第三讲矩阵的代数运算.pdf
第三讲 矩阵的代数运算 教学目的：讲解矩阵的代数运算第一部分：加法、数乘、乘法，重点是乘法；教学内容：第二章 矩阵 2.2 矩阵的代数运算（一 三节）；教材相关部分：2.2 矩 阵 的 代 数 运 算（1）一、矩阵的加法 定义 2.2 设矩阵nmijaA)(、nmijbB)(，则A与B可加，规定其和为 mnmnnnnnnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111 (2.9)根据定义容易验证矩阵的加法满足下列运算律（OCBA,都是同规格矩阵）：（1）交换律：ABBA；（2）结合律：)()(CBACBA；（3）若nmijaA)(，则存在矩阵nmijaA)(，满足OAA)(。称A为A的负矩阵。由此可以定义矩阵减法为：)(BABA。二、数与矩阵相乘（“数乘”）：定义 2.3 设矩阵nmijaA)(，是一个数，规定矩阵的数乘为 mnmmnnijaaaaaaaaaaAA212222111211)(2.10)矩阵的数乘满足下列运算律（设BA,为同规格矩阵，,为数）：（1）交换律：AA；（2）结合律：)()()(AAA；（3）第一分配律：BABA)(；（4）第二分配律：AAA)(。说明：同规格矩阵的加减运算以及数乘可以统一定义为：nmijijbaBA，(2.11)称为矩阵的线性运算，加法、减法、数乘都是它的特例。例 2.1 设312101A，523012B，求BA32。解：2A=624202，3B=1569036，故BA32985234 三、矩阵的乘法 定义 2.4 设)(ijaA 是一个sm矩阵，)(ijbB 是一个ns矩阵，则规定矩阵 A 和矩阵 B的乘积ABC 是一个nm矩阵：nmijcC)(，其中 ),2,1;,2,1(12211njmibabababacskkjiksjisjijiij (2.12)上述定义表明，乘积矩阵C的第i行第j列元素ijc，是A的第i行的s个元素与B的第j列的s个元素一 一对应相乘的乘积之和。因此只有当左边矩阵A的列数等于右边矩阵B的行数时，这两个矩阵才可乘，我们称ABC 为A左乘B，或B右乘A。例 2.2 设50906791A，67356300B，则 84621111046735630050906791AB，而 724911774535725482181300005090679167356300BA。矩阵的乘法应注意以下几点：1.任意两个矩阵未必可乘，应首先考察矩阵的规格，以确定是否可乘以及乘积的规格。2.交换律一般不成立，从例 2.2 可以看出，一般来说BAAB；即使是同阶矩阵相乘，交换律一般也不成立。例如设 6342A，B=2142，容易验证BAAB。而如果BAAB 成立，则说矩阵A与B可交换。3.消去律一般不成立，即由OAB，不能断定OA 或OB。例如 000001000001，因此，即使OA，一般由ACAB 也不能推出CB。但矩阵的乘法仍满足以下运算律（假设运算都可行）：（1）结合律：)()(BCACAB；（2）左分配律：ACABCBA)(；右分配律：CABAACB)(；（3）与数乘可交换：)()()(BABAAB。对单位矩阵 E，容易验证 nmnmmnmnnmAAEAEA,，(2.13)可见单位矩阵 E 在矩阵乘法的运算中的作用类似于数的运算中“1”的作用。由于数量矩阵 nnE111 (2.14)故当它乘方阵A时便有 AnAEA 和 AAEEAAn，即数量阵E乘矩阵A等于数乘矩阵A，这就是称其为数量阵的缘由。利用矩阵的乘法，可以将线性方程组 mnmnmnnbxaxabxaxa1111111 (2.15)表示成矩阵形式 mnmnmnbbxxaaaa111111 (2.16)并简洁地记为 AX，(2.17)其中 mnmnaaaaA1111，nxxX1，mbb1。A即为线性方程组的系数矩阵，称 X 为未知数（变元）向量，为常数向量。而矩阵 mmnmmnnbaaabaaabaaaA21222221111211 (2.18)便是线性方程组的增广矩阵。例 2.3 若 A，B，C 都为同阶的对角矩阵：nnaaA11，nnbbB11，nnccC11 容易验证 ABC 仍为对角矩阵，且 ABC=nnnnnncbacba111111。推广之，有限个同阶对角矩阵的乘积还是对角矩阵，其主对角元就是各个对角矩阵对应的主对角元相乘积。还可以证明：同阶上（下）三角阵之积还是上（下）三角阵。有了矩阵的乘法，可以定义n阶方阵的幂：定义 2.5 设A是n阶方阵，当k为正整数时，A的幂运算规定为：AAAAAAAAkk121,。且规定：EA 0。从定义知，kA就是k个A的连乘，显然只有方阵才有幂。由于矩阵乘法符合结合律，所以方 阵的幂满足以下运算律（其中lk,为正整数）：lklkAAA，kllkAA)(，因为矩阵乘法一般不可交换，所以对两个n阶方阵A、B来说，一般kkkBAAB)(，因此，一些熟知的的乘法公式一般不再成立，例如 2222)(BABABA、22)(BABABA，等等。但只要A与B可交换，则这些公式就都成立了。结合加法、数乘和乘法三种运算，可定义方阵的多项式：设有n阶方阵A和关于x的k次多项式 0111)(cxcxcxcxfkkkk，定义A的多项式为 EcAcAcAcAfkkkk0111)(，易见)(Af仍是一个n阶方阵。例 2.4 设 A=001001，求kA（2k为正整数）。解法一；逐次相乘：2A=001001001001=222002012，3A=222002002001001=32323003033，于是猜测：kA=kkkkkkkkkk00021121 下用数学归纳法证明之：当2k，上已见结论成立。假设nk 时结论成立，则1 nk时：AAAnn1=nnnnnnnnnn00021121001001=111100)1(021)1(nnnnnnnnnn 所以对任意的2k的正整数，均有kA=kkkkkkkkkk00021121。解法二：利用方阵的多项式：记BEA000100010100010001001001，易见E与B可交换，则依牛顿二项公式有kiikiikkkBCBEA0)(。容易算出：0000001002B、OB 3，因此上式22122211002)1(BKkBkEBCBCBCkkkkkkkkk 0000002)1(000000000211kkkkkkkkkkkkkkkkkkkk00021121。
