高中数学3.3.2简单的线性规划学案新人教A版必修.pdf

332 简单的线性规划 学习目标 1了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；2了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的最值问题 要点精讲 1.研究一个问题:设2txy，式中变量,x y满足下列条件1255334xyxyx。求t的最大值和最小值 分析：从变量 x、y 所满足的条件来看，变量 x、y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域 ABC.作一组与直线0l:2x+y=0 平行的直线l:2x+y=t,tR（或平行移动直线0l），从而观察 t 值的变化：12,32yxt 从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当 x=0，y=0 时，t=2x+y=0.点（0，0）在直线0l：2x+y=0 上.作一组与直线0l平行的直线（或平行移动直线0l)l:2x+y=t,tR.可知，当l在0l的右上方时，直线l上的点（x,y)满足 2x+y0,即 t0.而且，直线l往右平移时，可以发现 t 随之增大.在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点 B（5，2）的直线2l所对应的 t 最大，以经过点 A（1，1）的直线1l所对应的 t 最小.所以：maxt=25+2=12，mint=21+3=3。2.目标函数,线性目标函数线性规划问题，可行解，可行域,最优解：诸如上述问题中，不等式组是一组对变量 x、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于 x、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件。t=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于 t=2x+y 又是关于 x、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数 另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数 z=2x+y 在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题 那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解 范例分析 例 1给出下列命题：线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量x或y的值；线性规划中最优解指的是目标函数的最大值或最小值；线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域；线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.其中正确的是()A.B.C.D.例 2已知变量,x y满足约束条件1255334xyxyx。求2txy的最大值和最小值。例 3（1）已知变量,x y满足约束条件14xy，22xy。若目标函数zaxy(其中0a)仅在点(3,1)处取得最大值，则 a 的取值范围是 。（2）已知平面区域 D 由以(1,3),(5,2),(3,1)ABC为顶点的三角形内部边界组成。若在区域 D 上有无穷多个点(,)x y可使目标函数 zxmy 取得最小值，则m等于（）A2 B1 C1 D4 例 4设实数 x、y 满足不等式组.322,41xyyx（1）求点(x,y)所在的平面区域；（2）设1a，在（1）所求的区域内，求函数axyyxf),(的最值 规律总结 1用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）;（2）设 t=0，画出直线0l （3）观察、分析，平移直线0l，从而找到最优解（4）最后求得目标函数的最大值及最小值 2已知变量,x y满足约束条件D，当0b 时，将直线0axby向上平移时，目标函数taxby的越来越大；当0b 时，将直线0axby向上平移时，目标函数taxby的越来越小。基础训练 一、选择题 1在约束条件0101xyxyx下，则目标函数yxz10的最优解是（）A（0，1），（1，0）B（0，1），（0，-1）C（0，-1），（0，0）D（0，-1），（1，0）2 设变量xy，满足约束条件1133xyxyxy，则目标函数4zxy的最大值为（）4 11 12 14 3 设变量x、y满足约束条件632xyyxxy，则目标函数yxz 2的最小值为（）A2 B3 C4 D9 4设 R 为平面上以 A（4，1），B（1，6），C（3，2）为顶点的三角形区域（包括边界），则 z=4x3y 的最大值与最小值分别为（）A、最大值 14，最小值18 B、最大值14，最小值18 C、最大值 18，最小值 14 D、最大值 18，最小值14 5如图所示的坐标平面的可行域（阴影部分且包括边界）内，目标函数ayxz 2 取得最小值的最优解有无数个，则a为（）A、2 B、2 C、6 D、6 二、填空题 6已知1224abab,则 4a2b 取值范围是 。