(完整版)第一章热力学的基本规律课后作业及答案.pdf

1 第一章 热力学的基本规律 11 试求理想气体的体胀系数，压强系数和等温压缩系数T。解：已知理想气体的物态方程为nRTpV 由此得到 体胀系数TpVnRTVVp11，压强系数TpVnRTPPV11 等温压缩系数2111()TTVnRTVpVpp 1.2 试证明任何一种具有两个独立参量,T p的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数及等温压缩系数Tk，根据下述积分求得：ln(dd)TVTkp 如果1T，1Tkp，试求物态方程。解 以,T p为自变量，物质的物态方程为 (,)VV T p 其全微分为 dddpTVVVTpTp (1)全式除以V，有 d11ddpTVVVTpVVTVp 根据体胀系数和等温压缩系数Tk的定义，可将上式改写为 dddTVTkpV (2)有 ln(dd)TVTkp (3)2 若1T，1Tkp，式(3)可表示为 11ln(dd)VTpTp (4)积分 pVCT (5)1.3 测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为514.85 10K和71n7.8*10pT，和T可近似看作常量，今使铜块加热至10 C。问（1 压强要增加多少才能使铜块体积不变？（2 若压强增加，铜块的体积改多少 解：（1）有dddTVpppVTVT知，当d0V 时，有 d0dddVTppTpTTT 故 212121dTTTTppTTT 即 2121n622pTpppTT 分别设为Vxpn;，由定义得：4474.858 10;4.85 101007.8 10TxV 所以，44.07 10V 1.4 1mol理想气体，在27 C的恒温下发生膨胀，其压强由n20p准静态地降到n1p，求气体所做的功和所吸取的热量。解 将气体的膨胀过程近似看作准静态过程。根据式(1.4.2)，在准静态等温过程中气体体积由AV膨胀到BV，外界对气体所做的功为 ddlnlnBBAAVVBAVVABVpVWp VRTRTRTVVp 气体所做的功是上式的负值，将题给数据代入，得 3ln8.31 300ln207.47 10 JABpWRTJp 在等温过程中理想气体的内能不变，即 0U 根据热力学第一定律(式(1.5.3)，气体在过程中吸收的热量Q为 3 37.47 10 JQW 1.5 在25 C下，压强在 0 至n1000p之间，测得水的体积为 36231(18.0660.715 100.046 10)cmmolVpp 如果保持温度不变，将1mol的水从n1p加压至n1000p，求外界所做的功。解 将题中给出的体积与压强关系记为 2Vabpcp (1)由此易得 d(2)dVbcpp (2)保持温度不变，将1mol的水由n1p加压至n1000p，外界所做的功为 100023112d(2)d33.1J mol23BBAAVVVVWp Vp bcppbpcp 在上述计算中我们已将过程近似看作准静态过程。1.6 在0 C和n1p下，空气的密度为31.29kg m。空气的定压比热容3110.996 10 J kgkpc，1.41。今有327m的空气，试计算：(a)若维持体积不变，将空气由0 C加热至20 C所需的热量。(b)若维持压强不变，将空气由0 C加热至20 C所需的热量。(c)若容器有裂缝，外界压强为n1p，使空气由0 C缓慢地加热至20 C所需的热量。解 (a)由题给空气密度可以算得327m空气的质量1m为 11.2927kg34.83kgm 定容比热容可由所给定压比热容算出 3-113-110.996 10J kg k0.706 10 J kg k1.41pVcc 维持体积不变，将空气由0 C加热至20 C所需热量VQ为 35121()34.830.706 1020J4.920 10 JVVQm cTT(b)维持压强不变，将空气由0 C加热至20 C所需热量pQ为 35121()34.830.996 1020J6.938 10 JppQm cTT (c)若容器有裂缝，在加热过程中气体将从裂缝漏出，使容器内空气质量发生变化根据理想气体的物态方程 4 mpVRTm m为空气的平均摩尔质量，在压强和体积不变的情形下，容器内气体的质量与温度成反比。以1m、1T表示气体在初态的质量和温度，m表示温度为T时气体的质量，有 111 1mmpVRTRTmTmTmm 所以在过程(c)中所需的热量Q为 221121 11 11d()dlnTTpppTTTTQcm TTmTcmTcTT 将所给数据代入，得 3529334.83273 0.996 10 lnJ6.678 10 J273Q 1.7 抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入。