2020高中数学第2章几个重要的不等式.2数学归纳法的应用学案4-.pdf

学必求其心得，业必贵于专精 -1-3.2 数学归纳法的应用 学习目标：1。会利用数学归纳法证明一些简单的不等式及综合问题.2。了解贝努利不等式及其应用的条件，会用数学归纳法证明贝努利不等式(难点）教材整理 贝努利不等式定理 阅读教材 P38P39“练习”以上部分，完成下列问题 定理 对任何实数x1 和任何正整数n，有（1x）n1nx.在贝努利不等式中当x0 时，n为大于 1 的自然数，不等式形式将有何变化？解 当x0 时,不等式将变成等式,即(1x)n1nx。贝努利不等式的简单应用【例 1】设ba0，nN，证明：错误!错误!错误!（ba）1.精彩点拨 由ba0，令 1x错误!（x0），利用贝努利不学必求其心得，业必贵于专精 -2-等式证明 自主解答 由ba0,知ba1，令 1x错误!(x0），则x错误!1，由贝努利不等式(1x）n1nx，错误!错误!（1x）n1nx1n错误!，故错误!错误!错误!(ba)1。利用 1xba代换，为利用贝努利不等式创造条件.1试证明错误!错误!1错误!与错误!错误!错误!错误!（nN）证明 由nN，n12。由贝努利不等式，得(1）错误!错误!1错误!1错误!.（2)由(1）得错误!错误!错误!错误!1错误!，故错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!。学必求其心得，业必贵于专精 -3-用数学归纳法证明不等式【例 2】试证明：2n2n2(nN）精彩点拨 错误!错误!错误!自主解答（1)当n1 时，左边2124，右边1，左边右边；当n2 时，左边2226，右边224，所以左边右边；当n3 时，左边23210，右边329，所以左边右边 因此当n1,2,3 时，不等式成立(2）假设当nk（k3 且kN）时，不等式成立 当nk1 时,2k+12 22k2 2(2k2）22k22 k22k1k22k3（k22k1）（k1）(k3)（因k3，则k30,k10)k22k1(k1)2.学必求其心得，业必贵于专精 -4-所以 2k+12(k1）2.故当nk1 时，原不等式也成立 根据（1）(2)知，原不等式对于任何nN都成立 通过本例可知，在证明nk1 时命题成立的过程中，针对目标k22k1，采用缩小的手段，但是由于k的取值范围k1太大，不便于缩小，因此，用增加奠基步骤把验证n1 扩大到验证n1，2，3的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k3,促使放缩成功，达到目标.2 已知Sn1错误!错误!错误!(n 1，nN),求证：S错误!1错误!（n2，nN）证明(1）当n2 时，S错误!1错误!错误!错误!错误!1错误!,即n2 时命题成立(2）假设nk时命题成立，即S错误!1错误!错误!错误!1错误!.当nk1 时，S错误!1错误!错误!错误!错误!错误!学必求其心得，业必贵于专精 -5-1错误!错误!1错误!错误!1错误!.故当nk1 时，命题也成立 由(1)（2）知，对nN，n2，S错误!1错误!都成立 探究性问题【例 3】设f（n）112错误!错误!，由f（1）1错误!，f（3）1，f(7）错误!,f(15)2，。（1)你能得到怎样的结论？并证明；（2)是否存在一个正数T，使对任意的正整数n,恒有f(n）12，不等式成立 假设当nk（k1，kN）时不等式成立，即f（2k1）错误!，则f(2k+11)f（2k1）错误!错误!错误!错误!f（2k1）错误!错误!错误!错误!.当nk1 时不等式也成立 据知,对任何nN原不等式均成立（2）对任意给定的正数T，设它的整数部分为T，记mT1，则mT.由(1）知，f(22m1)m，f（22m1）T，这说明,对任意给定的正数T，总能找到正整数n（如可取假设中n为 2m),使得f（n）T，不存在正数T，使得对任意的正整数n,总有f(n)错误!，则错误!错误!，a26，又aN，取a25。下面用数学归纳法证明错误!错误!错误!错误!.(1)n1 时,已证(2)假设当nk时，错误!错误!错误!错误!。当nk1 时，错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!2524错误!。错误!错误!错误!错误!，错误!错误!错误!0，错误!错误!错误!错误!也成立 学必求其心得，业必贵于专精 -8-由(1)，（2）可知,对一切nN，都有1n1错误!错误!错误!，a的最大值为 25.1用数学归纳法证明 2nn2(n5,nN）成立时第二步归纳假设的正确写法是（）A假设nk时命题成立 B假设nk(kN）时命题成立 C假设nk(k5)时命题成立 D假设nk(k5）时命题成立 解析 由题意知n5，nN，应假设nk（k5）时命题成立 答案 C 2利用数学归纳法证明不等式 1错误!错误!错误!1)时，第一步即证明不等式_成立 学必求其心得，业必贵于专精 -10-解析 因为n1，所以第一步n2,即证明 1错误!错误!2成立 答案 1错误!错误!2 5证明：1错误!错误!错误!2错误!（nN）证明（1）当n1 时，不等式成立(2)假设nk时，不等式成立，即 1错误!错误!错误!2错误!。那么nk1 时，错误!错误!2错误!错误!错误!错误!2错误!.这就是说，nk1 时，不等式也成立 根据(1)（2)可知不等式对任意nN成立