3，这种含小数的直角三角形，也满足上述结论吗？生：从图中不难观察出 A、B 两个正方形分别含有 4 个小方格和 9 个小方格；A、B两个正方形分别含有 9 个小方格和 25 个小方格 师生共析：如果将虚线标出的正方形 C 和 C周围的四个直角三角形分别沿斜边折叠进去，你会得出什么结论呢？正方形 C 的面积就等于 1+41223=13正方形 C的面积就等于 4+41235=34和前面的结论一样 师：很正确我们通过对 A、B、C，A、B、C几个正方形面积关系的分析可知：一般的以整数为边长的直角三角形两直角边的平方和也等于斜边的平方 设计教学内容，方法，根底知识归纳能力测评 一个边长为小数的直角三角形是否也有此结论？我们不妨设小方格的边长为 0.1，我们不妨在你准备好的方格纸上画出一个两直角边为 0.5，1.2 的直角三角形来进行验证 生：也有上述结论 师：这一结论，在国外就叫做“毕达哥拉斯定理，而在中国那么叫做“勾股定理而活动 1 中的问题 1 提到的“勾三，股四，弦五正是直角三角形三边关系的重要表达 勾股定理到底是谁最先发现的呢？我们可以自豪地说：是我们中国人最早发现的证据就是?周髀算经?，不仅如此，我们汉代的赵爽曾用 2002 年在北京召开的国际数学家大会的徽标的图案证明了此结论，也正因为为了纪念这一伟大的发现而采用了此图案作徽标下节课我们将要做更深入的研究 大哲学家毕达哥拉斯发现这一结论后，就已认识到，他的这个发现太重要了所以，按照当时的传统，他快乐地杀了整整一百头牛来庆贺 三、例题剖析 问题 1：小明的妈妈买了一部 29 英寸74 厘米的电视机小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有 58 厘米长和46 厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了 你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？问题 2：1如右图，一根旗杆在离地面 9m 处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m 处，旗杆折断之前有多高？2求斜边长 17cm，一条直角边长 15cm 的直角三角形的面积 问题 1：我们通常所说的 29 英寸和 74 厘米的电视机，是指其荧屏的对角线的长度，而不是其荧屏的长和宽，同时，荧屏的边框遮盖了一局部，所以实际测量存在一 教学过程设计 些误差 问题 2：1解：由勾股定理可求得旗杆断裂处到杆顶的长度是：22912=15m；15+9=24m 所以旗杆折断之前高为 24m 2解：另一直角边的长为221715=8cm，所以此直角三角形的面积为12815=60cm2 师：你能用直角三角形的三边关系解答活动 1 中的问题 2 请同学们在小组内讨论完成 四、课时小结 1掌握勾股定理及其应用；2会构造直角三角形，利用勾股定理理解简单应用题 能力测评题 作业 24 页练习1 课 后 反 思 年 4 周 年级 8 班 第 4 节课时教案 备课 评价 优 良 合格 不合格 教研组长意见 年 月 日 新科题目 17.1 勾股定理2 教学 目标 知识目标:1掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法 2运用勾股定理解决一些实际问题 能力目标:1经历用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力 2在拼图的过程中，鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识 感情、态度与价值观目标:1利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的一大奉献，借助此过程对学生进行爱国主义的教育 2经历拼图的过程，并从中获得学习数学的快乐，提高学习数学的兴趣 重点 经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值 难点 经历用不同的拼图方法证明勾股定理 教具 多媒体，三角尺 教学方式 实验课 演示课 电教课 多媒体课 提 前 测 评 及 导 入 新 课 问题：我们曾学习过整式的运算，其中平方差公式a+b a-b=a2-b2；完全平方公式ab2=a22ab+b2是非常重要的内容 谁还能记得当时这两个公式是如何推出的？师：你能类似的方法证明上一节猜测出的命题吗？