当压强达到外界压强0p时将活门关上。试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能U与原来在大气中的内能0U之差为000UUp V，其中0V是它原来在大气中的体积。若气体是理想气体，求它的温度和体积。解 将冲入小匣的气体看作系统。系统冲入小匣后的内能U与其原来在大气中的内能0U由式(1.5.3)0UUWQ (1)确定。由于过程进行得很迅速，过程中系统与外界没有热量交换，0Q。过程中外界对系统所做的功可以分为1W和2W两部分来考虑。一方面，大气将系统压入小匣，使其在大气中的体积由0V变为零。由于小匣很小，在将气体压入小匣的过程中大气压强0p可以认为没有变化，即过程是等压的(但不是准静态的)。过程中大气对系统所做的功为 1000WpVp V 另一方面，小匣既抽为真空，系统在冲入小匣的过程中不受外界阻力，与外界也就没有功变换，则 20W 因此式(1)可表为 000UUp V (2)如果气体是理想气体，根据式(1.3.11)和(1.7.10)，有 000p VnRT (3)001nRTU，1nRTU (4)式中n是系统所含物质的量。代入式(2)即有 5 0TT (5)活门是在系统的压强达到0p时关上的，所以气体在小匣内的压强也可看作0p，其物态方程为 00p VnR T (6)与式(3)比较，知 0VV (7)1.8 满足 PVn=C 的过程称为多方过程，其中常数 n 名为多方指数。试证明，理想气体在多方过程中的热容量为-1nVnCCn 解法一：0dddlimddnVTnnnUP VUP VVCCPTTT 理想气体多方过程 P V=RT P V n=C 有 1ddddd0,dd0nnP VVPR TPVn VVPnP VVPdd1RP VTn 所以 1nRCCVn 另一方面，理想气体 VpVpCCRCC 所以得 -1nVnCCn ，证毕 解法二：根据热力学第一定律，有 ddd(d)nVVCTCTp VUCTd 利用理想气体的物态方程，可将npVC可化为 11nTVC (1)将上式微分，得 ddd(1)(1)VTR TVnTnp (2)将(2)代入(1)式，得 1nVRCCn，由于(1)pVVRCCC，即得 6 1.10 假设理想气体的 Cp和 CV之比是温度的函数，试求在准静态绝热过程中 T 和 V 的关系。该关系试中要用到一个函数 F(T)，其表达式为：dln1TF TT 解：准静态绝热过程中：d0Q ddUp V （1）对于理想气体，由焦耳定律知内能的全微分为 ddVUCT (2)物态方程nRTpVnRTpV （3）（2），（3）代入（1）得：ddVnRTCTVV （其中1nRCV）d11ddd1VnRCVTTTVnRTnRTTd1d1VTV 关系式 11lnd1VT 为T的函数 1V为 T 的函数。VTF1)(1)(VTF 1.11 利用上题的结果证明，当是温度的函数时，理想气体卡诺循环的效率仍为211TT。解 在是温度的函数的情形下，1.9 就理想气体卡诺循环得到的式(1.6.18)(1.6.21)仍然成立，即仍有 2111lnVQRTV (1)，3224lnVQRTV (2)32121214lnlnVVWQQRTRTVV (3)对于状态 1、4 和 2、3 有下面的关系：1124()()F T VF T V (4)111nVVVnCCCCnn 7 1223()()F T VF T V (5)从这两个方程消去1()F T和2()F T，得 3214VVVV (6)故 2121()lnVWR TTV (7)所以在是温度的函数的情形下，理想气体卡诺循环的效率仍为 2111TWQT (8)1.13 热机在循环中与多个热源交换热量，在热机从其中吸取热量的热源中，热源的最高温度为1T，在热机向其放出热量的热源中，热源的最低温度为2T。试根据克劳修斯不等式证明，热机的效率不超过211TT。解 根据克劳修斯不等式(1.9.4)，有 0iiiQT (1)式中iQ是热机从温度为iT的热源吸取的热量(吸热iQ为正，放热iQ为负)。将热量重新定义，可以将式(1)改写为 0jkjkjkQQTT (2)式中jQ是热机从热源jT吸取的热量，kQ是热机在热源kT放出的热量，jQ，kQ恒正。