2020高中数学第章三角函数.2.2同角三角函数的基本关系教案(含解析).pdf

学必求其心得，业必贵于专精 -1-1.2。2 同角三角函数的基本关系 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用（重点）2。会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明(难点)1。通过把单位圆的对称几何关系用坐标表示,抽象出三角函数的基本关系，培养学生逻辑推理和直观想象素养.2.通过同角基本关系式的运用，提升运用联系的观点获得研究思路,这也是数学研究中的常用思想。1平方关系(1)公式：sin2cos21(2）语言叙述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于 1 思考：对任意的角，sin22cos221 是否成立？提示 成立 平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关 2商数关系(1)公式:错误!tan 错误!。学必求其心得，业必贵于专精 -2-(2）语言叙述:同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切 平方关系公式的推导 如图，设P（x,y)根据单位圆中三角函数定义知，sin y，cos x,在RtOPM中，OM2MP21,因此x2y21，即 sin2cos21。1化简错误!的结果是（)Acos错误!Bcos错误!Csin错误!Dsin错误!A 错误!错误!错误!cos错误!。2若 sin 错误!，且是第二象限角，则 tan 的值等于（）A43 B错误!C错误!D错误!学必求其心得，业必贵于专精 -3-A sin 错误!且是第二象限角,cos 错误!错误!，tan sin cos 错误!.3已知 tan 错误!，且错误!，则 sin 的值是 错误!由 tan 错误!得错误!错误!，即 cos 2sin。又 sin2cos21，5sin21,sin 错误!，又错误!，sin 错误!。4已知错误!2，则 sin cos 的值为 错误!由已知得错误!2，解得 tan 3，sin cos 错误!错误!错误!错误!.直接应用同角三角函数关系求值 【例 1】(1）已知错误!，tan 2,则 cos （2）已知 cos 错误!,求 sin，tan 的值 思路点拨：(1）根据 tan 2 和 sin2cos21 列方程组求cos。学必求其心得，业必贵于专精 -4-(2）先由已知条件判断角是第几象限角,再分类讨论求 sin,tan.（1)错误!由已知得错误!由得 sin 2cos 代入得 4cos2cos21，所以 cos2错误!,又错误!，所以 cos 0，所以 cos 错误!。（2）解 cos 8170，是第二或第三象限的角 如果是第二象限角,那么 sin 错误!错误!错误!，tan 错误!错误!错误!。如果是第三象限角，同理可得 sin 错误!错误!，tan 错误!。利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法:（1）已知角的某一种三角函数值，求角的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系 学必求其心得，业必贵于专精 -5-（2)若角所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角所在的象限不确定,应分类讨论，一般有两组结果 提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号 1已知 sin 3cos 0，求 sin，cos 的值 解 sin 3cos 0，sin 3cos.又 sin2cos21，(3cos）2cos21，即 10cos21，cos 错误!.又由 sin 3cos，可知 sin 与 cos 异号,角的终边在第二或第四象限 当角的终边在第二象限时,cos 错误!，sin 错误!错误!;当角的终边在第四象限时，cos 错误!，sin 错误!错误!.灵活应用同角基本关系式求值 学必求其心得，业必贵于专精 -6-探究问题 1齐次式包含齐次分式和齐次关系式，如何由某角的正切值求该角的齐次分式或齐次关系的值？提示：在已知某角的正切值的情况下,把齐次式转化为含正切的关系式代入求值 2sin cos 与 sin cos 有怎样的关系，在求值中能否相互转化？提示：（sin cos）212sin cos，若含 sin cos t，则 sin cos 错误!.这三者在求值中是可以转化的【例 2】(1）已知 sin cos 错误!，(0，),则 tan (2)已知错误!2，计算下列各式的值:3sin cos 2sin 3cos；sin22sin cos 1。思路点拨：(1）法一：求sin cos 错误!错误!错误!法二：错误!错误!错误!学必求其心得，业必贵于专精 -7-(2)错误!错误!(1）错误!法一：（构建方程组）因为 sin cos 错误!，所以 sin2cos22sin cos 错误!，即 2sin cos 错误!。因为(0，），所以 sin 0，cos 0。所以 sin cos 错误!错误!错误!。由解得 sin 错误!，cos 错误!，所以 tan 错误!错误!。法二：(弦化切）同法一求出 sin cos 错误!，错误!错误!，错误!错误!,整理得 60tan2169tan 600，解得 tan 错误!或 tan 错误!.由 sin cos 错误!0 知|sin|cos|，故 tan 错误!。(2）解 由错误!2，化简得 sin 3cos，所以 tan 3.法一（换元）原式错误!错误!错误!。学必求其心得，业必贵于专精 -8-法二（弦化切)原式错误!错误!错误!.原式错误!1 错误!1错误!1错误!.1将本例（1)条件“（0，）改为“错误!，”其他条件不变，结果又如何？解 由例（1)求出 2sin cos 错误!，因为错误!，所以 sin 0，cos 0，所以 sin cos（sin cos 2）12sin cos 错误!.与 sin cos 错误!联立解得 sin 错误!