2021届四川省宜宾市叙州区第一中学校高三上学期开学考试数学(理)试题(解析版).pdf

努力的你，未来可期!精品 2021 届四川省宜宾市叙州区第一中学校高三上学期开学考试数学（理）试题 一、单选题 1已知集合2|20Mx xx，|3Nx x，则集合M与N的关系是()AMN BMNR CMNN DMNN【答案】D【解析】化简集合A，根据交集定义，即可求解.【详解】由2|20|0Mx xxx x或2x，|3Nx x，得|3MNx xN，|0MNx x或2xM，故选:D.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2已知i为虚数单位，若复数22i zi，则z（）A1 B2 C32 D52【答案】D【解析】先根据复数代数形式的四则运算求出复数z，再根据复数的几何意义求出复数的模【详解】解：22i zi，2222i iizi12i，215122z，故选：D【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算，考查复数的模，属于基础题 努力的你，未来可期!精品 3如图，网格纸的正方形的边长是 1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则此几何体的体积为（）A6 B18 C12 D36【答案】A【解析】根据三视图可得几何体的直观图（如图所示），从而可求其体积【详解】作一个长，宽，高分别为4,3,3的长方体，根据三视图得该几何体为三棱锥ABCD（如图），因为三棱锥ABCD的四个顶点，都在同一个长方体中，所以三棱锥ABCD体积为114 3 3632A BCDV ,故选 A.【点睛】本题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系 三棱锥体积的计算应该选择合适的底面（以顶点到该底面的距离的计算容易求为宜）.4已知等差数列的前 15 项和1530S，则2139aaa（）A7 B15 C6 D8【答案】C【解析】【详解】设等差数列的等差为,nda前15项的和1530S，11515302aa，可得172ad，则 2913111812aaaadadad1376ad.努力的你，未来可期!精品 故选：C.5已知函数 42xxafx是奇函数，则 f a的值为（）A52 B52 C32 D32【答案】C【解析】由 fxf x 求出1a，然后可算出答案.【详解】因为函数 42xxafx是奇函数，所以 fxf x，即4422xxxxaa，即14422xxxxaa，所以1a 所以 412xxfx，所以 11413122f af 故选：C【点睛】本题考查的是函数的奇偶性的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题.6在正方形 ABCD 中，E为 BC的中点，2DAEDDF，则DF（）A1324ABAD B1223ABAD C1334ABAD D1323ABAD【答案】A【解析】利用基底向量,AB AD表达2DAEDDF再根据向量的线性运算化简即可.【详解】由题,1322DAEDADDCCEAABDADADAB .即3132224DFADDABFAABD.努力的你，未来可期!精品 故选：A【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算以及基底向量的用法,需要根据题意确定基底向量,再化简运算即可.属于基础题.7某大型商场共有编号为甲、乙、丙、丁、戊的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散 500 名乘客所需的时间如下：安全出口编号 甲，乙 乙，丙 丙，丁 丁，戊 甲，戊 疏散乘客时间（s）120 220 160 140 200 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）A甲 B乙 C丁 D戊【答案】C【解析】先阅读题意，再结合简单的合情推理计算可得解【详解】设某高铁换乘站设有编号为甲，乙，丙，丁，戊的五个安全出口疏散乘客时间分别为 a、b、c、d、e，则 a+b120，b+c220，c+d160，d+e140，a+e200，解得：a60，b60，c160，d0，e140，则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是丁，故选 C【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题 8 已知，为平面，l是直线，若 l，则“，”是“l”的()努力的你，未来可期!精品 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直，面面垂直的关系进行判断即可 【详解】由，在 内任取一点 P，过 P 作 a 垂直于，的交线，则 a，又l，则 al，同理，在 内过 P 作 b 垂直于，的交线，则 bl，可推出l，反过来，若l，l，根据面面垂直的判定定理，可知，故“，”是“l”的充要条件，故选C【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间线面垂直关系是解决本题的关键 9在ABC中，5,6ABAC，若2BC，则向量BC在BA上的投影是（）A75 B77125 C77125 D75【答案】B【解析】由正弦定理得，653cossinsinsin2sin5ACABCBCCC,由余弦定理得，22211cos25BCACABCBCAC BC,则77cos125BC ，故选 B.10已知点(,)M x y是抛物线24yx上的动点，则226210 xxyy2221xxy的最小值为 A3 B4 C5 D6【答案】B【解析】由题意：2222621021xxyyxxy表示 A（3，1）和F（1，0）与在抛物线24yx上的动点 P的距离之和，利用抛物线的定义将到 F 的距离转到到准线的距离即可求解.