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高中数学数列专题大题组卷 一.选择题（共9小题）1.等差数列a的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为（A.130 B.170 C.210 D.260 2.已知各项均为正数的等比数列an,aa2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=(A.:1B.7 C.6 D.二 丁 3.数列aj的前 n 项和为 Sn,若 a1二1,an+1=3Sn(n1),则 a6=(A.3X44 B.3X44+1 C.44 D.44+1 6.已知等差数列aj满足a2+a4=4,a3+%=10,则它的前10项的和SIO=（A.138 B.135 C.95 D.23 7.设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm 1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=(A.3 B.4 C.5 D.6 8.等差数列an的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列，则an的前n项和Sn=()A.n(n+1)B.n(n-1)C.ntn+lj D.“2 2 9.设an是等差数列，下列结论中正确的是()A,若 a1+a20,则 a2+a30 B.若 a1+a30,则 a+a20 C.若 0a1m,则 a2 a 3 D.若 a10 二.解答题（共14小题）10.设数列an（n=1,2,3,）的前 n 项和 Sn满足 Sn=2an-a1，且 a1，a2+1,a3成等差数列.(I)求数列时的通项公式；(II)记数列=L的前n项和为Tn,求使得|Tn-1|1时，记Cn二,求数列cn的前n项和Tn.bn 12.已知数歹II an?两足 a1二1,an+1=3ai+1.(I)证明斗+当是等比数列，并求an的通项公式；(n)证明：1+1+.+L,+l-bn=bn+i _ 1(n C N)2 3 n(I)求 an与 bn；(n)记数列anbn的前n项和为Tn,求Tn.19.已知数列an是递增的等比数列，且ai+a4=9,a2a3=8.(1)求数列an的通项公式;(2)设Sn为数列J an的前n项和，bn9七十1,求数列J bn的前n项和Tn.20.设数列an的前n项和为&,已知2&=3n+3.(I)求an的通项公式；(H)若数列bn,满足anbn=log3an,求bn的前n项和Tn.21.设数列an的前n项和为&.已知a1二a,an+1=S+3n,nCN.由(I)设bn=S-3n,求数列 bn的通项公式；(H)若an+1 an,n C N*,求a的取值范围.22.已知等差数列an的公差为2,前n项和为Sn,且S,&成等比数列.(I)求数列an的通项公式；(H)令bn=(1)n 1,求数歹I bn的前n项和Tn./&什1 23.数列an?两足 a1二1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),nCN.(I)证明：数列0是等差数列；n(H)设bn=3n?H，求数歹Ibn的前n项和Sn.高中数学数列专题大题组卷 参考答案与试题解析 一.选择题（共9小题）1.（1996?全国）等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前 3m项和为（）A.130 B.170 C.210 D.260【分析】利用等差数列的前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组,用m表示出a1、d,进而求出S3m；或利用等差数列的性质，Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列进行求解.【解答】解：解法1：设等差数列an的首项为a1,公差为d,m(iD-1)ma +-n-d=30 2m(2m _1)2 ina +-d=100 10 5+幻 2，ID .S3m=3ma1+=d=3mFi+2 m 工 故选C.解法2：二 设an为等差数列，Sm,S2m-Sm,S3m-22m 成等差数列，即30,70,S3m-100成等差数列,30+S3m-100=70 x 2,解得 23m=210.故选C.【点评】解法1为基本量法，思路简单，但计算复杂；解法 2使用了等差数列的 一个重要性质，即等差数列的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,成等差 数列.2.