教学过程设计一、探索研究 活动 1 我们已用数格子的方法发现了直角三角形三边关系，拼一拼，完成以下问题：1在一张纸上画 4 个与图4全等的直角三角形，并把它们剪下来 2用这 4 个直角三角形拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有以斜边 c 为边长的正方形，你能利用拼图的方法，面积之间的关系说明上节课关于直角三角形三边关系的猜测吗？教学内容，方法，根底知识归纳能力测评 (4)(5)3有人利用图4这 4 个直角三角形拼出了图5，你能用两种方法表示大正方形的面积吗？大正方形的面积可以表示为：_，又可以表示为_ 比照两种表示方法，你得到直角三角形的三边关系了吗？教师深入小组参与活动，倾听学生的交流，并帮助、指导学生完成任务，用计算面积的方法比拟得出直角三角形的三边关系 在本次活动中，教师应关注：能否通过拼图计算面积的方法得到直角三角形的三边关系 学生能否积极主动地参与拼图活动 生：我也拼出了图5，而且图5用两种方法表示大正方形的面积分别为 a+b2或 412ab+c2，由此可得a+b2=412ab+c2 化简得：a2+b2=c2 由于图4的直角三角形是任意的，因此 a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 生：我拼出了和这个同学不一样的图，如图 6 大正方形的边长是 c，小正方形的边长为 a-b，利用这个图形也可以说明勾股定理 因为大正方形的面积也 教学过程设计教学内容，方法，根底知识归纳有两种表示方法，既可以表示为 c2，又可以表示为12ab4+b-a2比照两种表示方法可得 c2=12ab4+b-a2化简得 c2=a2+b2，(6)同样得到了直角三角形的三边关系 师：这样就通过推理证实了命题 1 的正确性，我们把经过证明被确定为正确的命题叫做定理命题 1 与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理 我国古代的学者们对勾股定理的研究有许多重要成就，不仅在很久以前独立地发现了勾股定理，而且使用了许多巧妙的方法证明了它为了弘扬我国古人赵爽的证法，大家从中一定会领略到我国古代数学家的智慧 活动 2 图6这个图案和 3 世纪我国汉代的赵爽在注解?周髀算经?时给出的图案一模一 能力测评 教学过程设计 样，人们称它为“赵爽弦图，赵爽利用弦图证明命题 1 即勾股定理的根本思路如下，如图7 把边长为 a，b 的两个正方形连在一起，它的面积为 a2+b2，另一方面这个图形由四个全等的直角三角形和一个正方形组成把图7中左、右两个三角形移到图9所示的位置，就会形成一个 c 为边长的正方形 因为图7与图9都是由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，所以它们的面积相等 因此 a2+b2=c2 二、课时小结 你对本节内容有哪些认识？会构造直角三角形，并理解构造原理，深刻理解勾股定理的意义 能力测评题 年 周 年级 8 班 第 5 节课时教案 作业 28 页习题1 课 后 反 思 备课 评价 优 良 合格 不合格 教研组长意见 年 月 日 新科题目 17.1 勾股定理3 教学 目标 知识目标:能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题 能力目标:1经历将实际问题转化为直角三角形的数学模型过程，并能用勾股定理来解决此问题，开展学生的应用意识 2在解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，开展学生的实践能力和创新精神3在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识 感情、态度与价值观目标:1在用勾股定理探索实际问题的过程中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心2 在解决实际问题的过程中形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯 重点 将实际问题转化为直角三角形模型 难点 如何用解直角三角形的知识和勾股定理解决实际问题 教具 多媒体，三角尺 教学方式 实验课 演示课 电教课 多媒体课 提 前 测 评 及 导 入 新 课 问题：欲登 12 米高的建筑物，为完全需要，需使梯子底端离建筑物 5 米，至少需多长的梯子？由勾股定理可知，两直角边的长 a，b，就可以求出斜边 c 的长 由勾股定理可得 a2=c2-b2或 b2=c2-a2，由此可知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边，也就是说，在直角三角形中，两边就可求出第三边的长 教学过程设计教学内容，方法，根底知识归一、讲授新课 活动 1 问题：一个门框的尺寸如下图，一块长 3m，宽 2.2m 的薄木板能否从门框内通过？