【详解】由题意知：2222621021xxyyxxy=223(1)xy 努力的你，未来可期!精品 221xy表示 A（3，1）和 F（1，0）与在抛物线24yx上的动点 P的距离之和，又 F（1，0）为抛物线的焦点，所以抛物线上的动点 P 到 F（1，0）的距离等于到x=-1 的距离，只需要过 A作 x=-1 的垂线交抛物线于 P，交准线于 M，则 AM=4 即为所求.故选 B.【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，考查了两点之间的距离公式，属于基础题 11若双曲线2222:1(0,0)xyEabab的一条渐近线被圆22(3)9xy所截得的弦长为 3，则E的离心率为（）A2 B3 C2 D2 33【答案】C【解析】设双曲线的一条渐近线方程为0bxay，则可求出圆心到该渐近线的距离 d，代入弦长公式，可得,a c关系，即可得答案.【详解】设双曲线的一条渐近线方程为0bxay，则圆心(3,0)到该直线的距离22|3|3bbdcab，由题意得，2332 9bc，化简得2234bc，所以22222314caacc，所以2214ac，即2cea 故选：C【点睛】本题考查求双曲线的离心率的求法，考查直线与圆相交的弦长问题，解题关键是求出圆心到渐近线的距离，进而表示出弦长.考查分析理解，计算化简的能力，属基础题.12 已知 ,f xg x都是定义在 R上的函数，0g xf x gxfx g x，努力的你，未来可期!精品 且 (0 xf xa g xa且1)a，115112ffgg，对于有穷数列 (1,2,f nng n,10)，任取正整数110kk，则前k项和大于1516的概率是（）A310 B25 C12 D35【答案】D【解析】【详解】由 20fxfx g xgx fxg xgx，f xg x单调递减，又 xf xag x，故01a，所以由 115112ffgg，得12a f ng n是首项为 1112fg，公比为12的等比数列，其前n项和1151216nnS 5n，所以，63105P.故选：D.二、填空题 13若二项式（x2x）n的展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数为_【答案】1120【解析】由题意可得：n=8.通项公式38821882()(2)rrrrrrrTC xC xx，令382r=2，解得 r=4.展开式中含 x2项的系数为448(2)C.故答案为 1120.努力的你，未来可期!精品 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r1 项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.14已知函数 32153f xxxax在区间1,2上不单调，则实数a的取值范围为_.【答案】3,1【解析】求导函数，先考虑其反面函数单调时a的范围，再求结论的补集即可得到结论.【详解】22211fxxxaxa，若函数 32153f xxxax在区间1,2上单调，则 0fx或 0fx在1,2上恒成立，即10a 或 130fa，1a 或3a ，于是满足条件的实数a的范围为3,1，故答案为：3,1.【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查解不等式，正确理解题意是关键，属于中档题.15圆22:(1)(2)4Cxy关于直线21yx的对称圆的方程为_.【答案】22(3)4xy【解析】求出圆心关于直线的对称点，即可得解.【详解】22:(1)(2)4Cxy的圆心为(1,2)，关于21yx对称点设为(,)x y，则有:2121222112yxyx，解得30 xy，所以对称后的圆心为(3,0)，故所求圆的方程为22(3)4xy.努力的你，未来可期!精品 故答案为：22(3)4xy【点睛】此题考查求圆关于直线的对称圆方程，关键在于准确求出圆心关于直线的对称点坐标.16已知()f x是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意实数,a b满足(2)(2)()()(),(2)2,(*),(*)2nnnnnfff a baf bbf afanNbnNn，有以下结论：(0)(1)ff；()f x为偶函数；数列 na为等比数列；数列 nb为等差数列.其中正确结论的序号是_.【答案】【解析】逐项排除，对于特殊值排除，对构造等差数列求通项.【详解】已知()f x是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意实数,a b满足，有以下结论：对于，令0ab，则(0)0f，令1ab，则(1)2(1)ff，(1)0f，正确；对于，若()f x为偶函数，则(1)(1)0ff，(1 2)(2)2(1)(2)2(2)fffff ，错误；对于，令12,2nab，得111(2)2(2)2(2)2(2)2nnnnnffff，所以1(2)(2)122nnnnff，由(2)nnfan，(*)nN，得11(1)122nnnnnana，1(2)2af，2nnna是等差数列，所以 2nna，正确；对于，由知(2)nnfan，2nna，所以(2)(*)22nnnnnnafbn nN，正确.故答案为：.【点睛】本题考查函数与数列的结合，构造数列求通项公式.三、解答题 17已知等差数列 na，记nS为其前n项和(*nN)，且33a ，315S .（1）求该等差数列 na的通项公式；努力的你，未来可期!精品（2）若等比数列 nb满足14b ，34bS，求数列 nb的前n项和nT.【答案】（1）29nan，*nN；（2）答案见解析.【解析】（1）由条件建立方程组求解即可；（2）设等比数列 nb的公比为q，由条件可求出2q或2，然后分两种情况讨论即可.