(2010双纲版I)已知各项均为正数的等比数列 an,ai%a3=5,a7a8a9=10,则 由题意得方程组 解得 d=4?,a=m 40=210.a4%a6=()A.:三B.7 C.6 D.【分析】由数列an是等比数列，则有aia2a3=5?a23=5；a7a8a9=10?a83=10.【解答】解：aa2a3=5?a23=5;a7a8a9=10?a83=10,-2 _ a5=O2a8,一 ag二agag二50，-/a5a=a：二，故选A.【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幕的运算、根式与指数式的互化 等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.3.(2011?四川)数列an的前 n 项和为&,若 a1二1,an+1=3S(n1),则 a6=()A.3X44 B.3X44+1 C.44 D.44+1【分析】根据已知的an+1=3S,当n大于等于2时得到an=3$-1,两者相减，根 据Sn-S-1=an,得到数列的第n+1项等于第n项的4倍(n大于等于2),所以 得到此数列除去第1项，从第2项开始，为首项是第2项，公比为4的等比数列，由a1=1,an+1=3S,令n=1,即可求出第2项的值，写出2项以后各项的通项公式，把n=6代入通项公式即可求出第 6项的值.【解答】解：由an+1=3S,得到an=3S-1(n2),两式相减得：an+1 an=3(Sn-Sn 1)=3an,贝U an+1=4an(n 2),又 a=1,a2=3S=3a=3,得到此数列除去第一项后，为首项是 3,公比为4的等比数列，所以 an=a2qn 2=3X4n 2(n2)则 a6=3X 44.故选A【点评】此题考查学生掌握等比数列的确定方法，会根据首项和公比写出等比数 列的通项公式，是一道基础题.4.（2013双纲版）已知数列an满足3an+i+an=0,a2=-l,则an的前10项和 3 等于（）A.6（1 3 1）B.-k（l-3-1。）C 3（13 10）D.3（1+3 10）【分析】由已知可知，数列an是以-工为公比的等比数列，结合已知七二-刍可 3 j 3 求a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：:3an+1+an=0 工L%3 数列an是以-1为公比的等比数列 3 _；;二 a1=4 4口-（一严 由等比数列的求和公式可得，S=3（1-3 1）叼 故选C【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础 试题 5.（2013?新课标H）等比数列2的前n项和为&,已知&二女+化诩，a5=9,WJ a1=(A.【分析】设等比数列an的公比为q,利用已知和等比数列的通项公式即可得到 【解答】解：设等比数列an的公比为q,&=%+1021,%=9,L 1，解得，1.产田二9%节 _ 1.为-9.故选C.D.,解出即可.【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键.6.（2008?全国卷I）已知等差数列an满足32+/=4,a3+a5=10,则它的前10项 的和So二（）A.138 B.135 C.95 D.23【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前 n项和，根据 a2+a4=4,a3+a5=10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出 基本量（首项及公差），进而代入前n项和公式，即可求解.【解答】解：丁（生+a5）（a2+%）=2d=6,d=3,ai=-4,Q J。（10-l）d g Sio=10ai+=95.2 故选C【点评】在求一个数列的通项公式或前n项和时，如果可以证明这个数列为等差 数列，或等比数列，则可以求出其基本项（首项与公差或公比）进而根据等差或 等比数列的通项公式，写出该数列的通项公式，如果未知这个数列的类型，则可 以判断它是否与某个等差或等比数列有关，问接求其通项公式.7.（2013?新课标I）设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm 产-2,Sm=0,Sn+1=3,则 m=（）A.3 B.4 C.5 D.6【分析】由an与Sn的关系可求得am+1与am,进而得到公差d,由前n项和公式 及Sm=0可求得a1，冉由通项公式及am=2可得m值.【解答】解：am=Sn-Sm 1=2,am+1=Sm+1-Sn=3,以L d=am+1 am=1,Sm=0,彳3 ai=-2,2 所以 am=-2+(m 1)?1=2,解得 m=5,故选C.