精二次函数最值知识点总结典型例题及习题.pdf
第 1 页 二次函数在闭区间上的最值 一、知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴及给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f xaxbxc a()()20，求f x()在xmn，上的最大值及最小值。分析：将f x()配方，得顶点为baacba2442，、对称轴为xba 2 当a 0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在m，n上f x()的最值：1当bamn2，时，f x()的最小值是fbaacbaf x 2442，()的最大值是f mf n()()、中的较大者。2当bamn2，时 假设bam2，由f x()在mn，上是增函数那么f x()的最小值是f m()，最大值是f n()假设nba 2，由f x()在mn，上是减函数那么f x()的最大值是f m()，最小值是f n()当a 0时，可类比得结论。二、例题分析归类：一、正向型 是指二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴及定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：1 轴定，区间定；2轴定，区间变；3轴变，区间定；4轴变，区间变。1.轴定区间定 第 2 页 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值。例 1.函数yxx 242在区间0，3上的最大值是_，最小值是_。练习.232xx，求函数f xxx()21的最值。2、轴定区间变 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值。例 2.如果函数f xx()()112定义在区间tt，1上，求f x()的最值。例 3.2()43f xxx，当1()xtttR，时，求()f x的最值 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当a 0时)(212)()(212)()(21max如图如图，nmabnfnmabmfxf)(2)()(2)2()(2)()(543min如图如图如图，mabmfnabmabfnabnfxf 当a 0时)(2)()(2)2()(2)()(876max如图如图如图，mabmfnabmabfnabnfxff xf mbam nf nbam n()()()()()()()min，如图如图212212910 3、轴变区间定 二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值。例 4.x21，且a 20，求函数f xxax()23的最值。例 5.(1)求2f(x)x2ax1在区间-1,2上的最大值。(2)求函数)(axxy在 1,1x上的最大值。第 3 页 二、逆向型 是指二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。例 7.函数2()21f xaxax在区间 3,2上的最大值为 4，求实数 a 的值。例 8.函数2()2xf xx 在区间,m n上的最小值是 3m最大值是 3n，求m，n的值。例9.二次函数2f(x)ax(2a1)x1在区间3,22上的最大值为3，求实数a的值。二次函数在闭区间上的最值专题演练 1函数y12xx在 1,1上的最小值和最大值分别是 )(A1,3 )(B43,3 C21,3 D41,3 2函数242xxy在区间4,1 上的最小值是 )(A7)(B4)(C2)(D2 3函数5482xxy的最值为 )(A最大值为 8，最小值为 0 )(B不存在最小值，最大值为 8 C最小值为 0,不存在最大值 )(D不存在最小值，也不存在最大值 4假设函数4,0,422xxxy的取值范围是_ 5函数f xaxaxa()()()22130322在区间，上的最大值是 1，那么实数 a 的值为_.6函数322xxy在闭区间,0m上有最大值 3，最小值 2，那么m的取值范围是 第 4 页 (A),1 (B)2,0 (C)2,1 (D)2,(7设),(1,44)(2Rtttxxxxf求函数)(xf的最小值.8.函数2()48f xxkx 在5,20上具有单调性，求实数 k 的取值范围。9.假设函数2()(2)2(2)40f xaxaxxR对一切恒成立，那么 a 的取值范围 A.(,2 B.2,2C.(2,2 D.(,2)10.