7已知实数x、y满足1,1,yyx则2xy的最大值是 。8设x、y满足约束条件5,3212,03,04.xyxyxy则使得目标函数65zxy的最大的点(,)x y 是 。三、解答题 9求目标函数yxz1510 的最大值及对应的最优解，约束条件是01001232122yxyxyx 10 求2100zxy 的最大值和最小值，其中,x y满足约束条件2202yxyx。四、能力提高 11在约束条件0024xyyxsyx下，当35x时，目标函数32zxy的最大值的变化范围是（）A.6,15 B.7,15 C.6,8 D.7,8 12己知bayx,满足条件：,0,0,0,0bayx且,62,62byxayx (1)试画出点),(yx的存在范围；(2)求yx32 的最大值.3.3.2 简单的线性规划参考答案 例 1解：选 D。注意对概念的辨析。例 2分析：从变量 x、y 所满足的条件来看，变量 x、y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域 ABC.作一组与直线0l：20 xy平行的直线l：2xyt（或平行移动直线0l），从而观察 t 值的变化：12,32yxt 从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当 x=0，y=0 时，t=2x+y=0.点（0，0）在直线0l：2x+y=0 上.作一组与直线0l平行的直线（或平行移动直线0l)l:2xyt.因为直线2xyt化成2yxt，斜率为2，在y轴的截距为t，当直线l往右平移时，y轴的截距为t随之增大，因此t随之减小。在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点 B（5，2）的直线2l所对应的 t 最大，以经过点22(1,)5C的直线1l所对应的t最小.所以：max2 528t，min22122 155t 。例 3（1）解：变量,x y满足约束条件14,22.xyxy 在坐标系中画出可行域，如图为四边形 ABCD，其中 A(3，1)，1,1ADABkk，目标函数zaxy（其中0a）中的 z 表示斜率为a 的直线系中的截距的大小，若仅在点 3,1处取得最大值，则斜率应小于1ABk，即1a，所以a的取值范围为(1，+)。（2）依题意，令 z0，可得直线 xmy0 的斜率为1m，结合可行域可知当直线 xmy0 与直线 AC 平行时，线段 AC 上的任意一点都可使目标函数 zxmy取得最小值，而直线 AC 的斜率为1，所以 m1，选 C。例 4解：（1）已知的不等式组等价于)2(.032,232,41)1(.032,322,41xxyyxxxyyx或 解得点),(yx所在的平面区域为所示的阴影部分（含边界）其中，4:;52:yxBCxyAB 1:;12:yxDAxyCD（2）axyyxf),(表示直线kaxyl:在 y 轴上的截距，且直线l与（1）中所求区域有公共点 1a,当直线l过顶点 C 时，axyyxf),(最大 C 点的坐标为（-3，7），axyyxf),(的最大值为a37 如果-1a2，那么当直线l过顶点 A（2，-1）时，axyyxf),(最小，最 小值为-1-2a.如果a2，那么当直线l过顶点 B（3，1）时，axyyxf),(最小，最小值为 1-3a 评注：由于直线l的斜率含参数a，所以在求截距k的最值时，要注意对参数a进行讨论，方法是直线l动起来 基础训练 1A；2B；3B；提示：设变量x、y满足约束条件2,36yxxyyx在坐标系中画 出可行域 ABC，A(2，0)，B(1，1)，C(3，3)，则目标函数2zxy 的最小值为 3，选 B.4A；5A；提示：当目标函数ayxz 2移动到与直线BC重合时，取得最小值的最优解有无数个，61,10 7已知实数x、y满足1,1,yyx 在坐标系中画出可行域，三个顶点分别 是 A(0，1)，B(1，0)，C(2，1)，2xy的最大值是 4.8(2,3).；9.解：作出其可行域如图所示，约束条件所确定的平面区域的五个顶点为（0，4），（0，6），（6，0）（10，0），（10，1），作直线 l0：10 x+15 y=0，再作与直线 l0平行的直线 l：10 x+15 y=z，由图象可知，当 l 经过点（10，1）时使 yxz1510 取得最大值，显然1151151010maxz，此时最优解为（10，1）10先作平面区域，再设xyl2:0，向上平移，过点 A(0,2)时，z取最大值max98z，过点 B(2,2)时，z取最小值min94z。