2011年高考数学一轮精品题集：不等式.pdf
你的首选资源互助社区 诚信经营 超值服务天利会员：诚信精品与您共建淘题精品世界 第 1 页 共 25 页 2011 届高考数学一轮复习精品学案 不等式 必修5 第 3 章 不等式 3.1-2 不等关系、一元二次不等式 重难点：通过具体情境，能建立不等式模型；掌握一元二次不等式解法，理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间关系并能灵活运用 考纲要求：了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型 通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图 经典例题：某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车Sm 和汽车车速xkm/h 有如下关系：21120180sxx，在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？（精确到0.01km/h）.当堂练习：1.方程2(21)0mxmxm有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）A.14m B.14m C.14m D.104mm 且 2.下列各一元二次不等式中，解集为空集的是（）A(x+3)(x 1)0 B(x+4)(x 1)0 C x2 2x+30 3.不等式组127,(1)(2)4xxx 的解集为（）A（，23，4)B（，2（4，+）C（4，+）D（，2（4，+）4.若 0a0 的解集是（）A(a，1a)B(1a，a)C(，a)(1a，+)D(，1a)(a，+)8.若不等式20(0)axbxca的解集为，则下列结论中正确的是（）A.20,40abac B.20,40abac C.20,40abac D.20,40abac 9.己知关于x 的方程(m+3)x 2 4mx+2m 1=0 的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m 的取值范围是()A3 m0 B 0m3 C m 0 D m3 10.有如下几个命题：如果x1,x2 是方程ax2+bx+c=0 的两个实根且x1x2，那么不等式ax2+bx+c 0 的解集为x x1 x x2;当 b2 4ac0,则133yxx的最大值为 （）3 33 2 32 3 1 4.设,5,33xyx yxyR 且则的最小值是()A.10 B.6 3 C.4 6 D.18 3 5.若 x,y 是正数，且141xy，则xy 有 （）最大值16 最小值116 最小值16 最大值116 6.若 a,b,cR，且ab+bc+ca=1,则下列不等式成立的是 （） 你的首选资源互助社区 诚信经营 超值服务天利会员：诚信精品与您共建淘题精品世界 第 6 页 共 25 页 A2222abc B2()3abc C11123abc D3abc 7.若 x0,y0,且 x+y4,则下列不等式中恒成立的是 （）A114xy B111xy C2xy D11xy 8.a,b是正数，则2,2abababab三个数的大小顺序是（）22abababab 22abababab 22abababab 22abababab 9.某产品的产量第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，设这两年平均增长率为x，则有（）2pqx 2pqx 2pqx 2pqx 10.下列函数中，最小值为4 的是 （）4yxx 4sinsinyxx(0)x e4exxy 3log4log 3xyx 11.函数21yxx的最大值为 .12.建造一个容积为18m3,深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2 的造价为200 元和150 元，那么池的最低造价为 元.13.若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .14.若 x,y 为非零实数，代数式22228()15xyxyyxyx的值恒为正，对吗？答 .15.已知：2222,(,0)xya mnb a b,求 mx+ny 的最大值.16.已知)R,10(log)(xaaxxfa且 若1x、R2x,试比较)()(2121xfxf与)2(21xxf的大小，并加以证明.17.已知正数a,b 满足a+b=1（1）求ab 的取值范围;（2）求1abab的最小值 你的首选资源互助社区 诚信经营 超值服务天利会员：诚信精品与您共建淘题精品世界 第 7 页 共 25 页 18.设13221nnan.证明不等式 212)1(2nannn对所有的正整数n 都成立.