【点评】本题考查等差数列的通项公式、前 n项和公式及通项an与&的关系，考查学生的计算能力.8.(2014?新课标H)等差数列an的公差为2,若a2,为，a8成等比数列，则a/的前n项和Sn=()A.n(n+1)B.n(n-1)C 皿D.二(一 2 2【分析】由题意可得a42=(a4-4)(a4+8),解得a4可得a1，代入求和公式可得.【解答】解：由题意可得a42=%?a8,即 a42=(a4 4)(a4+8),解得a4=8,a1=a4-3X2=2,.c n(n-1).Sn=na1+-d,=2n+-x 2=n(n+1),J 故选：A.【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题.9.(2015?|匕京)设an是等差数列，下列结论中正确的是()A.若 a1+a20,则 az+a30 B.若 a1+a30,则 a1+a20 C.若 0a1a2,则 a2ai 凤3 D.若 a10【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论.【解答】解：若 a1+m0,贝 2a1+d0,a2+a3=2ai+3d2d,d0 时，结论成立，即A不正确；若 a1+as0,a1+a2=2a1+d0,a2+a3=2ai+3d2d,d0 时，结论成立，即 B 不正确；an 是等差数列，0a1 2d a a 3，,.a2 Jd1%，即 C 正确；若 ai0,贝(a2ai)(a2a3)=-d20,即 D 不正确.故选：C.【点评】本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础.二.解答题(共14小题)10.(2015?四川)设数列an(n=1,2,3,)的前n项和与满足Sn=2an-ai,且ai,a2+1,央成等差数列.(I)求数列an的通项公式；(II)记数列L的前n项和为Tn,求使得|Tn-1|2),再由已知a1，a2+1,a3 成等差数列求出数列首项，可得数列an是首项为2,公比为2的等比数列，则 其通项公式可求；(R)由(I)求出数列的通项公式，再由等比数列的前 n项和求得Tn,结合IT-112),即 an=2an 1(n12),从而 a2=2a1,a3=2a2=4a1,又.a1,a2+1,a3成等差数列,a1+4a1=2(2a1+1),解得：a1二2.数列an是首项为2,公比为2的等比数列.故%2n 由 IT-得 11-1 11000.n 1 1000 2n 1000 9 _10(H)由(I)得：29=51210.于是，使|Tn-1|成立的n的最小值为10.1000【点评】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n项和 公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.11.（2015?湖北）设等差数列an的公差为d,前n项和为等比数列3的 公比为 q,已知 b二ai,b2=2,q=d,Sio=100.（1）求数列an,bn的通项公式（2）当d1时，记Cn=,求数列cn的前n项和Tn.【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可;法及等比数列的求和公式，计算即可.晨或 a时，an=2n-1,bn=2n1;*2,an=L(2n+79),bn=9?(y)n-1;(2)当 d1 时，由(1)知 an=2n 1,bn=2n1,.又=1+3?=+5二+7?3+9?斗+-+(2nT)?r,2 2 2 2 2n 1.W*狂+3?3+5?占+7?二+(2n-3)?-r+(2n-1)江 上 二 丁 丁 M.1-r n 1 1 1 1 1/c.、c 2n+3 -Tn=2+9+：.+d+,+-i-(2n-1)?=3-,2 2 22 23 24 2n 2 2n 2n.Tn=6里埠 j-1【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注（2）当 d1 时，由（1）知 Cn=2n-1 2n-1，写出Tn、1Tn的表达式，利用错位相减 2【解答】解：（1）设a1=a,由题意可得、(1 海 45*100 Lad=2 意解题方法的积累，属于中档题.12.（2014渐课标H）已知数列an满足a1二1,1+1=34+1.（I）证明an+皆是等比数列，并求an的通项公式；（H）证明：+2 时，3n-1 3n-3n 1,-1,、3n-l 3*-3-3n-1.