为什么？生：从题意可以看出，木板横着进，竖着进，都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过 生：在长方形 ABCD 中，对角线 AC 是斜着能通过的最大长度，求出 AC，再与木板的宽比拟，就能知道木板是否通过 师生共析：解：在 RtABC 中，根据勾股定理 AC2=AB2+BC2=12+22=52 因此 AC52.236 因为 AC木板的宽，所以木板可以从门框内通过 活动 2 问题：如图，一个 3m 长的梯子 AB，斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 AO 的距离为 2.5m，如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.5m，那么梯子底端 B 也外移 0.5m 吗？生：梯子底端 B 随着梯子顶端 A 沿墙下滑而外移到 D，即 BD 的长度就是梯子外 纳能力测评 教学过程设计教学内容，移的距离 观察图形，可以看到 BD=OD-OB，求 BD 可以先求出 OB，OD 师：OB，OD 如何求呢？生：根 据 勾 股 定 理，在Rt OAB中，AB=3m，OA=2.5m，所 以OB2=AB2-OA2=32-2.52=2.752 OB1.658m精确到 0.001m 在 RtOCD 中，OC=OA-AC=2m，CD=AB=3m，所以 OD2=CD2-OC2=32-22=5 OD2.336m精确到 0.001 BD=OD-OB=2.236-1.6580.58m精确到 0.01m，所以梯子顶端沿墙下滑0.5m，梯子底端外移 0.58m 活动 3 问题：“执竿进屋：笨人持竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭 有个邻居聪明者，教他斜竿对两角 笨伯依言试一试，不多不少刚抵足 借问竿长多少数，谁人算出我佩服 当代数学教育家清华大学教授 许莼舫著作?古算题味?生：解：设竿长为 x 尺，门框的宽度为x-4尺，高度为x-2尺，根据题意和勾股定理，得 x2=x-42+x-22 化简，得 x2-12x+20=0，x-10 x-2=0，x1=10，x2=2不合题意，舍去 方法，根底知识归纳能力测评 教学过程 所以竿长为 10 尺 二、稳固提高 活动 4 练习：1有一个边长为 50dm 的正方形洞口，想用一个圆盖盖住这个洞口，圆的直径至少多长结果保存整数 2如以下图，池塘边有两点 A，B，点 C 是与 BA 方向成直角的 AC 方向上一点，测得 CB=60m，AC=20m，你能求出 A、B 两点间的距离吗？生：1解：设圆的直径为 xdm，根据勾股定理，得 502+502=x2，解得 x71 所以圆的直径改为 71dm 2解：如右图，在 RtABC 中，AC=20m，BC=60m，根据勾股定理，得 AB2=BC2-AC2=602-202=3 200，AB=402 所以 A，B 两点间的距离为 402m 三、课时小结 问题：谈谈你这节课的收获有哪些？会用勾股定理解决简单应用题；学会构造直角三角形 设计 能力测评题 1某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点 C 偏离欲到达点 B 200米，结果他在水中实际游了 520米，求该河流的宽度 作业 26 页练习 课 后 反 思 备课 评价 优 良 合格 不合格 年 5 周 年级 8 班 第 1 节课时教案 教研组长意见 年 月 日 新科题目 17.1 勾股定理4 教学 目标 知识目标:1.利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点2.