必修5 第 3 章 不等式 3.5 不等式单元测试 1设ab，cd，则下列不等式中一定成立的是 （）Adbca Bbdac Cdbca Dcbda 2 “0 ba”是“222baab”的 （）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3不等式bax 的解集不可能是 （）A BR C),(ab D),(ab 4不等式022bxax的解集是)31,21(，则ba 的值等于 （）A14 B 14 C10 D 10 5不等式|x xx的解集是 （）A|01xx B|11xx C|01xx或1x D|10,1xxx 6若011ba，则下列结论不正确的是 （）A22ba B2bab C2baab D|baba 你的首选资源互助社区 诚信经营 超值服务天利会员：诚信精品与您共建淘题精品世界 第 8 页 共 25 页 7若13)(2xxxf，12)(2xxxg，则)(xf与)(xg的大小关系为（）A)()(xgxf B)()(xgxf C)()(xgxf D随x 值变化而变化 8下列各式中最小值是2 的是 （）Ayxxy B4522xx C tanx cotx D xx 22 9下列各组不等式中，同解的一组是 （）A02x与0 x B01)2)(1(xxx与02 x C0)23(log21x与123x D112xx与112xx 10如果axx|9|1|对任意实数x 总成立,则 a 的取值范围是 （）A.8|aa B.8|aa C.8|aa D.8|aa 11若Rba,，则ba11与ba 1的大小关系是 .12函数121lgxxy的定义域是 .13 某公司一年购买某种货物400 吨，每次都购买x吨，运费为4 万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 吨.14.已知0()1,0 x xf xx，,则不等式3)2(xf的解集_ _ _.15 已知()f x是奇函数，且在（，）上是增函数，(2)0f，则不等式()0 xf x 的解集是_ _ _.16解不等式：21582 xxx 你的首选资源互助社区 诚信经营 超值服务天利会员：诚信精品与您共建淘题精品世界 第 10 页 共 25 页 21已知函数baxxxf2)(.（1）若对任意的实数x，都有axxf 2)(，求b的取值范围；（2）当 1,1x时，)(xf的最大值为M，求证：1 bM；（3）若)21,0(a，求证：对于任意的 1,1x，1|)(|xf的充要条件是.142aba 你的首选资源互助社区 诚信经营 超值服务天利会员：诚信精品与您共建淘题精品世界 第 11 页 共 25 页 必修5 必修5 综合测试 1如果33loglog4mn，那么nm的最小值是（）A 4 B34 C 9 D 18 2、数列 na的通项为na=12 n，*Nn，其前n项和为nS，则使nS48 成立的n的最小值为（）A 7 B 8 C 9 D 10 3、若不等式897x和不等式022bxax的解集相同，则a、b的值为（）Aa=8 b=10 Ba=4 b=9 Ca=1 b=9 Da=1 b=2 4、ABC 中，若2 coscaB，则ABC 的形状为（）A直角三角形 B等腰三角形 C等边三角形 D锐角三角形 5、在首项为21，公比为12的等比数列中，最接近1 的项是（）A第三项 B第四项 C第五项 D第六项 6、在等比数列 na中，117aa=6，144aa=5，则1020aa等于（）A32 B23 C23或32 D32或23 7、ABC 中，已知()()abc bcabc，则A 的度数等于（）A120 B60 C150 D30 8、数列 na中，1a=15，2331nnaa（*Nn），则该数列中相邻两项的乘积是负数的是（）A2221aa B2322aa C2423aa D2524aa 9、某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为（）A41.1 B51.1 C610(1.11)D 511(1.11)10、已知钝角ABC 的最长边为2，其余两边的长为a、b，则集合byaxyxP,|),(所表示的平面图形面积等于（）A 2 B2 C 4 D24 你的首选资源互助社区 诚信经营 超值服务天利会员：诚信精品与您共建淘题精品世界 第 12 页 共 25 页 11、在ABC 中，已知BC=12，A=60，B=45，则AC=12函数2lg(12)yxx的定义域是 13数列 na的前n项和*23()nnsanN，则5a 14、设变量x、y满足约束条件1122yxyxyx，则yxz32 的最大值为 15、莱因德纸草书(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一。书中有一道这样的题目：把100 个面包分给五人，使每人成等差数列，且使最大的三份之和的13是较小的两份之和，则最小1 份的大小是 16、已知数列 na、nb都是等差数列，1a=1，41b，用kS、kS分别表示数列 na、nb的前k项和（k是正整数），若kS+kS=0，则kkba 的值为 17、ABC 中，cba,是 A，B，C 所对的边，S 是该三角形的面积，且coscos2BbCac （1）求B 的大小；（2）若a=4，35S，求b的值。