高考文科数学复习知识清单不等式.pdf
第 1 页 高考数学复习知识清单不等式的性质 知识清单：1不等式的性质：(对称性或反身性)abba;(传递性)abbcac，;(可加性)a ba c b c ,此法则又称为移项法则;(同向可相加)abcdacbd，(可乘性)0a b cac bc，；0a b cac bc，.(正数同向可相乘)00abcdacbd，(乘方法则)00nnabnNab（）(开方法则)0,20nnabnN nab（）(倒数法则)110ababab，注意：条件与结论间的对应关系，是“”符号还是“”符号；运用不等式性质的关键是不等号方向的把握，条件与不等号方向是紧密相连的。运用不等式的性质可以对不等式进行各种变形,虽然这些变形都很简单,但却是我们今后研究和认识不等式的基本手段.2定理 1：如果a,bx|x是正实数，那么2ba ab（当且仅当a=b时取“=”号）.注：该不等式可推出:当a、b为正数时,第 2 页 2221122abababab（当且仅当a=b时取“=”号）即:平方平均数算术平均数几何平均数调和平均数 2.含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：由3332223()()abcabca b c abcab ac bc 可推出3333abcabc 如果a,b,cx|x是正实数，那么33abcabc.（当且仅当a=b=c时取“=”号）3.绝对值不等式：注：均值不等式可以用来求最值(积定和小，和定积大),特别要注意条件的满足：一正、二定、三相等.2010 高考数学复习知识清单不等式证明 知识清单：一、常用的证明不等式的方法 1比较法 比较法证明不等式的一般步骤：作差变形判断结论；为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负。2综合法 利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数的定理）和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法；利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件。综合法证明不等式的逻辑关系是：12nABBBB，和从已知条件A出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证第 3 页 明的结论B。3分析法 证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。注意：（1）“分析法”是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”；（2）综合过程有时正好是分析过程的逆推，所以常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程。二、不等式的解法 解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不等式的变形”，是研究数学的基本手段之一。高考试题中，对解不等式有较高的要求，近两年不等式知识占相当大的比例。1不等式同解变形（1）同解不等式（(1)f xg x()()与f xF xg xF x()()()()同解；（2）mf xg x0，()()与mf xmg x()()同 解，mf xg x0，()()与mf xmg x()()同解；（3）f xg x()()0与f xg xg x()()()00同解）；2一元一次不等式 解一元一次不等式（组）和一元二次不等式（组）是解其他各类第 4 页 不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。axbaaa分()()()102030情况分别解之。3一元二次不等式 axbxca200()或axbxca200()分a 0和a 0情况分别解之，还要注意 bac24的三种情况，即 0或 0或 0，最好联系二次函数的图象。4分式不等式 分 式 不 等 式 的 等 价 变 形：)()(xgxf0f(x)g(x)0，)()(xgxf00)(0)()(xgxgxf。5简单的绝对值不等式 绝对值不等式适用范围较广，向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉和到绝对值不等式。高考试题中，对绝对值不等式从多方面考查。解绝对值不等式的常用方法：讨论法：讨论绝对值中的式于大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般不等式；等价变形：解绝对值不等式常用以下等价变形：|x|ax2a2ax0)，|x|ax2a2xa 或 x0)。第 5 页 一般地有：|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或 f(x)g(x)。6指数不等式 7对数不等式(log)logloglogabbnmbbaanaabm001，等，（1）当a 1时，g xf xg x()()()0；（2）当01a时，f xf xg x()()()0。8线性规划（1）平面区域 一般地，二元一次不等式0AxByC在平面直角坐标系中表示0AxByC某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式0AxByC所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把直线画成实线。说明：由于直线0AxByC同侧的所有点的坐标(,)x y代入AxByC，得到实数符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特殊点00(,)xy，从00AxByC的正负即可判断0AxBy C表示直线哪一侧的平面区域。特别地，当0C 时，通常把原点作为此特殊点。（2）有关概念 引例：设2zxy，式中变量,x y满足条件4335251xyxyx，求z的最大值和最小值。由题意，变量,x y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些O y x A C B 43 0 xy 1x 3525 0 xy 第 6 页 平面区域的公共区域。由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当0,0 xy时，20zxy，即点(0,0)在直线0l：20 xy上，作一组平行于0l的直线l：2xyt，tR，可知：当l在0l的右上方时，直线l上的点(,)x y满足20 xy，即0t，而且，直线l往右平移时，t随之增大。由图象可知，当直线l经过点(5,2)A时，对应的t最大，当直线l经过点(1,1)B时，对应的t最小，所以，max2 5212z，min2 1 13z 。在上述引例中，不等式组是一组对变量,x y的约束条件，这组约束条件都是关于,x y的一次不等式，所以又称为线性约束条件。2zxy是要求最大值或最小值所涉和的变量,x y的解析式，叫目标函数。又由于2zxy是,x y的一次解析式，所以又叫线性目标函数。一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(,)x y叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。