函数2()442f xxax在(-,0内单调递减，那么 a 取 A.3a B.3a C.a-3 D.a3 11.函数2()f xxkx 在2,4上是单调函数，求 k 的取值范围。12.函数2()23f xxx 在0,m上有最大值是 3，最小值是 2，求 m 的取值范围。13.函数2()34f xx的最大值为 M，最小值为 m，那么 M+m=_.14.函数22()44f xxaxa-2a+2在0,2上的最小值为 3，求 a 的值。2()2f xxx+3的单调区间。16.函数2()26f xxx 在以下定义域上的值域：1定义域为xZ03x 2定义域为-2,1.17.函数2()3,f xxaxa假设 2,2x，有()2f x 恒成立，求 a 的取值范围。18.函数2()f xx，2,xa 其中2a，求该函数的最大值及最小值。19 二次函数2()6f xxxa 的函数值总为负数，求 a 的取值范围。20.二次函数2()(6)2(1)1f xmxmxm的图像及 x 轴总有交点，求 m 的取值范第 5 页 围。21.二次函数2()(1)3f xxmxm顶点在 y 轴上，求 m 的值。22.函数22()()2f xmxmm x的图像关于 y 轴对称，求 m 的值。23.函数2()(2)2(2)40f xaxax对一切 x 恒成立，求 m 的取值范围。24.函数2()4,(13)f xxaxx是单调增函数，求实数 a 的取值范围。25.函数2()1f xxax有负值，求 a 的取值范围。26.函数2()(2)32f xmxm 的图像在 x 轴下方，求 m 的值。27.函数2()10f xxax 对于一切1(0,2x成立，求 a 的取值范围。28.函数2()23f xxmx，当(,1x 时是减函数，求 m 的取值范围。29 函数2()2f xxaxa的定义域是 R，求 a 的取值范围。30.函数2()426()f xxaxaxR的值域为0,，求 a 的值。31.函数2()4f xxxm对于(0,1x恒成立，求 m 的取值范围。32.函数2()f xxbxc在0,)上是单调函数，那么 b 的取值范围。2()2(2)2(2)f xxa xa a，求在0,2上的最小值。34.函数2()2(2)2f xxa xa，在0,2上是单调函数，求 a 的取值范围。2()2(2)2f xxa xa，在,2t t 上是偶函数，求 a 的取值范围。2()2(2)2f xxa xa在,2t t 上的最小值。37.函数2()2(2)2f xxa xa的定义域为 R，求 a 的取值范围。38.函数2()21f xxax，求 2,1x 上的最值。39.函数2()21f xxx，求,1xm m上的最值。40.函数2()21f xxaxa ，0,1x上的最值为 2，求 a 的值。41.函数2()22f xxx：1假设xR，求 f(x)的最小值。第 6 页 2假设1,3x，求 f(x)的最小值。3假设,2,xa aaR，求 f(x)的最小值。42.函数2()23f xxkx，求 1,2x 上的最大值。43.函数2()21f xkxkx，求 3,2x 上的最值。44.函数221()334f xxxb，求,(0)xb bb 上的最值。45.函数()()1f xx xt，求 1,1x 上的最值。46.函数2()(21)3f xaxax，求3,22x 上的最大值。47.函数2()3f xxax，求0,1x上的最值。48.函数()()f xx xa，求 1,xa 上的最大值。49.函数2()21f xxax，在 1,2x 上的最大值为 4，求 a 的值。50.假设不等式2296260 xaxaa在1133x内恒成立，求 a 的取值范围。51.函数2()23f xxx，求,1xt t上的最值。52.函数2()25f xaxax，求0,3x上的最值。53.函数2()23f xxax，求 3,1x 上的最值。54.函数2()38f xaxx，求 2,x 上的最值。55.函数2()(43)2f xa xxa，求0,1x上的最值。56.函数22()(21)1f xxtxt，当 t 取何值时，函数的最小值为 0.57.函数2()21f xxtx，求 1,1x 上的最大值。58.函数2()4f xxxa，在0,6x上的最大值为 13，求 a 的值。59.函数2()24f xxax，在0,3x上的最小值为 1，求 a 的值。60.函数2()24f xxax，在1,3x上的最大值为 13，求 a 的值。61.函数2()24f xxax，在1,3x上的值域。62.函数2()1030f xxx，在,3xa a上的最小值为 6，求 a 的值。第 7 页 63.函数2()1030f xxx，求在,3xa a上的最小值。64)(xf22aaxx，在区间 1,0上的最大值为)(ag，求)(ag的最小值。