进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题 能力目标:1经历在数轴上寻找表示地理数的总的过程，开展学生灵活勾股定理解决问题的能力2在用勾股定理解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，开展学生的动手操作能力和创新精神3在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识 感情、态度与价值观目标:1在用勾股定理寻找数轴上表示无理数点的过程中，体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心 2在解决实际问题的过程中，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯 重点 在数轴上寻找表示，2，3，5，这样的表示无理数的点 难点 利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段 教具 多媒体，三角尺 教学方式 实验课 演示课 电教课 多媒体课 提 前 测 评 及 导 入 新 课【例 1】飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方 4 800 米处，过了 10 秒后，飞机距离这个男孩头顶 5 000 米，飞机每小时飞行多少千米？【例 2】如右图所示，某人在 B 处通过平面镜看见在 B 正上方 5 米处的 A 物体，物体 A 到平面镜的距离为 6 米，向 B点到物体 A 的像 A的距离是多少？教学过程设计教学内一、讲授新课 活动 1 问题：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示出2的点吗？13的点呢？设计意图：上一节，我们利用勾股定理可以解决生活中的不少问题在初一时我们只能找到数轴上的一些表示有理数的点，而对于象2，3，这样的无理数的数点却找不到，学习了勾股定理后，我们把2，3，可以当直角三角形的斜边，只要找到长为2，3的线段就可以，勾股定理的又一次得到应用 此活动，教师应重点关注：学生能否找到含长为2，13这样的线段所在的直角三角形；学生是否有克服困难的勇气和坚强的意志；容，方法，根底知识归纳能力测评 教学 学生能否积极主动地交流合作 师：由于在数轴上表示13的点到原点的距离为13，所以只需画出长为13的线段即可 我们不妨先来画出长为2的线段 生：长为2的线段是直角边都为1 的直角三角形的斜边 师：长为13的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？生：设 c=13，两直角边为 a，b，根据勾股定理 a2+b2=c2即 a2+b2=13假设a，b 为正整数，那么 13 必须分解为两个平方数的和，即 13=4+9，a2=4，b2=9，那么 a=2，b=3 所以长为13的线段是直角边为2，3 的直角三角形的斜边 师：下面就请同学们在数轴上画出表示13的点 生：步骤如下：1在数轴上找到点A，使 OA=3；2作直线 L 垂直于 OA，在 L 上取一点 B，使 AB=2；3以原点 O 为圆心，以 OB 为半径作弧，弧与数轴交于点 C，那么点 C 即为表示13的点 活动 2 练习：在数轴上作出表示17的点 此活动中，教师应重点关注：学生能否积极主动地思考问题；能否找到斜边为17，另外两个角直边为整数的直角三角形 过程设计教学内容，方法，根底知识归纳能力测生：17是两直角边为 4 和 1 的直角三角形的斜边，因此，在数轴上画出表示17的点如右图：三、稳固提高 活动 3 问题：1根据勾股定理，还可以作出长为无理数线段，你能做出哪些长为无理数的线段呢？2欣赏以下图，你会得到什么启示？本活动教师应重点关注：能否将无理数转化为某个直角三角形的斜边长 能否积极参与，欣赏数学美 生：在上述方程找到了长度为，2、3、5、6，的线段，因此在数轴上便可以表示出来，教学时可以先画出2，3，之后，再画13，画法不唯一，如以下图：评 教学过程设计 四、课时小结 问题：你对本节内容有哪些认识？会利用勾股定理得到一些无理数并理解数轴上的点与实数一一对应 能力测评题 【例 1】如右图所示，ABC 中，AB=15cm，AC=24cm，A=60，求 BC 的长 分析：ABC 是一般三角形，假设要求出 BC 的长，只能将 BC 置于一个直角三角形中 作业 27 页练习 年 5 周 年级 8 班 第 2,3 节课时教案 课 后 反 思 备课 评价 优 良 合格 不合格 教研组长意见 年 月 日 新科题目 习题 17.1 教学 目标 知识目标:能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题 能力目标:1在解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，开展学生的实践能力和创新精神 2在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识 感情、态度与价值观目标:1在用勾股定理探索实际问题的过程中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心 