【详解】（1）设等差数列 na的公差为d，则11naand，112nnnSnad，由题意，得1123,3 23152adad ，解得172ad，na的通项公式72(1)29nann ，*nN.（2）设等比数列 nb的公比为q，由（1）得44 3742162S ，3416bS，2311644bqb，2q或2，当2q时，12141 24211 2nnnnbqTq，当2q 时，241(2)(2)41(2)33nnnT .【点睛】本题考查的是等差等比数列的基本运算，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.182019 年 10 月 17 日是全国第五个“扶贫日”，在“扶贫日”到来之际，某地开展“精准扶贫，携手同行”的主题活动，调查基层干部走访贫困户数量A镇有基层干部 50 人，B镇有基层干部 80 人，C镇有基层干部 70 人，每人都走访了不少贫困户；按照分层抽样，从 A，B，C三镇共选 40 名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将完成走访数量分成 5 组：5,15，15,25，25,35，35,45，45,55，绘制成如下频率分布直方图 努力的你，未来可期!精品 （1）求这 40 人中有多少人来自 B镇，并估算这 40 人平均走访多少贫困户？（2）如果把走访贫困户达到或超过 25 户视为工作出色，以频率估计概率，从三镇的所有基层干部中随机选取 4 人，记这 4 人中工作出色的人数为 X，求 X的数学期望【答案】（1）16 人，5700户（2）125【解析】（1）由分层抽样按比例分配原则求得 B 镇比例，再从 40人中按比例抽取即可；按照平均数等于各组中间数值乘以对应频率之和计算即可（2）由频率分布直方图，计算出工作出色的概率为35，易知工作出色的人数符合二项分布，结合概率公式计算，列出分布列，即可求出数学期望【详解】（1）A，B，C 三镇分别有基层干部 50 人，80 人，70 人，共 200 人，利用分层抽的方法选 40人，则 B 镇应选取804016200（人）40 名基层干部走访贫困户的平均数量 x为 100.15200.25300.3400.2500.128.5x 用样本估计总体，得三镇所有基层干部走访贫困户的总数量为28.52005700（户）（2）由频率分布直方图得，从三镇的所有基层干部中随机挑选 1人，其工作出色的概率为35 易知 X的所有可能取值为 0，1，2，3，4，且34,5XB，则438145625P x，133423216355625P xC，222423216255625P xC，3142396155625P xC，421605625P x，所以 X的分布列为 X 4 3 2 1 0 努力的你，未来可期!精品 P 81625 216625 216625 96625 16625 312455E x 【点睛】本题考查分层抽样中某层抽样数的计算，频率分布直方图中平均数的计算，离散型随机变量期望的求解，属于中档题 19如图，在长方体1111ABCDABC D中，1AC与平面11A ADD及平面ABCD所成角分别为030，045，,M N分别为1AC与1A D的中点，且1MN.（1）求证：MN 平面11A ADD；（2）求二面角1AACD的平面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;（2）63.【解析】（1）根据中位线定理可得 MNCD，由长方体的性质可得 CD平面11A ADD，从而可得结果；（2）以 AB，AD，1AA所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系Axyz，分别求出平面1ACD与平面1A AC的的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式及同角三角函数之间的关系，可得结果.【详解】（1）证明：在长方体1111ABCDABC D中，因为11M NACAD，分别为，的中点，努力的你，未来可期!精品 所以MN为1ACD的中位线，所以 MNCD，又因为 CD平面11A ADD，所以 MN平面11A ADD （2）解：在长方体1111ABCDABC D中，因为 CD平面11A ADD，所以1CA D为1AC与平面11A ADD所成的角，即1CA D=30，又因为1A A平面ABCD，所以1ACA为1AC与平面ABCD所成的角，即145ACA，所以1MN，2CD，14AC，1A A=2 2，2 2AC，如图 2，分别以 AB，AD，1AA所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系Axyz，A(0，0，0)，D(0，2，0)，12 2 2 2C，10 0 2 2A，C(2，2，0)，B(2，0，0)，在正方形 ABCD 中，BDAC，BD是平面1A AC的法向量，2 2 0BD ，.设平面1ACD的法向量为nx y z，由2 0 0DC，102 2 2DA，所以有2022 20 xyz，努力的你，未来可期!精品 02xyz，取 z=1，得平面1ACD的一个法向量为02 1n，.设二面角1AACD的大小为，则2 23cos32 2?3，6sin3 二面角1AACD的平面角的正弦值为63.【点晴】本题主要考查线面垂直的判定、利用空间向量求二面角，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20在直角坐标系xOy中，曲线C：26xy与直线l：3ykx交于M，N两点.（1）若MON的面积为18，求k；（2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？