11解：由42442sysxxysyx交点为)4,0(),0(),42,4(),2,0(CsCssBA，（1）当43 s时可行域是四边形 OABC，此时，87 z（2）当54 s时可行域是 OAC此时，8maxz，故选 D.12.;10)2(;0,06262)1(maxZyxyxyx 332 简单的线性规划（第 2 课时）学习目标 1.能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题特别注意求最优解是整数解的问题 2.培养观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高“建模”和解决实际问题的能力 要点精讲 线性规划的两类重要实际问题：第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大；第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小 范例分析 1产品安排问题 例 1 某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品 1 t，需耗 A 种矿石 10 t、B种矿石 5 t、煤 4 t；生产乙种产品需耗A 种矿石 4 t、B 种矿石 4 t、煤 9 t.每 1 t 甲种产品的利润是 600 元，每 1 t 乙种产品的利润是 1000 元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗 A 种矿石不超过 360 t、B 种矿石不超过 200 t、煤不超过 300 t，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到 0.1 t），能使利润总额达到最大？2物资调运问题 例 2 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为 200 万吨和 300 万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地.东车站每年最多能运 280 万吨煤，西车站每年最多能运360 万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为 1 元吨和 1.5 元吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为 0.8元吨和 1.6元吨.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少?3下料问题 例 3 要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型 钢板类型 A 规格 B 规格 C 规格 第一种钢板 2 1 1 第二种钢板 1 2 3 今需要 A、B、C 三种规格的成品分别为 15、18、27 块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？规律总结 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解（4）根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解 基础训练 一、选择题 1在不等式0153042yxyx表示的区域内,满足目标函数yxt取得最小值的整数点),(yx是()A.)2,3(B.)3,2(C.)2,1(D.)1,2(2某厂生产甲、乙两种产品，产量分别为 45 个、50 个，所用原料为 A、B 两种规格的金属板，每张面积分别为 2m2、3 m2，用 A 种金属板可造甲产品3 个，乙产品 5 个，用 B 种金属板可造甲、乙产品各 6 个，则 A、B 两种金属板各取多少张时，能完成计划并能使总用料面积最省？（）AA 用 3 张，B 用 6 张 BA 用 4 张，B 用 5 张 CA 用 2 张，B 用 6 张 DA 用 3 张，B 用 5 张 3某公司有 60 万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32倍，且对每个项目的投资不能低于 5 万元，对项目甲每投资 1万元可获得 0.4 万元的利润，对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润，该公司正确提财投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为（）A.36 万元 B.31.2 万元 C.30.4 万元 D.24 万元 二、填空题 4若yx,都是非负整数,则满足5 yx的点共有_个；5某实验室需购某种化工原料 106 千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋 35 千克，价格为 140 元；另一种是每袋 24 千克，价格为 120 元.