第4节含绝对值的不等式--备战2022年高考数学一轮复习配套word试题(创新设计版).pdf

第 4 节 含绝对值的不等式 知 识 梳 理 1.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a 的解集 不等式 a0 a0 a0|x|a(，a)(a，)(，0)(0，)R(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb|caxbc 或 axbc.(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法 利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.2.含有绝对值的不等式的性质(1)如果 a，b 是实数，则|ab|a|b|，当且仅当 ab0 时，等号成立；(2)|a|b|ab|a|b|；(3)如果 a，b，c 是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0 时，等号成立.1.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法.2.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决.3.可以利用绝对值三角不等式定理|a|b|ab|a|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件.诊 断 自 测 1.判断下列说法的正误.(1)若|x|c 的解集为 R，则 c0.()(2)不等式|x1|x2|2 的解集为.()(3)对于|ab|a|b|，当且仅当 ab0 时等号成立.()(4)对于|a|b|ab|，当且仅当|a|b|时等号成立.()(5)对于|ab|a|b|，当且仅当 ab0 时等号成立.()答案(1)(2)(3)(4)(5)解析(1)当 c0 时，x0；(3)当 a0b 且|a|b|时，等号成立；(4)当 ab0且|a|b|时，等号成立.2.(2021浙江十校联盟联考)已知 a，bR，则“|a|1”是“|ab|b|1”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 当 a1，b3 时，满足|a|1，但此时|ab|b|51，充分性不成立；若|ab|b|1，则有|ab|b|a|b|b|a|2|b|1，则|a|1，必要性成立.综上所述，“|a|1”是“|ab|b|1”的必要不充分条件，故选B.3.(2020绍兴上虞区期末)若函数 f(x)|x1|2xa|的最小值为 3，则实数 a 的值为()A.5 或 8 B.1 或 5 C.1 或4 D.4 或 8 答案 D 解析 分类讨论：当 a2 时，f(x)3x1a，xa2，显然 xa2时，f(x)mina21a3，a4，当 a2 时，f(x)3x1a，x1，显然 xa2时，f(x)mina21a3，a8.4.(2016浙江卷)已知函数 f(x)满足：f(x)|x|且 f(x)2x，xR.()A.若 f(a)|b|，则 ab B.若 f(a)2b，则 ab C.若 f(a)|b|，则 ab D.若 f(a)2b，则 ab 答案 B 解析 若 f(a)|b|，则由已知条件 f(x)|x|得 f(a)|a|，即|a|b|，而 ab 不一定成立，A 错误；若 f(a)2b，由 f(x)2x得 f(a)2a，则 2af(a)2b，则 ab，B正确；若 f(a)|b|，由 f(x)|x|得 f(a)|a|.而 ab 不一定成立，C 错误；若 f(a)2b，由 f(x)2x得 f(a)2a，而 2a2b不一定成立，即 ab 不一定成立，D 错误.5.已知函数 f(x)|x1|2|x1|，则不等式 f(x)1 的解集为_.答案 23，2 解析 当 x1 时，f(x)x12x23x1，解得 x2，此时 1x2；当1x1，解得 x23，此时23x1；当 x1，解得 x4，此时无解.综上可知23x0).(1)当 a1 时，则不等式 f(x)3x2 的解集为_.(2)若不等式 f(x)0 的解集为x|x1，则 a 的值为_.答案(1)x|x3 或 x1(2)2 解析(1)当 a1 时，f(x)3x2 可化为|x1|2.由此可得 x3 或 x1.故当 a1 时，不等式 f(x)3x2 的解集为x|x3 或 x1.(2)由 f(x)0 得|xa|3x0.此不等式化为不等式组xa，xa3x0或xa，ax3x0，即xa，xa4或x0，所以不等式组的解集为x|xa2.由题设可得a21，故 a2.考点一 含绝对值的函数不等式的解法【例 1】(1)(2017浙江卷)已知 aR，函数 f(x)|x4xa|a 在区间1，4上的最大值是 5，则 a 的取值范围是_.答案，92 解析 当 x1，4时，x4x4，5，下面对 a 分三种情况讨论：当 a5 时，f(x)ax4xa2ax4x，函数的最大值为 2a45，解得 a92(舍去)；当 a4 时，f(x)x4xaax4x5，此时满足题意；当 4a5 时，f(x)maxmax|4a|a，|5a|a，则|4a|a|5a|a，|4a|a5或|4a|a|5a|a，|5a|a5，解得 a92或 4a92.综上，a 的取值范围是，92.(2)已知函数 f(x)|x1|x2|，求 f(x)5 的解集.