当n-1时，二成立,a I d+-+0,&二ai+(n-1)d,an+i=ai+nd,令 Cn=,%田 贝口 Cn=-；-J1-：-1 力+(0-l)d(0+nd)d+(口-l)d/Ed Ci+C2+-+Cn i+Cn-二+二-一+-/-1 d a aj+d a+d a+2d Cn_ 1)d/+nd=-T1 d%勺+nd=aj(a|+nd)=2，al+a!dn 又.数列-的前n项和为二一，an*an+l 2n+l 一，a1 d=2 X.1,ai=i 或-i(舍),d=2,an=i+2(nT)=2n-i;(2)由(i)知 bn=(an+i)?2%=(2ni+i)?22n i=n?4n,二 Tn=bi+b2+bn=i?4i+2?42+n?4n,4Tn=i?42+2?43+(n-i)?4n+n?4n+i,两式相减，得3Tn=4i+42+,+4n-n?4n+i=驾2?4n+i且，3 3.丁(3n-D*4n+1+4 一 Tn=-g-【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注 意解题方法的积累，属于中档题.18.(2015?浙江)已知数列an和bn潴足 ai=2,bi=1,an+i=2&(nCN),*、bi+b2+b3+,+bn=bn+i _ 1(n C N)2 3 n(I)求 an与 bn；(n)记数列anbn的前n项和为Tn,求Tn.【分析】(I)直接由ai=2,an+i=2an,可得数列an为等比数列，由等比数列的 通项公式求得数列an的通项公式；再由 bi=i,bi+-lb2+lb3+-+lbn=bn+i-i,取 n=i 求得 bz=2,当 n2 时，得另一 2 3 n 递推式，作差得到二b，-b，整理得数列1为常数列，由此可得bn n n 什1 n 口 的通项公式；(H)求出anbn=n-2n，然后利用错位相减法求数列anbn的前n项和为Tn.【解答】解：(I)由 ai=2,an+i=2an,得己口二 2n(nE N*).由题意知，当n=i时，bi=b2-i,故b2=2,当n2时，bi+Xb2+-b3+-+i=bn-i,和原递推式作差得,2 3 n-1-1，bn=n(n6 N*)；(H)由(I)知，二m231，因此T2+2*2*+3叩3+2n 2Tn=22+2-23+3-24+n-2RF1,两式作差得：一 丁丹+以+/-n2叫 T(口一 1)2向+2(n N*).【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识,同时考查数列求和等基本思想方法，以及推理论证能力，是中档题.19 19(20i5?安徽)已知数列an是递增的等比数列,且 ai+a4=9,a2a3=8.-bn,整理得:n n nj 1 n bfrH _b n+1-n (1)求数列an的通项公式;(2)设sn为数列J an的前n项和，bn=/+1,求数列J bn的前n项和Tn.【分析】(1)根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列 an的通项 公式；(2)求出bn=,利用裂项法即可求数列bn的前n项和Tn.S目%】【解答】解：(1).数歹Ian是递增的等比数歹I，且ai+a4=9,a2a3=8.ai+a4=9,aia4=&a3=8.解得 ai=1,a4=8或 ai=8,a4=1(舍)，解得q=2,即数列an的通项公式an=2n 1;(2)=2n-1,1-q-b _ 4+l _工+_L _-n s s s=s s，DR叶 1 什1 JR%+l,数歹!J bn 的前 n 项和 Tn=-+,+-7-甘=甘=1 一 S1 52 S2 S3+Sn+l S1 Sn+1 X31 n,于是可求得 Ti=bi=1;当 n1 时，Tn=bi+b2+bn=1+(1X3+2X3*2*+1J o (n-1)X31 n),利用错位相减法可求得bn的前n项和品.【解答】解：(I)因为2Sn=3n+3,所以2a1=31+3=6,故a1=3,当 n1 时，2s-1=3n-1+3,此时，2an=2Sr 2Sn 1=3n-3n 1=2X 3n1,即 an=3n1,3,n=l 3”一匕 nL(H)因为 anbn=log3an,所以 bi=-,3 当 n1 时，bn=31 n?10g33n 1=(n 1)x 31 n,所以T=b1；二 当 n1 时，Tn=b1+b2+bn+(1 x3 1+2X 3 2+-+(n 1)3 所以 3Tn=1+(1X30+2X3 1+3X3 2+T(n-1)X 32 n),两式相减得：2Tn*+(30+3 1+3 2+-+32 n-(n1)X3n)3【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用,相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题.21.(2008?全国卷H)设数列an的前n项和为&.