，cos 错误!，所以 tan 错误!错误!。2将本例（1）的条件“sin cos 错误!”改为“sin cos 错误!”，其他条件不变，求cos sin。解 因为 sin cos 错误!0，所以错误!，所以 cos sin 0,cos sin 错误!错误!错误!。1sin cos,sin cos，sin cos 三个式子中，已知其中一学必求其心得，业必贵于专精 -9-个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是:(sin cos)212sin cos。2已知 tan m，求关于 sin,cos 的齐次式的值:解决这类问题需注意以下两点:(1)一定是关于 sin，cos 的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式；(2)因为 cos 0，所以可除以 cos，这样可将被求式化为关于 tan 的表达式，然后代入 tan m的值,从而完成被求式的求值 提醒：求 sin cos 或 sin cos 的值,要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号 应用同角三角函数关系式化简 【例 3】（1）化简错误!(2）化简错误!错误!.(其中是第三象限角)思路点拨：（1)将 cos21sin2代入即可化简（2)首先将 tan 化为错误!，然后化简根式,最后约分（1）1 原式错误!错误!1。(2)原式错误!错误!学必求其心得，业必贵于专精 -10-错误!错误!错误!错误!sin 1cos 错误!。又因为是第三象限角，所以 sin 0。所以原式错误!错误!1.三角函数式化简的常用方法（1）化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称，达到化简的目的(2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的（3）对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解，或构造 sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的 提醒：在应用平方关系式求 sin 或 cos 时，其正负号是由角所在的象限决定，不可凭空想象 2化简下列各式：(1）tan 错误!(是第二象限角）；学必求其心得，业必贵于专精 -11-（2)错误!.解（1)tan 错误!tan 错误!tan 错误!错误!错误!。因为为第二象限角,所以 sin 0，cos 0，所以原式sin cos 错误!1.（2）错误!错误!错误!2.应用同角三角函数关系式证明 探究问题 1证明三角恒等式常用哪些方法?提示：（1）从右证到左(2)从左证到右(3）证明左右归一(4)变更命题法 如:欲证明错误!错误!，则可证MQNP或证错误!学必求其心得，业必贵于专精 -12-PM等 2在证明1sin cos 2sin cos 1sin cos sin cos 时如何巧用“1”的代换 提示：在求证错误!sin cos 时，观察等式左边有 2sin cos，它和 1 相加应该想到“1”的代换,即 1sin2cos2，所以等式左边错误!错误!错误!sin cos 右边【例 4】求证：错误!错误!.思路点拨：解答本题可由关系式 tan sin cos 将两边“切”化“弦”来证明，也可由右至左或由左至右直接证明 证明 法一：（切化弦)左边错误!错误!，右边sin sin cos sin21cos sin.学必求其心得，业必贵于专精 -13-因为 sin21cos2(1cos)（1cos)，所以错误!错误!，所以左边右边 所以原等式成立 法二：(由右至左）因为右边错误!错误!错误!tan2sin2（tan sin tan sin）错误!左边，所以原等式成立 1证明恒等式常用的思路是：（1）从一边证到另一边，一般由繁到简；（2）左右开弓，即证左边、右边都等于第三者;(3)比较法(作差,作比法)2技巧感悟：朝目标奔常用的技巧有：（1)巧用“1”的代换；（2）化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用（分解因式)提醒：解决此类问题要有整体代换思想 学必求其心得，业必贵于专精 -14-3求证:（1)1tan2错误!;（2)错误!错误!.证明(1）左边1错误!错误!错误!右边 1tan2错误!。(2）左边错误!错误!tan22tan 1tan21错误!错误!右边 故等式成立 1同角三角函数基本关系式的实质 同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律,这里，“同角有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下),关系式成立与角的表达形式无关,如 sin23cos231。2同角基本关系式的主要变形形式有 sin2cos21错误!学必求其心得，业必贵于专精 -15-tan sin cos 错误!3在三角函数的变换求值中，已知 sin cos，sin cos，sin cos 中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值 1下列各式中成立的是（）Asin2cos21 Btan 错误!(任意）Ccos221sin2错误!Dsin 错误!C A 中不是同角;B 中k错误!(kZ）；D 中符号不能确定；只有 C 正确 2已知错误!，cos 错误!,则 tan(）A错误!B错误!C错误!D错误!A 因为 cos 错误!,且错误!,所以 sin 错误!，所以 tan 错误!错误!。3已知 tan 错误!，则错误!的值是 错误!因为 tan 错误!,所以错误!错误!错误!错误!。4（1）化简sin2sin4，其中是第二象限角;学必求其心得，业必贵于专精 -16-(2）求证：1tan2错误!。解（1）因为是第二象限角，所以 sin 0，cos 0，所以 sin cos 0,所以错误!错误!错误!sin cos.（2）证明：1tan21错误!错误!错误!.