解 法一 如图，设数轴上与2，1 对应的点分别是 A，B，则不等式的解就是数轴上到 A，B 两点的距离之和不小于 5 的点所对应的实数.显然，区间2，1不是不等式的解集.把 A 向左移动一个单位到点 A1，此时 A1AA1B145.把点 B 向右移动一个单位到点 B1，此时 B1AB1B5，故不等式的解集为(，32，).法二|x1|x2|5 x2，（x1）（x2）5或2x1，（x1）x25 或x1，x1x25，解得 x2 或 x3，所求 f(x)5 的解集为(，32，).法三 将不等式转化为|x1|x2|50.令 y|x1|x2|5，则 y2x6，x2，2，2x1，2x4，x1.作出函数的图象，如图所示.由图象可知，当x(，32，)时，y0，不等式的解集为(，32，).感悟升华 形如|xa|xb|c(或c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(，a，(a，b，(b，)(此处设 ab)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|xa|xb|c(c0)的几何意义：数轴上到点 x1a 和 x2b 的距离之和大于 c 的全体；(3)图象法：作出函数 y1|xa|xb|和 y2c 的图象，结合图象求解.【训练 1】(1)(2020江苏卷)设 xR，解不等式 f(x)2|x1|x|f(x1)的解集.解(1)法一(零点讨论法)当 x0 时，原不等式可化为 2x2x4，解得 0 x23；当1x0 时，原不等式可化为 2x2x4，解得1x0；当 x1 时，原不等式可化为2x2x4，解得2x1.综上，原不等式的解集为x|2x23.法二 本题也可构造函数，用图象法求解.(2)由题设知 f(x)x3，x13，5x1，131.yf(x)的图象如图所示.函数 yf(x)的图象向左平移 1 个单位长度后得到函数 yf(x1)的图象，如图所示.易得 yf(x)的图象与 yf(x1)的图象的交点坐标为76，116.由图象可知，当且仅当 xf(x1)的解集为，76.考点二 利用绝对值不等式求最值(或范围)【例 2】(1)对任意 x，yR，求|x1|x|y1|y1|的最小值；(2)对于实数 x，y，若|x1|1，|y2|1，求|x2y1|的最大值.解(1)x，yR，|x1|x|(x1)x|1，|y1|y1|(y1)(y1)|2，|x1|x|y1|y1|123.|x1|x|y1|y1|的最小值为 3.(2)|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值为 5.感悟升华 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|；(3)利用零点分区间法.【训练 2】(1)x，yR，若|x|y|x1|y1|2，则 xy 的取值范围为_.答案 0，2 解析 由绝对值的几何意义知，|x|x1|是数轴上的点 x 到 0，1 对应点的距离之和，所以|x|x1|1，当且仅当 x0，1时取“”.同理|y|y1|1，当且仅当 y0，1时取“”.|x|y|x1|y1|2.而|x|y|x1|y1|2，|x|y|x1|y1|2，此时 x0，1，y0，1，(xy)0，2.(2)(2020全国卷)已知函数 f(x)|xa2|x2a1|.当 a2 时，求不等式 f(x)4 的解集；若 f(x)4，求 a 的取值范围.解 当 a2 时，f(x)72x，x3，1，34.因此，不等式 f(x)4 的解集为xx32或x112.因为 f(x)|xa2|x2a1|a22a1|(a1)2，故当(a1)24，即|a1|2 时，f(x)4.所以当 a3 或 a1 时，f(x)4.当1a3 时，f(a2)|a22a1|(a1)24.所以 a 的取值范围是(，13，).考点三 含绝对值的不等式的综合应用 【例 3】(1)(2019浙江卷)已知 aR，函数 f(x)ax3x.若存在 tR，使得|f(t2)f(t)|23，则实数 a 的最大值是_.答案 43 解析 由题意，得 f(t2)f(t)a(t2)3(t2)(at3t)a(t2)3t32 a(t2t)(t2)2(t2)tt22 2a(3t26t4)22a3(t1)212.由|f(t2)f(t)|23，得|2a3(t1)212|23，即232a3(t1)21223，23a3(t1)2143，2313（t1）21a4313（t1）21.设 g(t)4313（t1）21，则当 t1 时，g(t)max43.当 t1 时，a 取得最大值43.(2)已知函数 f(x)|x1|.若|a|1，|b|a|fba.证明 f(ab)|a|fba，|ab1|ab|.因为|a|1，|b|0，所以|ab1|ab|.故所证不等式成立.感悟升华(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决.(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法.【训练 3】已知函数 f(x)|x1|x2|，则：(1)不等式 f(x)1 的解集为_；(2)若不等式 f(x)x2xm 的解集非空，则 m 的取值范围为_.答案(1)1，)(2)，54 解析(1)f(x)3，x2.当 x2 时，f(x)31 恒成立.故 f(x)1 的解集为1，).