在满足需要 的条件下，最少要花费 元.三、解答题 6某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱 1 吨需耗一级子棉 2 吨、二级子棉 1 吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉 1 吨、二级子棉 2 吨，每 1 吨甲种棉纱的利润是 600 元，每 1 吨乙种棉纱的利润是 900 元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过 300 吨、二级子棉不超过 250 吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大?7某工厂家具车间造 A、B 型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张 A、B 型桌子分别需要 1 小时和 2 小时，漆工油漆一张 A、B 型桌子分别需要 3 小时和 1 小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过 8 小时和 9 小时，而工厂造一张 A、B 型桌子分别获利润 2 千元和 3 千元，试问工厂每天应生产 A、B 型桌子各多少张，才能获得利润最大？能力提高 8（08年山东理12）设二元一次不等式组2190802140 xyxyxy，所表示的平面区域为M，使函数(01)xyaaa，的图象过区域M的a的取值范围是（）A13，B210，C2 9，D 10 9，9A 市、B 市和 C 市分别有某种机器 10 台、10 台和 8 台现在决定把这些机器支援给 D 市 18 台，E 市 10 台已知从 A 市调运一台机到 D 市、E 市的运费分别为200 元和 800 元；从 B 市调运一台机器到D 市、E 市的运费分别为 300 元和 700元；从 C 市调运一台机器到 D 市、E 市的运费分别为 400 元和 500 元设从 A市调 x 台到 D 市，B 市调 y 台到 D 市，当 28 台机器全部调运完毕后，用 x、y 表示总运费 W（元），并求 W 的最小值和最大值 3.3.2 简单的线性规划（第 3 课时）参考答案 例 1分析：将已知数据列成下表：产品 消耗量 资源 甲产品（1 t）乙产品(1 t)资源限额（t）A 种矿石（t）10 4 300 B 种矿石(t)5 4 200 煤(t)4 9 360 利润（元）600 1000 解：设生产甲、乙两种产品分别为 x t、y t，利润总额为 z 元，那么;0,0,36094,20045,300410yxyxyxyx 目标函数为：z=600 x+1000y.作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域.作直线l:600 x+1000y=0,即直线 l:3x+5y=0,把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点 M，且与原点距离最大，此时 z=600 x+1000y 取最大值.解方程组,36094,20045yxyx 得 M 的坐标为 x=2936012.4,y=29100034.4.答：应生产甲产品约 12.4 t，乙产品 34.4 t，能使利润总额达到最大 例 2解：设甲煤矿向东车站运l万吨煤，乙煤矿向东车站运y万吨煤，那么总 运费 z=x+1.5(200 x)+0.8y+1.6(300y)(万元)即 z=7800.5x0.8y.x、y 应满足：360)300(2002800300020000yxyxyxyx 作出上面的不等式组所表示的平面区域 设直线 x+y=280 与 y 轴的交点为 M，则 M(0，280)把直线 l：0.5x+0.8y=0 向上平移至经过平面区域上的点 M 时，z 的值最小 点 M 的坐标为(0，280)，甲煤矿生产的煤全部运往西车站、乙煤矿向东车站运 280 万吨向西车站运 20万吨时，总运费最少 例 3解：设需截第一种钢板 x 张，第二种钢板 y 张，根据题意可得：.0,0,273,182,152yxyxyxyx 作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域：目标函数为 z=x+y，作出在一组平行直线 x+y=t（t 为参数）中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线 x+3y=37 和直线 2x+y=15 的交点 A（539,518），直线方程为x+y=557 由于539518和都不是整数，而最优解（x，y）中，x、y 必须满足 x，yZ，所以，可行域内点(539,518)不是最优解 经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线是 