高中数学：立体几何中点线面距离夹角关系.pdf

1 空间向量的坐标运算 一主要知识：111222(,),(,)ax y zbxyz，333444(,),(,)A xyzB xyz 1ab ；ab ；b ；a b ；2/ab ；ab ；3cos,a b ；|a 4AB 。二基础训练：1 已知(cos,1,sin),(sin,1,cos)ab，则向量ab与ab的夹角是（）()A 90 ()B 60 ()C 30 ()D 0 2 已知(1,1,),(2,)att t bt t，则|ab的最小值是 （）()A55 ()B555 ()C3 55 ()D115 3 已知ABCD为平行四边形，且(4,1,3),(2,5,1),(3,7,5)ABC，则点D的坐标为_.4设向量(1,3,2),(4,6,2),(3,12,)abct ，若cmanb，则t ，mn 。5已知向量b与向量(2,1,2)a共线，且满足18a b ，()()ka bka b，则b ，k 。三例题分析：例 1棱长为1的正方体1111ABCDABC D中，,E F分别为,AB BC的中点，试在棱1B B上找一点M，使得1D M 平面1EFB。2 例 2已知(3,2,1),(1,1,1)AB，O为坐标原点，（1）写出一个非零向量c，使得c 平面AOB；（2）求线段AB中点M及AOB的重心G的坐标；（3）求AOB的面积。例 3 如图，两个边长为 1 的正方形ABCD与ABEF相交于AB，90,EBCM N分别是,BD AE上的点，且ANDM，（1）求证：/MN平面EBC；（2）求MN长度的最小值。3 五课后作业：1若向量(1,2),(2,1,1),aba b 夹角的余弦值为16，则=（）()A1 ()B1 ()C1 ()D2 2 已知点(3,1,4)A，则点A关于x轴的对称点的坐标为 （）()A(3,1,4)()B(3,1,4)()C(3,1,4)()D(3,1,4)3 已知四面体ABCD中，,AB AC AD两两互相垂直，则下列结论中，不一定成立的是（）()A|AB ACADAB AC AD ()B2222|ABACADABACAD()C()0ABACADBC ()DAB CDAC BDAD BC 4 若2(,2,0),(3,2,)axbx x，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是（）()A4x ()B40 x ()C04x ()D4x 5 设(2,6,3)a，则与a平行的单位向量的坐标为 ，同时垂直于(2,2,1),(4,5,3)ab的单位向量e .6设向量(3,5,4),(2,1,8)ab，计算23,32,ababa b及a与b的夹角，并确定当,满足什么关系时，使ab与z轴垂直.4 7矩形ABCD中，已知1,ABBCa PA面积,2ABCD PA，若BC边上存在唯一点Q，使得PQQD，（1）求a的值；（2）M是AD上的一点，M在平面PQD上的射影恰好是PQD的重心，求M到平面PDQ的距离。8.直三棱柱111ABCABC，1,90CACBBCA，12,AAM N分别是111,AB A A的中点，（1）求BN的长；（2）求11cos,BA CB的值；（3）求证：11ABC M。5 直线与平面、直线与直线所成的角 一复习目标：1掌握直线与直线、直线与平面所成的角的概念，能正确求出线与线、线与面所成的角 二知识要点：1 异面直线,a b所成角的定义：2直线与平面所成角：（1）直线与平面平行或直线在平面内，则 （2）直线与平面垂直，则 （3）直线是平面的斜线，则定义为 3 最小角定理：三课前预习：1正方体1111ABCDABC D中，O为,AC BD的交点，则1C O与1AD所成的角 （）()A60 ()B90 ()C3arccos3 ()D3arccos6 2,PA PB PC是从P点引出的三条射线，每两条的夹角都是60，则直线PC与平面APB所成的角的余弦是 （）()A12 ()B63 ()C33 ()D32 3如图，在底面边长为2的正三棱锥ABCV 中，E是BC的中点，若VAE的面积是41，则侧棱VA与底面所成角的大小为 （结果用反三角函数值表示）四例题分析：例 1在060的二面角l中，BA,，已知A、B到l的距离分别是2和4，且10AB，A、B在l的射影分别为C、D，求：（1）CD的长度；（2）AB和棱l所成的角 A B C V E