(2)不等式 f(x)x2xm 等价于 f(x)x2xm，得 m|x1|x2|x2x 有解.又|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|x|3225454，当且仅当 x32时，|x1|x2|x2x54.故 m 的取值范围是，54.基础巩固题组 一、选择题 1.已知 a，bR，则使不等式|ab|0 B.ab0 D.ab0 时，|ab|a|b|，当 ab0 时，|ab|f(2)，则 a 的取值范围是()A.，12 B.，1232，C.12，32 D.32，答案 C 解析 因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增，所以 f(x)f(x)，且 f(x)在(0，)上单调递减.由 f(2|a1|)f(2)，f(2)f(2)可得 2|a1|2，即|a1|12，所以12a1，所以“a2b21”是“|a|b|1”的必要不充分条件，故选 B.法二 a2b21 与|a|b|1 分别表示平面直角坐标系 aOb 中的单位圆盘(单位圆及圆内部)与正方形盘，如图，由正方形盘对应的集合为单位圆盘对应集合的真子集知，“a2b21”是“|a|b|1”的必要不充分条件，故选 B.7.(2021杭州质检)“a3”是“函数 f(x)|x1|xa|(xR)的最小值等于 2”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 答案 A 解析 因为|x1|xa|x1(xa)|a1|，则|a1|2，解得 a3 或 a1，所以“a3”是“函数 f(x)|x1|xa|(xR)的最小值等于 2”的充分不必要条件，故选 A.8.设 x，yR，下列不等式成立的是()A.1|xy|xy|x|y|B.12|xy|x|y|C.12|xy|x|y|D.|xy|2|xy|x|y|答案 A 解析 对于 B，令 x100，y100，不成立；对于 C，令 x100，y1100，不成立；对于 D，令 x12，y12，不成立，故选 A.9.设 f(x)1ax2bxc，不等式 f(x)f(1t2)，则实数 t 的取值范围为()A.(3，1)B.(3，3)C.(1，3)D.(1，1)答案 B 解析 f(x)0，f(x)的对称轴是 x1，且 ab2.f(x)在1，)上单调递增.又7|t|7，1t21，由 f(7|t|)f(1t2)，得 7|t|1t2.|t|2|t|60，解得3t3.故选 B.10.设 a，b 为实数，则“|ab2|ba2|1”是“a122b12232”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 a122b12232a2a14b2b1432a2ab2b1b2aa2b1，令 b2ax，a2by，则|x|y|xy|xy，所以|x|y|1xy1，故充分性成立，必要性不成立，故选 A.二、填空题 11.若不等式|3xa|4 的解集为x|23x2，则实数 a 的值为_.答案 2 解析 由|3xa|4 可得a43x4a3.因为解集为x|23x2，所以a4323，4a32，解得 a2.12.若关于x的不等式|x|xa|b的解集为(2，1)，则实数对(a，b)为_.答案(1，3)解析 由题意知2，1 是方程|x|xa|b 的两个根，则2|a2|b，1|a1|b，解得a1，b3，所以实数对(a，b)(1，3).能力提升题组 13.(2020金华十校调研)若 a，b，cR，且|a|1，|b|1，|c|1，则下列说法正确的是()A.abbcca32a2 B.abbcca32ab2 C.abbcca32abc2 D.以上都不正确 答案 A 解析 当 a，b，c 都为 1 或1 时，abbcca 取得最大值，当 a，b，c 一个取1，另两个取 1 时，abbcca 取得最小值1，由题意知，1abbcca3，对于 A，abbcca3212，a212，显然不等式成立.对 a，b，c 分别取特殊值，取 a1，b1，c0，排除 B，取 a1，b0，c1，排除 C，故选A.14.已知 f(x)2x24x1，设有 n 个不同的数 xi(i1，2，n)满足0 x1x2xn3，则满足|f(x1)f(x2)|f(x2)f(x3)|f(xn1)f(xn)|M 的 M的最小值是()A.10 B.8 C.6 D.2 答案 A 解析 f(x)2x24x12(x1)23，f(x)在0，1上单调递减，且 f(x)3，1，f(x)在1，3上单调递增，且 f(x)3，5.|f(x1)f(x2)|f(x2)f(x3)|f(xn1)f(xn)|f(0)f(1)|f(1)f(3)|2810M，故 M 的最小值为 10.15.记 maxp，qp，pq，q，p0，若集合 AxZ|2x2xa2|2x2xa2|2a中的元素有且仅有两个，则实数 a 的取值取值范围是_.答案 1，2)解析|2x2xa2|2x2xa2|(2x2xa2)(2x2xa2)|2a，当且仅当(2x2xa2)(2x2xa2)0，即|2x2x2|a 时等号成立，即集合 A 中的元素为使得|2x2x2|a 成立的整数 x，在平面直角坐标系内画出函数f(x)|2x2x2|的图象，由图易得要使不等式成立的集合A 中元素的个数为两个，即函数图象位于直线ya下方(包括函数图象与直线的交点)的部分有且仅有两个横坐标为整数的点，则1a2，即实数 a 的取值范围为1，2).