2 在解决实际问题的过程中形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯 重点 理解勾股定理 难点 运用勾股定理 教具 多媒体，三角尺 教学方式 实验课 演示课 电教课 多媒体课 提 前 测 评 及 导 入 新 课 教学过程设计教学内容，方法，根底知识归纳习题 171 1解：AC=22221068;815AB=17 2解：设旗杆折断之前有 xm，根据勾股定理，得 x-62=62+82，x-62=100 因为 x-60，所以 x-6=10，x=16 所以旗杆折断之前的高度为 16m 3解：根据勾股定理，得：AB=22222.40.7AOOB=2.5，即 AB 的长为 2.5cm 4解：AC=40-21=19cm，BC=60-21=39cm 根据勾股定理，得：AB=22221939ACBC43.4mm 即两孔中心距离为 43.4mm 5解：根据勾股定理，得：2275=26m 所以地面钢缆固定点 A 到电线杆底部 B 的距离是 26m 6解：根据勾股定理可知：两直角边的长分别为 4，2 时，斜边的长为20，如以下图所示：能力测评 教学过程设计教学内容，方法 7解：1A=30，AB=10，所以 BC=5，因为C=90，根据勾股定理，得 AC=22105=538.66 2A=45，所以ABC 为等腰直角三角形，即 BC=AC 根据勾股定理，得 2BC2=2AC2=100，所以 BC=AC=527.07 8解：在ABC 中，C=90 1ABC 的面积=122.12.8=2.94cm2；2根据勾股定理：AB=22222.12.8ACBC=3.5cm；3因为12CDAB=12ACBC，所以 CD=2.1 2.83.5ACBCAB=1.68cm 即高 CD 为 1.68cm 9解：根据题意，得 L=22883282mm 10解：设水的深度为 x 尺，这根芦苇的长度为x+1尺，根据题意，设：x+12=x2+1022 解这个方程得 x=12 x+1=13 ，根底知识归纳能力测评 教学过程设计 所以水的深度为 12 尺，这根芦苇的长度为 13 尺 11解；以 AB 为直径的半圆的面积为122AB2=8AB2；以 BC 为直径的半圆的面积为122BC2=8BC2；以 AC 为直径的半圆的面积为122AC2=8AC2 因为C=90，所以 AB2=BC2+AC2 8AB2=8BC2+8AC2 即以直角三角形斜边为直径的半圆的面积等于两直角边为直径的半圆的面积和 12解：阴影局部的面积=以 AC 为直径的半圆的面积+以 BC 为直径的半圆的面积+RtABC 的面积-以 AB 为直径的半圆的面积，根据 11 题的结论可知：阴影局部的面积=RtABC 的面积=20cm2 13解：根据题意，可知：OB=1.62=0.8m，OA=22=1m，在 RtOAB 中，AB=2210.8=0.6m，1-0.6=0.40.2，所以这辆卡车能通过厂门 能力测评题 【例 1】如右图所示，ABC 中，AB=15cm，AC=24cm，A=60，求 BC 的长 分析：ABC 是一般三角形，假设要求出 BC 的长，只能将 BC置于一个直角三角形中 作业 练习册 课 后 反 思 备课 评价 优 良 合格 不合格 年 5 周 年级 8 班 第 4 节课时教案 教研组长意见 年 月 日 新科题目 17.2 勾股定理的逆定理1 教学 目标 知识目标:1掌握直角三角形的判别条件 2熟记一些勾股数 3掌握勾股定理的逆定理的探究方法 能力目标:1用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想 2通过对 Rt判别条件的研究，培养学生大胆猜测，勇于探索的创新精神 感情、态度与价值观目标:1通过介绍有关历史资料，激发学生解决问题的愿望 2通过对勾股定理逆定理的探究，培养学生学习数学的兴趣和创新精神 重点 探究勾股定理的逆定理，理解互逆命题，原命题、逆命题的有关概念及关系 难点 归纳、猜测出命题 2 的结论 教具 多媒体，三角尺 教学方式 实验课 演示课 电教课 多媒体课 提 前 测 评 及 导 入 新 课 一、创设问题情境，引入新课 活动 1 1总结直角三角形有哪些性质 2一个三角形，满足什么条件是直角三角形？前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边 a，b，斜边 c具有一定的数量关系即 a2+b2=c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？我们来看一下古埃及人如何做？