18、已知等差数列 na的前四项和为10，且237,a a a成等比数列（1）求通项公式na（2）设2nanb，求数列nb的前n项和ns 19、已知：abaxbaxxf)8()(2，当)2,3(x时，0)(xf；),2()3,(x时，0)(xf 你的首选资源互助社区 诚信经营 超值服务天利会员：诚信精品与您共建淘题精品世界 第 13 页 共 25 页 （1）求)(xfy 的解析式（2）c 为何值时，02cbxax的解集为R.20、某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1（阴影部分）和环公园人行道组成。已知休闲区A1B1C1D1 的面积为4000 平方米，人行道的宽分别为4 米和10 米。（1）若设休闲区的长11ABx米，求公园ABCD 所占面积S 关于x的函数)(xS的解析式；（2）要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1 的长和宽该如何设计？21、设不等式组nnxyyx300所表示的平面区域为nD，记nD内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为)(*Nnnf A B C D A1 B1 C1 D1 10 米 10 米 4 米 4 米 你的首选资源互助社区 诚信经营 超值服务天利会员：诚信精品与您共建淘题精品世界 第 14 页 共 25 页 （1）求)2(),1(ff的值及)(nf的表达式；（2）记()(1)2nnf nf nT，试比较1nnTT与的大小；若对于一切的正整数n，总有mTn成立，求实数m的取值范围；（3）设nS为数列 nb的前n项的和，其中)(2nfnb，问是否存在正整数tn,，使16111nnnntbStbS成立？若存在，求出正整数tn,；若不存在，说明理由。参考答案 第 3 章 不等式 3.1 不等关系、一元二次不等式 经典例题：79.94km/h 当堂练习：1.D;2.C;3.C;4.A;5.C;6.D;7.A;8.C;9.A;10.D;11.（8，8）;12.1,4 ;13.2 2;14.18;15.111,|11,|1axxaxxaa当时解集为；当时解集为;16.1,19;17半圆直径与矩形的高的比为2 1;180,1,0.3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题 经典例题：79.94km/h 当堂练习：1.D;2.C;3.C;4.A;5.C;6.D;7.A;8.C;9.A;10.D;11.（8，8）;12.1,4 ;13.2 2;14.18;15.111,|11,|1axxaxxaa当时解集为；当时解集为; 你的首选资源互助社区 诚信经营 超值服务天利会员：诚信精品与您共建淘题精品世界 第 15 页 共 25 页 16.1,19;17半圆直径与矩形的高的比为2 1;180,1,0.3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题 经典例题：思路分析：主要是去绝对值，可以运用分类讨论思想依绝对值的定义去掉绝对值符号.也可以运用化归、转化思想化陌生问题为熟悉问题，化复杂问题为简单问题.解法一：原不等式|x 2|+|y 2|2 等价于 ,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,6yxyxyxyxyxyxyxyx作出以上不等式组所表示的平面区域：它是边长为22 的正方形，其面积为8.解法二：|x 2|+|y 2|2 是|x|+|y|2 经过向右、向上各平移2 个单位得到的，|x 2|+|y 2|2 表示的平面区域的面积等于|x|+|y|2 表示的平面区域的面积，由于|x|+|y|2的图象关于x 轴、y 轴、原点均对称，故求得平面区域.00,2yxyx如下图所示的面积为2，故|x|+|y|2的面积为4 2=8.所求面积为8.当堂练习：1.C;2.B;3.02,0,0yxyx;4.甲地运往B 地 300t，乙地运往A 地 200t，运往B 地 150t，运往C 地 400t，5650 元;5.思路分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.解：运用“直线定界，特殊点定域”的方法，先画出 直线x y+5=0（画成实线），如下图，取原点（0，0），代入x y+5.0 0+5=5 0，原点在x y 表示的 你的首选资源互助社区 诚信经营 超值服务天利会员：诚信精品与您共建淘题精品世界 第 16 页 共 25 页 平面区域内，即x y+5 0 表示直线x y+5=0 上及右 下方的点的集合，同理可得x+y 0 表示直线x+y=0 上及右上方的点的集合，x 3 表示直线x=3 上及左方的点的集合.6.思路分析：这是一个求最大利润问题，首先根据条件设种两种作物分别为x、y 亩，根据条件列出不等式组和目标函数画图，即可得到最大利润.解：如下图所示，设水稻种x 亩，花生种y 亩，则由题意得.0,0,40080240,2yxyxyx 而利润P=（3 400 240）x+（5 100 80）y=960 x+420y（目标函数），可联立,40080240,2yxyx得交点B（1.5，0.5）.故当x=1.5，y=0.5 时，Pmax=960 1.5+420 0.5=1650，即水稻种1.5 亩，花生种0.5 亩时所得到的利润最大.7.