x+y=12,经过的整点是 B(3,9)和 C(4,8)，它们是最优解 答：要截得所需规格的三种钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板 3 张、第二种钢板 9 张；第二种截法是截第一种钢板 4张、第二种钢板 8 张，两种方法都最少要截得两种钢板共 12 张 基础训练 1D；2A；提示：设 A、B 两种金属板各取,x y张，则36455650,23xyxyx yNzxy；3B；提示：设投资甲、乙两个项目各,x y万元，则 60325,50.40.6xyxyxyzxy；421;5500；6解：将已知数据列成下表：产品 甲种棉纱（1 吨）乙种棉纱（1 吨）资源限额（吨）一级子棉（吨）2 1 300 二级子棉（吨）1 2 250 设 生产甲、乙两种棉纱分别为 x 吨、y 吨，利润总额为 z 元，那么 0025023002yxyxyx z=600 x+900y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如图)，即可行域 作直线 l：600 x+900y=0，即直线 l：2x+3y=0,把直线 l 向右上方平移至 l1的位置时，直线经过可行域上的点 M，且与原点距离最大，此时 z=600 x+900y 取最大值.解方程组 25023002yxyx,得 M 的坐标为 x=3350117，y=320067 答：应生产甲种棉纱 117 吨，乙种棉纱 67 吨，能使利润总额达到最大 7解：设每天生产 A 型桌子 x 张，B 型桌子 y 张 则0,09382yxyxyx，目标函数为：z=2x+3y 作出可行域：把直线l：2x+3y=0 向右上方平移至l的位置时，直线经过可行域上的点 M，且与原点距离最大，此时 z=2x+3y 取最大值 解方程9382yxyx得 M 的坐标为（2，3）.答：每天应生产 A 型桌子 2 张，B 型桌子 3 张才能获得最大利润 利 润（元）600 900 7解：区域M是三条直线相交构成的三角形（如图）显然1a，只需研究过(1,9)、(3,8)两种情形，19a 且38a 即29.a 9解：由题意可得，A 市、B 市、C 市调往 D 市的机器台数分别为 x、y、（18-x-y），调往 E 市的机器台数分别为（10-x）、（10-y）、8-（18-x-y）于是得 W=200 x+800(10-x)+300 y+700(10-y)+400(18-x-y)+5008-（18-x-y）=-500 x-300 y+17200 设17200100T，其中5 x+3 y,又由题意可知其约束条件是 18101001008180100100yxyxyxyx 作出其可行域如图：作直线 l0：5 x+3 y，再作直线 l0的平行直线 l：5 x+3 y 当直线 l 经过点（，10）时，取得最小值，当直线 l 经过点（10，8）时，取得最大值，所以，当 x=10，y=8 时，Wmin=9800（元）当 x=0，y=10 时，Wmax=14200（元）答：的最大值为 14200 元，最小值为 9800 元 3.3.2 简单的线性规划（第 3 课时）学习目标 1进一步提高将实际问题转化为线性规划问题的能力；2能将代数问题转化为斜率或距离等几何问题。要点精讲 1、两点11,A x y，22,B xy连线的斜率公式：2121AByykxx。2两点11,A x y，22,B xy之间的距离：221212ABxxyy。3以点,C a b为圆心，r为半径的圆方程：222xaybr。平面区域问题有以下几种常见类型：（1）根据题设条件画出平面区域，并求出区域面积、边界曲线方程；（2）计算平面区域中整点的个数；（3）运用平面区域求与之相关的最值、取值范围等问题。范例分析 1根据题设条件画出平面区域 例 1A=,|1,1x yxy，B=22,|1x yxy,C=,|1x yxy，求 A,B,C 之间的包含关系？2求平面区域内整点的个数 例 2在直角坐标平面上，求满足不等式组313100yxyxxy的整点个数。3根据平面区域求有关最值、取值范围 例 3画出30502400,0 xyxyxyxy所表示的平面区域：（1）求22(1)(1)zxy的最值；（2）求11yzx的取值范围。3利用平面区域求解代数问题 例 4（1）设,)(2caxxf且4(1)1,1(2)5ff ，试用线性规划方法求)3(f 的取值范围是 。（2）实系数方程220 xaxb的两根,满足01,12，则21ba的取值范围是（）A、1,14 B、1,12 C、1 1,2 4 D、1 1,2 2 引申：求22zab的取值范围。规律总结：中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法数学建模法。通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力。