教学过程设计教学二、讲授新课 活动 2 问题：据说古埃及人用以下图的方法画直角；把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以 3 个结、4 个结、5 个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角 这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为 3、4、5，有下面的关系“32+42=52”，那么围成的三角形是直角三角形 画画看，如果三角形的三边分别为 2.5cm、6cm、6.5cm，有下面的关系，内容，方法，根底知识归纳能力测评 教“2.52+62=6.52，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为 4cm、7.5cm、8.5cm，再试一试 生：我们不难发现上图中，第1个结到第4个结是 3 个单位长度即 AC=3；同理 BC=4，AB=5，因为 32+42=52我们围成的三角形是直角三角形 生：如果三角形的三边分别是 2.5cm，6cm，6.5cm，我们用尺规作图的方法作此三角形，经过测量后，发现 6.5cm 的边所对的角是直角，并且 2.52+62=6.52 再换成三边分别为 4cm，7.5cm，8.5cm 的三角形，目标可以发现 8.5cm 的边所对的角是直角，且也有 42+7.52=8.52 是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方，就能得到一个直角三角形呢？活动 3 下面的三组数分别是一个三角形的三边长 a，b，c 5，12，13；7，24，25；8，15，17 1这三组数都满足 a2+b2=c2吗？2分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？生：1这三组数都满足 a+b=c 2以每组数为边作出的三角形都是直角三角形 师：很好，我们进一步通过实际操作，猜测结论 命题 2 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2 那么，这个三角形是直角三角形 学过程设计教学内容，方法，根底知识归纳能力 同时，我们也进一步明白了古埃及人那样做的道理实际上，古代中国人也曾利用相似的方法得到直角直至科技兴旺的今天人类已跨入21 世纪，建筑工地上的工人师傅们仍然离不开“三四五放线法 “三四五放线法是一种古老的归方操作所谓“归方就是“做成直角譬如建造房屋，房角一般总是成90，怎样确定房角的纵横两线呢？如右图，欲过基线 MN 上的一点 C 作它的垂线，可由三名工人操作：一人手拿布尺或测绳的 0 和 12 尺处，固定在 C 点；另一人拿 4 尺处，把尺拉直，在 MN 上定出A 点，再由一人拿 9 尺处，把尺拉直，定出 B 点，于是连结 BC，就是 MN 的垂线 建筑工人用了 3，4，5 作出了一个直角，能不能用其他的整数组作出直角呢？生：可以，例如 7，24，25；8，15，17 等 据说，我国古代大禹治水测量工程时，也用类似的方法确定直角 活动 4 问题：命题 1 如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么a2+b2=c2 命题 2 如果三角形的三边长分别为 a，b，c，满足 a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形 它们的题设和结论各有何关系？生：我们可以看到命题 2 与命题 1 的题设结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题例 测评 教学过程设计 如把命题 1 当成原命题，那么命题 2 是命题 1 的逆命题 生：我们前面学过平行线的性质和判定其中“两直线平行，同位角相等和“同位角相等，两直线平行是互逆命题，“两直线平行，内错角相等和“内错角相等，两直线平行也是互逆命题 生：“两直线平行，同旁内角互补和“同旁内角互补，两直线平行也是互逆命题 三、课时小结 问题：你对本节内容有哪些认识？