若存在，求以线段OP为直径的圆的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2k （2）存在，方程为2239()24xy（或2230 xyy）【解析】（1）联立直线与抛物线方程，设出M，N两点坐标，结合韦达定理，由弦长公式求出MN，由点到直线距离公式求出O到l的距离，再由1182Sd MN即可求出结果；（2）OPMOPN等价于直线PM，PN倾斜角互补，所以只需求出使直线PM，PN斜率之和为0的P点坐标即可，进而可求出结果.【详解】解：（1）将3ykx代入26xy，得26180 xkx，设11,M x y，22,N xy，则126xxk，1218x x ，从而22121214MNkxxx x 226 12kk.努力的你，未来可期!精品 因为O到l的距离为231dk，所以MON的面积219 2182Sd MNk，解得2k .（2）存在符合题意的点，证明如下：设0,Pb为符合题意的点，直线PM，PN的斜率分别为1k，2k.从而121212ybybkkxx 12121223kx xbxxx x 123663kkbx x.当3b时，有120kk，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点0,3P符合题意.故以线段OP为直径的圆的方程为223924xy（或2230 xyy）【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合应用，以及圆的方程，通常需要联立直线与抛物线方程，结合弦长公式和韦达定理等，即可求解；求圆的方程时，只需求出圆心和半径即可求出结果，属于常考题型.21已知函数 ln21f xaxax.（1）讨论函数 f x的单调性；（2）对任意的1x，不等式 10 xf xe恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）1a【解析】分析：（1）求出函数的导数，通过讨论 a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）设 1()xg xf xe问题转化为求min()0g x，通过讨论 a的范围，求出()g x的最小值即可【详解】（1）12axfxx 努力的你，未来可期!精品 当0a 时，令 1100,022fxxfxx，所以此时 f x在区间10,2递增，1,2递减；当0a 时，令 110,0022fxxfxx，所以此时 f x在区间1,2递增，10,2递减；（2）令 11ln21xxg xf xea xaxe，1x，112,2xxaag xaegxaexx，令 21122,xxax eah xaeh xxx，令 21xxx ea，显然 x在1x时单调递增，11xa；当1a时，10,0,xh xh x在1,上递增，所以 110h xha，则 0gx，g x在1,上递增，1220g xga，此时符合题意；当1a 时，10，此时在1,上存在0 x，使 x在01,x上值为负，此时 0h x，h x在01,x上递减，此时 110h xha，g x在01,x上递减，1220g xga，此时不符合题意；综上：1a【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min()0f x，若()0f x 恒成立，转化为max()0f x.22选修 4-4：坐标系与参数方程 已知点1 cos,sinP，0,，点Q在曲线C：102sin4上.努力的你，未来可期!精品（）求点P的轨迹方程和曲线C的直角坐标方程；（）求PQ的最小值.【答案】（1）点 P的轨迹方程为2211xy，曲线C方程为100 xy；（2）11 212.【解析】(1)利用题中所给的条件求解点P的轨迹方程和曲线C的直角坐标方程即可；(2)求解直线与圆心距离的最小值，然后减去半径可得PQ的最小值为11 212.【详解】（1）由题意可知点 P的轨迹方程为：1 cos(sinxy 为参数，0)，消去参数得点P的轨迹方程为2211xy，由1010sincos2sin4，曲线C方程为100 xy（2）2sin111cossin10422PQ min11 212PQ.23已知函数 11.fxxm x（）当2m 时，求不等式 4f x 的解集；（）若0m时，2fxm恒成立，求m的最小值 【答案】（）51,3 x；（）1.【解析】（）作出函数的图象，结合函数图象可得不等式的解集为51,3 努力的你，未来可期!精品（）先化简式子可得1|1|1|2xxm，然后画出|1|2yx及1|1|yxm 的图象，可得m的最小值为1.【详解】（）法一：当2m，即解不等式1214xx时，1 3,1()3,1131,1x xf xxxxx ，作出图象：结合图象及()f x的单调性，又5()(1)43ff 所以()4f x 的解集为5(1,)3x 法二：1214xx等价于 11 34xx 或1134xx 或1314xx 解得x或(1,1x 或5(1,)3x，努力的你，未来可期!精品 即5(1,)3x （）方法一：由()2f xm得|1|(2|1|)xmx 由0m，所以1|1|1|2xxm，画出|1|2yx及1|1|yxm 的图象 根据图象性质可得11m，综上10m 故的m最小值为1 方法二：(1)1,1()(1)1,11(1)1,1mxmxf xmxmxmxmx ，要使得()2f xm恒成立，即min()2f xm 则()f x必有最小值 因此()f x在(,1)必单调递减或为常函数，在(1,)必单调递增或为常函数 即10m 且10m 即1m 又0m，故()f x在上 1,1是增函数，即min()(1)2f xfm解(1)2fm恒成立 综上10m 故m的最小值为1 努力的你，未来可期!精品【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，解题关键是正确去掉绝对值号，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.