将式(2)改写为 jkjkjkQQTT (3)假设热机从其中吸取热量的热源中，热源的最高温度为1T，在热机向其放出热量的热源中，热源的最低温度为2T，必有 11jjjjjQQTT 21kkkkkQQTT 故由式(3)得 8 1211jkjkQQTT (4)定义1jjQQ为热机在过程中吸取的总热量，2kkQQ为热机放出的总热量，则式(4)可表为 1212QQTT (5)或 2211TQTQ (6)根据热力学第一定律，热机在循环过程中所做的功为 12WQQ 热机的效率为 2211111QTWQQT (7)1.14 理想气体分别经过等压过程和等容过程，温度由1T升至2T。假设是常数，试证明前者的熵增加值为后者的倍。解 根据式(1.10.5)，理想气体的熵函数可表达为 0lnlnpSCTnRpS (1)在等压过程中温度由1T，升到2T时，熵增加值pS为 21lnppTSCT (2)根据式(1.10.2)，理想气体的熵函数也可表达为 0lnlnVSCTnRVS (3)在等容过程中温度由1T，升到2T时，熵增加值VS为 21lnVVTSCT (4)所以 ppVVSCSC (5)1.15 温度为0 C的1kg水与温度为100 C的恒温热源接触后，水温达到100 C。试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。欲使参与过程的整个系统的熵保持不变，应如何使水温从0 C升至100 C?已知水的比热容为-114.18J gK。9 解 0 C的水与温度为100 C的恒温热源接触后水温升为100 C，这一过程是不可逆过程。为求水、热源和整个系统的熵变，可以设想一个可逆过程，它使水和热源分别产生原来不可逆过程中的同样变化，通过设想的可逆过程来求不可逆过程前后的熵变。为求水的熵变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源，其温度分布在0 C与100 C之间。令水依次从这些热源吸热，使水温由0 C升至。在这可逆过程中，水的熵变为 QST 373311273d373ln104.18 100J K1304.6J K273ppmcTSmcT水 (1)水从0 C升温至100 C所吸收的总热量Q为 35104.18 100J4.18 10 JpQmcT 为求热源的熵变，可令热源向温度为100 C的另一热源放出热量Q。在这可逆过程中，热源的熵变为 5114.18 10J K1120.6J K373S 热源 (2)由于热源的变化相同，式(2)给出的熵变也就是原来的不可逆过程中热源的熵变。则整个系统的总熵变为 1184J KSSS 总水热源 (3)为使水温从0 C升至100 C而参与过程的整个系统的熵保持不变，应令水与温度分布在0 C与100 C之间的一系列热源吸热。水的熵变S水仍由式(2)给出。这一系列热源的熵变之和为 3731273d1304.6J KpTmcTS 热源 (4)参与过程的整个系统的总熵变为 0SSS 总水热源 (5)1.1610A的电流通过一个25的电阻器，历时1s。(a)若电阻器保持为室温27 C，试求电阻器的熵增加值。(b)若电阻器被一绝热壳包装起来，其初温为27 C，电阻器的质量为10g，比热容pc为110.84J gK，问电阻器的熵增加值为多少?解 (a)以T，p为电阻器的状态参量。设想过程是在大气压下进行的，如果电阻器的温度也保持为室温27 C不变，则电阻器的熵作为状态函数也就保持不变。QST (b)如果电阻器被绝热壳包装起来，电流产生的焦耳热Q将全部被电阻器吸收而使其温度由iT升为fT，所以有 2fi()pmcTTi Rt，故 22fi231025 1300K600K100.84 10pi RtTTmc fi2311fid600ln100.84 10 lnJ K5.8J K300TppTmcTTSmcTT 10 1.17 均匀杆的温度一端为1T，另一端为2T。试计算达到均匀温度121()2TT后的熵增加值。解 以L表示杆的长度。杆的初始状态是0l 端温度为2T，lL端温度为1T，温度梯度为12TTL，(设12TT)。这是一个非平衡状态。通过均匀杆中的热传导过程，最终达到具有均匀温度121()2TT的平衡状态。为求这一过程的熵变，我们将杆分为长度为dl的许多小段。位于l到dll的小段，初温为 122TTTTlL (1)这小段由初温T变到终温121()2TT后的熵增加值为 1212()2122()d2ddd lnTTlppTTTTSclclTTTTlL (2)其中pc是均匀杆单位长度的定压热容量。根据熵的可加性，整个均匀杆的熵增加值为 12122012121212222120121211211221212()dlnlnd2()lnln2()()lnlln(lnln)ln22LlpLpppppTTTTSScTllLcTTTTTTTTc LTlTlTlTTLLLLc LTTTTTTTc LTTTTTTcTT212n1TTT 式中ppCc L是杆的定压热容量。