能力测评题 作业 33 页练习1,2 年 5 周 年级 8 班 第 5 节课时教案 课 后 反 思 备课 评价 优 良 合格 不合格 教研组长意见 年 月 日 新科题目 17.2 勾股定理的逆定理2 教学 目标 知识目标:一、知识与技能 1了解证明勾股定理逆定理的方法 2理解逆定理，互逆定理的概念 能力目标:1经历证明勾股定理逆定理的过程，开展学生的逻辑思维能力和空间想象能力 2 经历互为逆定理的讨论，培养学生严谨的治学态度和实事求是求学精神 感情、态度与价值观目标:1经历探索勾股定理逆定理证明的过程，培养学生克服困难的勇气和坚强的意志 2培养学生与人合作、交流的团队意识 重点 勾股定理逆定理的证明，及互逆定理的概念 难点 互逆定理的概念 教具 多媒体，三角尺 教学方式 实验课 演示课 电教课 多媒体课 提 前 测 评 及 导 入 新 课 一、创设问题情境，引入新课 活动 1 以以下各组线段为边长，能构成三角形的是_填序号，能构成直角三角形的是_ 3，4，5 1，3，4 4，4，6 6，8，10 5，7，2 13，5，12 7，25，24 能构成直角三角形的是：教学过程设计教学内容，方法，根底知识归 二、讲授新课 活动 2 问题：命题 2 是命题 1 的逆命题，命题 1 我们已证明过它的正确性，命题 2 正确吗？如何证明呢？师：ABC 的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，如果ABC 是直角三角形，它应与直角边是 a，b 的直角三角形全等，实际情况是这样吗？我们画一个直角三角形 ABC，使 BC=a，AC=b，C=90如以下图把画好的ABC剪下，放在ABC 上，它们重合吗？生：我们所画的 RtABC，AB2=a2+b2，又因为 c2=a2+b2，所以 AB2=C2，即 AB=C ABC 和ABC三边对应相等，所以两个三角形全等，C=C=90 ABC 为直角三角形 即命题 2 是正确的 师：很好，当我们证明了命题 2 是正确的，那么命题就成为一个定理 由于命题1 证明正确以后称为勾股定理，命题 2 又是命题 1 的逆命题，在此，我们就称定理 2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理称为互为逆定理 师：但是不是原命题成立，逆命题一定成立吗？生：不一定，如命题“对顶角相等成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角不成立 纳能力测评 教学过程设计教学内容，师：你还能举出类似的例子吗？生：例如：如果两个实数相等，那么它们的绝对值也相等 逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数相等 显示原命题成立，而逆命题不成立 活动 3 练习：1如果三条线段长 a，b，c 满足 a2=c2-b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？2说出以下命题的逆命题这些命题的逆命题成立吗？1两条直线平行，内错角相等 2如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 3全等三角形的对应角相等 4在角的平分线上的点到角的两边的距离相等 师：我们先来完成练习第 1 题 生：a2=c2-b2，移项得 a2+b2=c2，所以根据勾股定理的逆定理，这三条线段组成的三角形是直角三角形 生：2 1逆命题：如果内错角相等，那么两直线平行，此逆命题成立 2逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数也相等，此逆命题不成立 3逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等，此逆命题不成立 方法，根底知识归纳能力测评 教学过程 4逆命题：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，此逆命题成立 三、稳固提高 活动 4 【例 1】一个零件的形状如以下图所示，按规定这个零件中A 和DBC 都应为直角工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗？解：在ABD 中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，所以ABD 是直角三角形，A 是直角 在BCD 中，BD2+BC2=25+144=169=132=CD2，所以BCD 是直角三角形，DBC 是直角 因此这个零件符合要求 四、课时小结 问题：你对本节的内容有哪些认识？