思路分析：可以把a、b 分别看成横坐标和纵坐标，根据不等式组画出可行域，然后求目标函数9x y的最大值和最小值.解：问题转化为在约束条件541,14baba下，目标函数z=9a b 的取值范围.画出可行域如下图所示的四边形ABCD 及其内部.由14,1baba，解得1,0ba得点A（0，1）.当直线9a b=t 通过与可行域的公共点A（0，1）时，使目标函数z=9a b 取得最小值为zmin=9 0 1=1.由,54,4baba解得7,3ba得点C（3，7）.当直线9a b=t 通过与可行域的公共点C（3，7）时，使目标函数z=9a b 取得最大值为zmax=9 3 7=20.9a b 的取值范围是1，20.8.思路分析：本题考查逆向思维、数形结合的思想方法，利用图形的特性和规律，解决数的问题或将图形信息转换成代数信息，削弱或清除形的推理部分，使要解决的形问题转化为数量关系的讨论.解：直线z=ax+y（a 0）是斜率为a，y 轴上的截距为z 的直线族，从题图可以看出，当a 小于直线 AC 的斜率时，目标函数z=ax+y（a 0）取得最大值的最优解是（1，4）；当a 大于直线AC 的斜率时，目标函数z=ax+y（a 0）取得最大值的最优解是（5，2）；只有当a 等于直线AC 的斜率时，目标函数z=ax+y（a 0）取得最大值的最优解有无穷多个，线段AC 上 你的首选资源互助社区 诚信经营 超值服务天利会员：诚信精品与您共建淘题精品世界 第 17 页 共 25 页 的所有点都是最优解.直线AC 的斜率为-21，所以a=21时，z 的最大值为21 1+4=29.9.思路分析：本题可以使用线性规划的基本思路，像二元一次不等式所示的区域一样，我们仍然可以用“线定界，点定域”的方法来确定9x2-16y2+144 0 所表示的平面区域.解：(1)将原点坐标代入9x2-16y2+144，其值为1440，因此9x2-16y2+144 0 表示的平面区域如图所示的阴影部分，即双曲线92y-162x=1 的含有焦点的区域.(2)设P(x，y)为该区域内任意一点，由上图可知，当P 与双曲线的顶点(0，4)重合时，|OP|取得最小值4.所以，x2+y2=|OP|2=16.(3)取Q(2，0)，则直线PQ 的斜率为k=2xy，其直线方程为y=k(x-2)，代入9x2-16y2+144=0 得(9-16k2)x2+64k2x-64k2+144=0，由=0 得 k=1053，由图可知k1053或 k-1053.故所求2xy的取值范围是(-，-10531053，+).3.4 基本不等式 经典例题：【解析】证法一 假设ba)1(，cb)1(，ac)1(同时大于41，1 a0，b0，2)1(ba 2141)1(ba，同理212)1(cb，212)1(ac.三个不等式相加得2323，不可能，(1 a)b，(1 b)c，(1 c)a 不可能同时大于41.证法二 假设41)1(ba，41)1(cb，41)1(ac同时成立，1 a0，1 b0，1 c0，a0，b0，c0，641)1()1()1(accbba，即641)1()1()1(ccbbaa.（*）又 aa)1(412)1(2aa， 你的首选资源互助社区 诚信经营 超值服务天利会员：诚信精品与您共建淘题精品世界 第 18 页 共 25 页 同理bb)1(41，cc)1(41，ccbbaa)1()1()1(641与（*）式矛盾，故accbba)1(,)1(,)1(不可能同时大于41.当堂练习：1.A;2.B;3.C;4.D;5.C;6.A;7.B;8.C;9.C;10.C;11.12;12.3600;13.212;14.对;15ab 16.【解析】2121loglog)()(xxxfxfaa2log)2(),(log12121xxxxfxxaa 1x、Rx2，22121)2(xxxx 当且仅当1x2x时，取“”号 当1a时，有)2(log)(log2121xxxxaa )(l o g2121xxa)2(l o g21xxa)2(logloglog212121xxxxaaa 即)2()()(212121xxfxfxf 当10 a时，有aaxxlog)(log21221)2(xx 即).2()()(212121xxfxfxf 17.(1)10,4 (2)174 18【解析】证明 由于不等式2122)1()1(kkkkkk 你的首选资源互助社区 诚信经营 超值服务天利会员：诚信精品与您共建淘题精品世界 第 19 页 共 25 页 对所有的正整数k 成立,把它对k 从 1 到 n(n 1)求和,得到 212252321nann 又因 2)1(21nnn 以及2)1()12(531 2121225232nnn 因此不等式212)1(2nannn对所有的正整数n 都成立.3.5 不等式单元测试 1.C;2.A;3.D;4.C;5.C;6.D;7.A;8.D;9.B;10.A;11.baba111;12.)21,1(;13.20;14.1,(;15|20,xx 或 0 x2;16解：原不等式等价于：0158301720158301720215822222xxxxxxxxxxx 3250)5)(3()52)(6(xxxxx或65 