2020高中数学第一章集合与常用逻辑用语.2.充分条件、必要条件练习(含解析)第一册.pdf
学必求其心得，业必贵于专精 -1-1.2.3 充分条件、必要条件 最新课程标准：(1)通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系（2)通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系(3）通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.知识点一 充分条件与必要条件 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说,由p可以推出q，记作pq，并且说，p是q的充分条件(sufficient condition),q是p的必要条件(necessary condition）错误!如果“若 p，则 q为假命题，那么由条件 p 不能推出结论 q，记作 p q此时，我们就说 p 不是 q 的充分条件,q 不是 p 的必要条件 知识点二 充要条件 如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p均是真命题，即既有pq，又有qp，就记作pq.此时,p既是q的充分条件，也是学必求其心得，业必贵于专精 -2-q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件（sufficient and necessary condition）显然,如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件 错误!p 与 q 互为充要条件时，也称“p 等价于 q”“q 当且仅当p等 基础自测 1钱大姐常说“便宜没好货，她这句话的意思是:“不便宜”是“好货的（）A充分条件 B必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：“便宜没好货”的意思是“好货”肯定“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件 答案：B 2设p：x3,q：1x1x1.（2）命题“若a，b都是偶数,则ab是偶数”是真命题，故a,b都是偶数ab是偶数 答案：(1）(2）题型一 充分条件、必要条件、充要条件的判断 教材 P31例 1 学必求其心得，业必贵于专精 -4-例 1 判断下列各题中,p是否是q的充分条件，q是否是p的必要条件:（1)p：xZ,q：xR；（2)p：x是长方形；q：x是正方形【解析】(1）因为整数都是有理数，从而一定也是实数，即pq,因此p是q的充分条件，q是p的必要条件 pq 由充分条件的定义来判断（2）因为长方形不一定是正方形，即pD/q，因此p不是q的充分条件,q不是p的必要条件 pq 由必要条件的定义来判断 学必求其心得，业必贵于专精 -5-教材反思 充分条件、必要条件、充要条件的判断方法 1定义法(1）分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论（2）找推式：判断“pq”及“qp的真假(3)根据推式及条件得出结论 2等价转化法(1）等价法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题(2)逆否法:这是等价法的一种特殊情况 若綈p綈q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件;若綈p綈q，且綈q 綈p，则p是q的必要不充分条件；若綈p綈q,则p与q互为充要条件;若綈p綈q,且綈q 綈p，则p是q的既不充分也不必要条件 3集合法:写出集合Axp（x）及Bx|q(x），利用集合间的包含关系进行判断 4传递法：若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出学必求其心得，业必贵于专精 -6-相应的推式图，根据图中推式的传递性进行判断 5特殊值法：对于选择题,可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论）不能推出结论(条件）,但是这种方法不适用于证明题。跟踪训练 1 指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)(1）p：x30,q：(x2）(x3）0；(2）p：两个三角形相似，q：两个三角形全等;（3)p:ab，q：acbc.解析：（1）x30（x2）(x3)0，但(x2)（x3)0 x30，故p是q的充分不必要条件(2）两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件(3）abacbc，且acbcab,故p是q的充要条件 错误!错误!题型二 求条件（充分条件、必要条件和充要条件）学必求其心得，业必贵于专精 -7-经典例题 例 2 使不等式 2x25x30 成立的一个充分不必要条件是（）Ax0 Bx2 C。x1,3，5 Dx错误!或x3【解析】由 2x25x30,得x3 或x错误!,所以选项中只有x1，3，5是使不等式 2x25x30 成立的一个充分不必要条件【答案】C 先求出满足题意的充要条件错误!错误!方法归纳 本题易错的地方是颠倒充分性和必要性，根据xx3 或x错误!x|x 2 或x0，误选 B.事实上，“不等式 2x25x30成立”为结论q，我们只需找到条件p使pq且q p即可 跟踪训练 2 2x25x30 的必要不充分条件是(）学必求其心得，业必贵于专精 -8-A错误!x3 B0 x2 C1x2 D错误!x4 解析：2x25x30错误!x3，错误!错误!,错误!x4 是 2x25x30 的必要不充分条件 答案:D 使 2x25x30 成立的 x 为错误!x 3，再求必要不充分条件 题型三 充分条件、必要条件、充要条件的应用 经典例题 例 3 已知p:2x23x20，q：x22（a1）xa（a2）0，若p是q的充分不必要条件求实数a的取值范围【解析】令Mx2x23x20 x(2x1）(x2）0错误!;Nx|x22（a1）xa(a2)0 x(xa）x(a2)0 xxa2 或xa,由已知pq且q p,得MN.学必求其心得，业必贵于专精 -9-错误!或错误!解得错误!a2 或错误!a2，即错误!a2，即所求a的取值范围是错误!.错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!方法归纳 根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件、充要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组）进行求解 跟踪训练 3 已知Mx(xa)21,Nxx25x240,若M是N的充分条件,求a的取值范围 解析:由（xa)21 得，x22ax（a1）(a1)0，a1xa1。则Mxa1xa1，又由x25x240 得3x8.则Nx|3x1 或x3,q：xa，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是（)A1，）B(,1 C3，)D（，3 解析:令Ax|x1 或xa，学必求其心得，业必贵于专精 -12-q是p的充分不必要条件，BA,a1.答案：A 二、填空题 5从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件中选一个合适的填空（1)“x210”是“x10”的_；(2)“x5”是“x3的_ 解析:（1)设Axx2101，1，Bx|x|101，1，所以AB，即“x210”是“|x|10”的充要条件(2）设Axx5，Bx|x3，因为AB，所以“x5是“xAC；（2)对于实数x，y，p:xy8,q：x2 或y6；（3)已知x，yR，p：(x1）2(y2）20，q:（x1）（y2)0。解析：(1)在ABC中，显然有ABBCAC,所以p是q的充要条件（2）因为pq，但qp,所以p是q的充分不必要条件 学必求其心得，业必贵于专精 -14-(3)因为p：A（1，2），q：B（x，y）x1 或y2，AB，所以p是q的充分不必要条件 9已知p：x28x200，q：x22x1m20（m0)，若p是q的充分而不必要条件,求正实数m的取值范围 解析:由命题p得：x10 或x2，由命题q得：x22x1m20(m0）x（1m)x(1m)0 x0）因为p是q的充分不必要条件，所以pq，且qp，xx10 或x2x|x1m（m0),所以错误!两等号不能同时成立，解得错误!即m3。所以正实数m的取值范围为（0,3 尖子生题库 10 求关于x的方程ax22x10 至少有一个负的实根的充要条件 解析：(1)a0 时，可得x错误!，符合题意（2）当a0 时，方程为一元二次方程，若方程有两个异号的实根，学必求其心得，业必贵于专精 -15-则错误!解得a0；若方程有两个负的实根，则必须满足错误!解得 0a1.综上知，若方程至少有一个负的实根，则a1.反之,若a1,则方程至少有一个负的实根 因此，关于x的方程ax22x10 至少有一个负的实根的充要条件是a1.