掌握勾股定理的逆定理及其应用，熟记几组勾股数 设计 能力测评题 【例 1】1判断以 a=10，b=8，c=6 为边组成的三角形是不是直角三角形 2：在ABC 中，AB=13cm，BC=10cm，BC 边上的中线 AD=12cm 求证：AB=AC 作业 预习 课 后 反 思 备课 评价 优 良 合格 不合格 年 6 周 年级 8 班 第 1 节课时教案 教研组长意见 年 月 日 新科题目 17.2 勾股定理的逆定理3 教学 目标 知识目标:能运用勾股定理的逆定理解决简单的实际问题 能力目标:1经历将实际问题转化为数学模型的过程，体会用勾股定理的逆定理解决实际问题的方法，开展学生的应用意识2在解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，开展学生的实践能力和创新精神3在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识 感情、态度与价值观目标:1在用勾股定理的逆定理探索解决实际问题的过程中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心 2在解决实际问题的过程中，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考问题的习惯 重点 运用勾股定理的逆定理解决实际问题 难点 将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题 教具 多媒体，三角尺 教学方式 实验课 演示课 电教课 多媒体课 提 前 测 评 及 导 入 新 课 一、创设问题情境，引入新课 活动 1 问题 1：小红和小军周日去郊外放风筝，风筝飞得又高又远，他俩很想知道风筝离地面到底有多高，你能帮助他们吗？问题 2：如以下图所示是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要检测正面的 AD 边和 BC 边是否垂直于底边 AB，但他随身只带了卷尺 1你能替他想想方法完成任务吗？2李叔叔量得 AD 的的长是 30 厘米，AB 的长是 40 厘米，BD 的长是 50 厘米，AD 边垂直于 AB 边吗？3小明随身只有一个长度为 20 厘米的刻度尺，他能有方法检验 AD 边是否垂直于 AB 边吗？BC 边与 AB 边呢？教学过程设计教学内接下来，我们继续用勾股定理的逆定理解决几个问题 二、讲授新课 活动 2 问题：【例 1】判断由线段 a、b、c 组成的三角形是不是直角三角形 1a=15，b=8，c=17；2a=13，b=14，c=15；3求证：m2-n2，m2+n2，2mnmn，m，n 是正整数是直角三角形的三条边长 生：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方 解：1因为 152+82=225+64=289，172=289，所以 152+82=172，这个三角形是直角三角形 容，方法，根底知识归纳能力测评 教学过 2因为 132+142=169+196=365，152=365 所以 132+142152，这个三角形不是直角三角形 生：要证明它们是直角三角形的三边，首先应判断这三条线段是否组成三角形，然后再根据勾股定理的逆定理来判断它们是否是直角三角形的三边长 3证明：mn，m，n 是正整数 m2-n2+m2+n2=2m22mn，即m2-n2+m2+n22mn 又因为m2-n2+2mn=m2+n2m-n，而 2m-n=m+m-n0，所以m2-n2+2mnm2+n2 这三条线段能组成三角形 又因为m2-n22=m4+n4-2m2n2 m2+n22=m4+n4+2m2n2 2mn2=4m2n2，所以m2-n22+2mn2 =m4+n4-2m2n2+4m2n2=m4+n4+2m2n2=m2+n22 所以，此三角形是直角三角形，m2-n2，2mn，m2+n2mn，m，n 是正整数这三边是直角三角形的三边 师：我们把像 15、8、7 这样，能够成为三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 而且我们不难发现 m2-n2，m2+n2，2mn 也是一组勾股数，而且这组勾股数由于m，n 取值的不同会得到不同的勾股数 例如 m=2，n=1 时，m2-n2=22-12=3，m2+n2=22+12=5，2mn=221=4，程设计教学内容，方法，根底知识归纳能力测评 而 3，4，5 就是一组勾股数 你还能找到不同的勾股数吗？生：当 m=3，n=2 时，m2-n2=32-22=5，m2+n2=13，2mn=232=12，所以 5，12，13 也是一组勾股数 当 m=4，n=2 时，m2-n2=42-22=12，m2+n2=20，2mn=242=16，所以 12，16，20 也是一组勾股数 师：由此我们发现，勾股数组有无数个，而上面介绍的就是寻找勾股数组的一种方法 17 世纪，法国数学家费尔马也研究了