x 原不等式的解集为6,5()3,25 17解：不等式12xax可化为022)1(xxa 1a，01a，则原不等式可化为0212xax，故当10 a时，原不等式的解集为122|axx；当0a时，原不等式的解集为；当0a时，原不等式的解集为212|xax 18证明：法一（综合法）0cba，0)(2cba 你的首选资源互助社区 诚信经营 超值服务天利会员：诚信精品与您共建淘题精品世界 第 20 页 共 25 页 展开并移项得：02222cbacabcab 0cabcab 法二（分析法）要证0cabcab，0cba，故只要证2)(cbacabcab 即证0222cabcabcba，也就是证0)()()(21222accbba，而此式显然成立，由于以上相应各步均可逆，原不等式成立。法三：0cba，bac 222223()()()024bbabbccaabba cababababa 0cabcab 法四：,222abba bccb222，caac222 由三式相加得：cabcabcba222 两边同时加上)(2cabcab得：)(3)(2cabcabcba 0cba，0cabcab 19解：设22)2()2(24)4()(xaxaxaxag，则)(ag的图象为一直线，在 1,1a上恒大于0，故有 0)1(0)1(gg，即02306522xxxx，解得：1x或3x x的取值范围是),3()1,(20解：设花坛的长、宽分别为xm，ym，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区域的边界。依题意得：25)2()4(22yx，（0,0yx）问题转化为在0,0yx，100422 yx的条件下，求xyS 的最大值。 你的首选资源互助社区 诚信经营 超值服务天利会员：诚信精品与您共建淘题精品世界 第 21 页 共 25 页 法一：100)2(2222yxyxxyS，由yx2和100422 yx及0,0yx得：25,210yx 100maxS 法二：0,0yx，100422 yx，41002xxxyS=10000)200(41)4100(2222xxx 当2002x，即210 x，100maxS 由100422 yx可解得：25y。答：花坛的长为m210，宽为m25，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心，则符合要求。21 解：（1）对任意的Rx，都有axxf2)(对任意的Rx，0)()2(2abxax 0)(4)2(2aba)(1412Rabab ),1 b.（2）证明：,1)1(Mbaf,1)1(Mbaf222 bM，即1 bM。（3）证明：由210 a得，0241a)(xf在2,1a上是减函数，在 1,2a上是增函数。当1|x时,)(xf在2ax时取得最小值42ab，在1x时取得最大值ba 1.故对任意的 1,1x，.1414111|)(|22abaabbaxf 必修5 综合测试 1.D;2.B;3.B;4.B;5.C;6.C;7.A;8.C;9.D;10.B;11.4 6;12.34xx;13.48;14.18;15.10;16.5; 你的首选资源互助社区 诚信经营 超值服务天利会员：诚信精品与您共建淘题精品世界 第 23 页 共 25 页 8323 2baaaba 35ab 2()3318f xxx 由0a，知二次函数2yaxbxc的图象开口向下 要使2350 xxc的解集为R，只需0 即2525 12012cc 当2512c 时02cbxax的解集为R.20、由11ABx，知114000BCx 4000(20)(8)Sxx 8000041608(0)xxx 80000800004160841602 85760Sxxxx 当且仅当800008100 xxx即时取等号 要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1 的长为100 米、宽为40 米.21、(1)3,(2)6ff 当1x 时，y取值为1，2，3，2n共有2n个格点 当2x 时，y取值为1，2，3，n共有n个格点()23f nnnn()(1)9(1)22nnnf n f nn nT 119(1)(2)229(1)22nnnnnnTnn nTn 你的首选资源互助社区 诚信经营 超值服务天利会员：诚信精品与您共建淘题精品世界 第 24 页 共 25 页 当1,2n 时，1nnTT 当3n 时，122nnnnTT 1n 时，19T 2,3n 时，23272TT 4n 时，3nTT nT中的最大值为23272TT 要使mTn对于一切的正整数n恒成立，只需272m272m ()38(1 8)8228(81)1 87nf nnnnnnbS 将nS代入16111nnnntbStbS，化简得，888177812877nntt（）若1t 时88181577,8127777nnn即，显然1n 若1t 时818077nt（）式化简为815877nt不可能成立 综上，存在正整数1,1nt使16111nnnntbStbS成立 你的首选资源互助社区 诚信经营 超值服务天利会员：诚信精品与您共建淘题精品世界 第 25 页 共 25 页