D1C1B1A1ODCBA 6 B1 P A C D A1 C1 D1 B O H 例 2在棱长为 4 的正方体1111ABCDABC D中，O是正方形1111ABC D的中心，点P在棱1CC上，且14CCCP（）求直线AP与平面11BCC B所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；（）设O点在平面1D AP上的射影是H，求证：1D HAP 例 3 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PA 底面ABCD，AEPD，/,EFDC AMEF（1）证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；（2）若3PAAB，求直线AC与平面EAM所成角的正弦值 7 五课后作业：班级 学号 姓名 1在正三棱柱111ABCABC中，已知1AB，D在1BB上，且1BD，若AD与平面11AAC C所成的角为，则 （）()A13 ()B4 ()C10arcsin4 ()D6arcsin4 2一直线和直二面角的两个面所成的角分别是,，则的范围是 （）()A,)2 ()B0,)2 ()C(0,2 ()D0,2 3已知AB是两条异面直线,AC BD的公垂线段，1,10,301ABACBDCD，则,AC BD所成的角为 4如图，在三棱锥PABC中，ABC是正三角形90PCA，D是PA中点，二面角PACB为120，2,2 3PCAB，（1）求证：ACBD；（2）求BD与平面ABC所成角 8 5如图，已知直三棱柱111ABCABC中，90ACB，侧面1AB与侧面1AC所成的二面角为60，M为1AA上的点，1130AMC，190CMC，ABa（1）求BM与侧面1AC所成角的正切值；（2）求顶点A到面1BMC的距离 6 如图直四棱柱 1111ABCD ABCD中，底面ABCD是直角梯形，设090ABCBAD，2,8BCAD,异面直线1AC与DA1互相垂直，（1）求证：DA1平面BAC1；（2）求侧棱1AA的长；（3）已知4AB，求DA1与平面11BADC所成的角 D1C1B1A1DCBA 9 DECBA平面与平面所成的角 一 复习目标：掌握二面角及二面角的平面角的概念；熟练掌握作二面角平面角的一般方法 二知识要点：1 二面角的概念：2二面角的平面角：3求二面角平面角大小的一般方法：三课前预习：1 二面角l 内有一点P，若P到平面,的距离分别是5,8，且P在平面,的内的射影的距离为7，则二面角l 的度数是 （）()A 30 ()B 60 ()C 120 ()D 150 2已知,E F分别是正方体1111ABCDA BC D的棱1,BC CC的中点，则截面1AEFD与底面ABCD所成二面角的正弦值是 （）()A32 ()B32 ()C35 ()D322 3 对于平面几何中的命题：“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述的命题，可以得到命题：，这个命题的真假性是 4在四面体ABCD中，,AB BC BD两两垂直，且2ABBC，E是AC中点，异面直 线,AD BE所 成 的 角 为10arccos10，则 二 面 角DACB的 大 小为 1 0 四例题分析：例 1 如图，点P为斜三棱柱111CBAABC 的侧棱1BB上一点，1BBPM 交1AA于点M，1BBPN 交1CC于点N，（1）求证：MNCC 1；（2）在任意DEF中有余弦定理：DFEEFDFEFDFDEcos2222拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明 例 2如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，90ABCBCD，2ABBCPBPCCD，侧面PBC 底面ABCD（1）PA与BD是否相互垂直，请证明你的结论；（2）求二面角PBDC的大小；（3）求证：平面PAD平面PAB A A1 B1 B C1 C M N P 1 1 五课后作业：班级 学号 姓名 1过正方形ABCD的顶点A，引PA平面ABCD，若PAAB，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是 （）()A30 ()B45 ()C60 ()D90 