基础训练 一、选择题 1满足2 yx的整点的点（x，y）的个数是（）A5 B8 C12 D13 2（08 年福建文 10)若实数 x、y 满足10,0,2,xyxy，则yx的取值范围是（）A.（0，2）B.（0，2）C.(2,+)D.2，+)3已知圆O的方程为224xy，平面区域xya在圆O内，则正实数a的取值范围是（）A、02a B、02a C、01a D、04a 4如果点P在平面区域22020210 xyxyy上，点Q在曲线22(2)1xy上，那么PQ的最小值为（）32 415 2 21 21 5方程2110 xa xab 的两根为x1，x2，并且 0 x11x2，则ba的 取值范围是（）A、11,2 B、11,2 C、12,2 D、12,2 二、填空题 6已知点(,)P x y的坐标满足条件41xyyxx，点O为坐标原点，那么|PO的 最小值等于_,最大值等于_.7平面直角坐标系xOy中，点,P x y满足条件：232yx，则点P所在区域面积为 。8如果实数,a b满足条件：20101abbaa，则2bab的最大值为 三、解答题 9已知250350250 xyxyxy，试求2211Mxy的最大值与最小值，何时达到最值？10已知 432,0,1f xaxba x，若 2f x 恒成立，求ab的最大值。四、能力提高 11设,x y满足约束条件04312xyxxy，则231xyx取值范围是 （）.A3,11 .B2,6 .C3,10 .D1,5 12、在东西方向直线延伸的湖岸上有一港口 A，一艘机艇以40/km h的速度从 A 港出发，30 分钟后因故障而停在湖里，已知机艇出发后，先按直线前进，以后又改成正北，但不知最初的方向和何时改变的方向，如果去营救，用图示表示营救区域。3.3.2 简单的线性规划（第 3 课时）参考答案 例 1 画出三个点集，集合 A 表示以四点1,1 为顶点的正方形（含内部），集合 B表示单位圆（含内部），集合 C 表示以四点 1,0,0,1为顶点的正方形（含内部）。因此，ABC 例 2解：作出不等式组所表示的平面区域如图，即OCD内部（包括边界）。其中100,0A，0,100B，75,25C，25,75D。易知区域OAB（包括边界）中整点的个数为：12310151 1015151。下面考察OAC（不包括边OC上的点）中整点个数。在 3100yxy中，当24,23,2,1,0y 时，x的 整 数 值 的 个 数 依 次 为4,8,96,100。故在这个区域中的整点个数为：48 12961001300。由于OAC和OBD关于直线yx对称，因此满足条件的整点个数为：51512 13002551。评注：充分利用图形的对称性可以减少运算量。例 3解：（1）当0,1xy时，min1z；当3,2xy时，max17z；（2）11yzx表示点,P x y与1,1A 连线的斜率，1,2z。例4（1）1,20 解：由 已 知，约 束 条 件 为41145acac ，(3)9fac 1,20（2）解：令 22f xxaxb，由01,12得 020112024220fbfabfab，令21bka，画出可行域，结合图形可得1,14k，选 A。引申：22OPab，当1,0P 时，1OP，当3,1P 时，10OP，故221,10zab。基础训练 1D 分2,1,0,1,2x 讨论 2解：由题设1yx，所以11yxx，又012 11xy ，因此2yx 又yx可看做可行域中的点与原点构成直线的斜率，画出可行域也可得出答案。3A 4A 提示：设0,2C，1r，则32PQPCr。5C 提示：令 211f xxa xab 由 0 x11x2得，0010ff，即 0101320fabfab，再令bka，画出可行域，结合图形可得 122ba 。62，10；解：画出可行域，如图所示：易得 A（2，2），OA2 2，B（1，3），OB10，C（1，1），OC2 故|OP|的最大值为10，最小值为2.720；提示：由已知232yx，画出可行域，点P所在区域面积为20。832 提示：建立坐标系aOb，用线性规划求得 1,3bka，222321,112bkabkk 9解：画出平面区域，M 表示平面区域内的点到点1,1A 距离的平方，易知当 3,4xy时，max41M；当2,1xy时，min13M。10解：函数 yf x在 0,1上的图象是一条线段，由 2f x 恒成立，得 0221232fbafba，画出可行域，当37,42ab时，ab的最大值为174。11A 提示：1121yzx ，11,51ykx，3,11z；12解：建立如图所示的直角坐标系，设机艇先沿 OP 方向前进m到达 P 处，然后向北前进n到达 Q，设0,2XOP，,Q x y，可知 cossinxmynm，20mn。所以 222222sinAQxymnmn2400mn。因为机挺中途左拐，所以40022 yx，又因为 nmnmyx4sin2cossin20nm 即2040022yxyx。上述不等式组表示机挺在第一象限的营救区域，根据问题的对称性（关于y轴对称），可得营救的区域为上图所示阴影区域，但不包括圆周上的点。