已知a1=a,an+1=S+3n,n N*.由(I)设bn=S-3n,求数列bn的通项公式；(H)若an+1 an,n C N*,求a的取值范围.【分析】(I)依题意得Sn+1=2$+3n,由此可知Sn+1-3n+1=2($-3n).所以bn=$-3n=(a-3)2n 1,nCN*.(H)由题设条件知 Sn=3n+(a-3)2n 1,nCN,于是，an=Sn-Sn 立-n-2 1=2”2弓)+3,由此可以求得a的取值范围是-9,+引.【解答】解：(I)依题意，S+1-s=an+i=$+3n,即 Sn+i=2$+3n,由此得 S.+1-3n+1=2&+3n 3n+1=2(&-3n).(4 分)因此，所求通项公式为bn=S-3n=(a-3)2n1,nCN*.(6分)T)X 3 所以Tn=13 6：6n+3 综上可得 2X 3n,经检验，n=1时也适合,n X31 n),I+LLILJI-(n 3 1-3-1 突出考查 错位 (H)由知&=3n+(a-3)2n1,nCN*,于是，当n2时，an=Sn Sn-1=30+(a 3)x 2”一 3”1 一(a 3)x 2n 2=2 x30 1+(a 3)2n 2,an+1-an=4X 3n 1+(a-3)2n 2=2n-212*(y)+a_ 3,当n12时,%+/今12仔)1+530?a-9.又 a2=ai+3 a1.综上，所求的a的取值范围是-9,+8).(12分)【点评】本题考查数列的综合运用，解题时要仔细审题，注意挖掘题设中的隐含 条件.22.(2014?山东)已知等差数列an的公差为2,前n项和为且&,3 成等比数列.(I)求数列an的通项公式；(H)令bn=(-1)n1 4n,求数列bn的前n项和Tn.【分析】(I)利用等差数列与等比数列的通项公式及其前 n项和公式即可得出；(R)由(I)可得 bn=(-l)n1.对n分类讨论 裂项求和”-1 zn+1 即可得出.【解答】解：(I).等差数列an的公差为2,前n项和为&,S=na+-d=n2-n+na1,-M.Si,&,S4成等比数列，SQS/Sq,;(22-2+2、产=a】(42-4+g),化为,解得 a1=1.an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.(H)由(I)可得 bn=(1)n 1 含=(一 172n-l)k+l)=Di(/T+dT)316厂(打9晦市+(-1-(法丁+焉)当 n 为偶 数时，Tn=(1+y)-弓卷)+(看号)+(五)!-什!-!=1+=2_ 2n-3 2n-1 7 密-1 2n+l 2n+l 2n+l 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n项和公式等基础知 识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、裂项求和、分类讨论思想方 法，属于难题.23.(2014?安徽)数歹 U an潴足 ai=1,nan+i=(n+1)an+n(n+1),nCN.(I)证明：数列父是等差数列；n(H)设bn=3n?H，求数歹收bn的前n项和Sn.【分析】(I)将nan+1=(n+1)an+n(n+1)的两边同除以n(n+1)得之:=+1,n+1 n 由等差数列的定义得证.(H)由(I)求出bn=3n?J=n?3n,利用错位相减求出数列bn的前n项和&【解答】证明(I)nan+1=(n+1)an+n(n+1),I.，.an+l%-，数列，鱼是以1为首项，以1为公差的等差数列；n(H)由(I)知，.口，n a，bn=3n?sn=l X3+2X 33X 33+-+(n-i)?3n 1+n?3n 3Sn=l X32+2X 33+3X 3%+(n-1)?3n+n?3n+1亳 一得 一，一-1.,3n-n?3n+1 Tn=2n+l 2n+2 2n+l.n 为偶数，n为奇数 i1：+O L on+1 3 11111n+1 二 一二.-L-1-3=二.一【点评】本题考查利用等差数列的定义证明数列是等差数列；考查数列求和的方 法：错位相减法.求和的关键是求出通项选方法.2n+1-1【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决 本题的关键.20.(2015?山东)设数列an的前n项和为Sn,已知2Sn=3n+3.(I)求an的通项公式；(H)若数列bn,满足anbn=log3an,求bn的前n项和Tn.【分析】(I)利用2Sn=3n+3,可求得ai=3;当n1时，2Sn i=3nM+3,两式相 减2an=2S-2Sn-i,可求得an=3n7,从而可得an的通项公式；(H)依题意，anbn=log3an,可得 bi=,当 n1 时，bn=31 n?log33n1=(n 1)1-1