2已知正三棱锥两个相邻侧面所成二面角为，那么的取值范围 （）()A18060 ()B 60 ()C 90 ()D 90或 60 3已知正方形ABCD，BDAC,交于点O，若将正方形沿BD折成60的二面角，并给出四个结论：BDAC；COAD；AOC为正三角形；43cosADC，则其中正确命题的序号为 4平行六面体1111DCBAABCD 的底面是矩形，侧棱长为2cm，点1C在底面ABCD上的射影H是CD的中点，1CC与底面ABCD成60的角，二面角1ACCD的平面角等于30，求此平行六面体的表面积 1 2 5 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD，PDDC，E是PC中点，作EFPB交PB于F（1）证明/PA平面EDB：（2）证明PB 平面EFD；（3）求二面角C PB D的大小 6在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC 平面ABC，2 3SASC，,M N分别是,AB SB的中点（1）证明ACSB；（2）求二面角N CM B的大小；（3）求点B到平面CMN的距离 1 3 空间的距离 一复习目标：1理解点到直线的距离的概念，掌握两条直线的距离，点到平面的距离，直线和平面的距离，两平行平面间的距离；2掌握求空间距离的常用方法和各距离之间的相互转化 二知识要点：1 点到平面的距离：2 直线到平面的距离：3 两个平面的距离：4 异面直线间的距离：三课前预习：1在ABC中，9,15,120ABACBAC，ABC所在平面外一点P到三顶点,A B C的距离都是14，则P到平面ABC的距离是 （）()A6 ()B7 ()C9 ()D13 2在四面体PABC中，,PA PB PC两两垂直，M是面ABC内一点，M到三个面,PAB PBC PCA的距离分别是2,3,6，则M到P的距离是 （）()A7 ()B8 ()C9 ()D10 3 已知PA矩形ABCD所在平面，cmAB3，cmPAcmBC4,4，则P到CD的距离为 cm，P到BD的距离为 cm 4已知二面角l为60，平面内一点A到平面的距离为4AB，则B到平面的距离为 四例题分析：例 1 已知二面角PQ为60，点A和B分别在平面和平面内，点C在棱PQ上30BCPACP，aCBCA，（1）求证：PQAB；（2）求点B到平面的距离；（3）设R是线段CA上的一点，直线BR与平面所成的角为45，求CR的长 1 4 例 2 在直三棱柱111CBAABC 中，底面是等腰直角三角形，90ACB，侧棱21AA，ED,分别是1CC，与BA1的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G，（1）求BA1与平面ABD所成角的正弦值；（2）求点1A到平面ABD的距离 例 3 已知正四棱柱1111ABCDABC D,11,2,ABAA点E为1CC的中点，点F为1BD的中点，（1）证明：EF为异面直线11BDCC与的公垂线；（2）求点1D到平面BDE的距离 FE1111DCBADCBAGEDC1B1A1CBA 1 5 五课后作业：班级 学号 姓名 1已知PD 正方形ABCD所在平面，1PDAD，点C到平面PAB的距离为1d，点B到平面PAC的距离为2d，则 （）()A121dd ()B121dd ()C121dd ()D211dd 2 把边长为a的正三角形ABC沿高线AD折成60的二面角，点A到BC的距离是（）()Aa ()B62a ()C33a ()D154a 3四面体ABCD的棱长都是1，,P Q两点分别在棱,AB CD上，则P与Q的最短距离是（）()A2 ()B32 ()C56 ()D67 4已知二面角l为45，30,成与lABBlA角，5AB，则B到平面的距离为 5 已知长方体1111DCBAABCD 中，12,51ABAA，那么直线11CB到平面11BCDA的距离是 6 如图，已知ABCD是边长为a的正方形，,E F分别是ADAB,的中点，CGABCD 面，CGa，（1）求证：/BDEFG；（2）求点B到面GEF的距离 OGFEDCBA 1 6 7在棱长为 1 的正方体1111DCBAABCD 中，（1）求：点A到平面1BD的距离；（2）求点1A到平面11DAB的距离；（3）求平面11DAB与平面DBC1的距离；（4）求直线AB到11BCDA的距离