高考真题理科数学(北京卷).pdf
高考真题 理科数学(北京卷)理科数学 考试时间：_分钟 题型 单选题 填空题 简答题 总分 得分 单选题（本大题共 8 小题，每小题_分，共_分。）1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.若，满足，则的最大值为（）A.0 B.3 C.4 D.5 3.执行如图所示的程序框图，若输入的值为 1，则输出的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4 4.设，是向量，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知，且，则（）A.B.C.D.6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.B.C.D.7.将函数图象上的点向左平移（）个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（）A.，的最小值为 B.，的最小值为 C.，的最小值为 D.，的最小值为 8.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 填空题（本大题共 6 小题，每小题_分，共_分。）9.设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则_.10.在的展开式中，的系数为_.（用数字作答）11.在极坐标系中，直线与圆交于 A，B 两点，则_.12.已知为等差数列，为其前项和，若，则_.13.双曲线（，）的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点，若正方形 OABC 的边长为 2，则_.14.设函数.若，则的最大值为_；若无最大值，则实数的取值范围是_.简答题（综合题）（本大题共 6 小题，每小题_分，共_分。）在 ABC 中，.15.求 的大小；16.求 的最大值.A、B、C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；17.试估计 C 班的学生人数；18.从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；19.再从 A、B、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是 7，9，8.25（单位：小时），这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记，表格中数据的平均数记为，试判断和的大小，（结论不要求证明）如图，在四棱锥中，平面平面，.20.求证：平面；21.求直线与平面所成角的正弦值；22.在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.设函数，曲线在点处的切线方程为，23.求，的值；24.求的单调区间.已知椭圆 C：（）的离心率为，的面积为 1.25.求椭圆 C 的方程；26.设的椭圆上一点，直线与轴交于点 M，直线 PB 与轴交于点 N.求证：为定值.设数列 A：，,().如果对小于()的每个正整数都有 ，则称是数列 A 的一个“G 时刻”.记“是数列 A 的所有“G 时刻”组成的集合.27.对数列 A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；28.证明：若数列 A 中存在使得，则；29.证明：若数列 A 满足-1（n=2,3,N）,则的元素个数不小于-.答案 单选题 1.C 2.C 3.B 4.D 5.C 6.A 7.A 8.B 填空题 9.10.60.11.2 12.6 13.2 14.，.简答题 15.（1）；16.（2）.17.（1）40；18.（2）；19.20.见解析；21.；22.存在，23.（），；24.（2）的单调递增区间为.25.（1）；26.详见解析.27.（1）的元素为和；28.详见解析；29.详见解析.解析 单选题 1.由,故选 C 2.作出如图可行域，则当 z=2x+y 经过点 P 时，取得最大值，而 P（1,2），所以最大值为 4，故选 C.3.输入，则，；进入循环体，否，否，此时，输出，则，选 B.4.，故是既不充分也不必要条件，故选 D 5.A：由，得，即，A 不正确；B：由及正弦函数的单调性，可知不一定成立；C：由，得，故，C 正确；D：由，得，不一定大于 1，故不一定成立，故选 C.6.分析三视图可知，该几何体为一三棱锥，其体积，故选 A.7.个单位，故选 A 8.解：取两个球共有 4 种情况：红+红，则乙盒中红球数加 1 个；黑+黑，则丙盒中黑球数加 1 个；红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加 1 个；黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加 1 个 设一共有球 2a 个，则 a 个红球，a 个黑球，甲中球的总个数为 a，其中红球 x 个，黑球 y个，x+y=a 则乙中有 x 个球，其中 k 个红球，j 个黑球，k+j=x；丙中有 y 个球，其中 l 个红球，i 个黑球，i+l=y；黑球总数 a=y+i+j，又 x+y=a，故 x=i+j 由于 x=k+j，所以可得 i=k，即乙中的红球等于丙中的黑球 故选 B 填空题 9.，故填：.10.根据二项展开的通项公式可知，的系数为，故填：.11.因此 AB=2，故填 2 12.是等差数列，故填：6 13.14.如图作出函数与直线的图象，它们的交点是，由，知是函数的极大值点，当时，因此的最大值是；由图象知当时，有最大值是；只有当时，由，因此无最大值，所求的范围是，故填：，简答题 15.（1）根据余弦定理公式求出 cosB 的值，进而根据 B 的取值范围求 B 的大小；16.17.（1）由已知可得，抽出的 20 名学生中，来自 C 班的学生有 8 名，根据分层抽样方法，C班的学生 18.19.20.（1）21.22.设是棱上一点，则存在使得.因此点.因为平面，所以平面当且仅当，即，解得.来源:学&科&网 Z&X&X&K 所以在棱上存在点使得平面，此时.23.24.从而.综上可知，故的单调递增区间为.25.（1）26.（2）由（）知，27.（1）G(A)的元素为 2 和 5.28.29.设，记.则.对，记.如果，取，则对任何.从而且.又因为是中的最大元素，所以.从而对任意，特别地，.
