2020高中数学第章三角函数.4.正弦函数、余弦函数的图象教案(含解析).pdf
学必求其心得，业必贵于专精 -1-1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解正弦函数、余弦函数图象的来历，掌握“五点法”画函数图象的方法（重点）2正、余弦函数图象的简单应用(难点）3正、余弦函数图象的区别与联系（易混点)1。通过简谐振动的实验引出正弦函数、余弦函数的图象，培养学生数学直观和直观想象的核心素养 2通过“五点法”作图和函数图象的变换，提升学生逻辑推理能力，深透数形结合素养。1正弦曲线 正弦函数ysin x，xR 的图象叫正弦曲线 2正弦函数图象的画法（1）几何法：利用单位圆中正弦线画出ysin x,x0，2的图象；学必求其心得，业必贵于专精 -2-将图象向左、右平行移动(每次 2 个单位长度)(2)五点法:画出正弦曲线在0，2上的图象的五个关键点（0，0)，错误!，（，0)，错误!，(2，0），用光滑的曲线连接；将所得图象向左、右平行移动（每次 2 个单位长度）思考：把用“五点法”作出的图象向左、右平行移动 2 的整数倍单位就得到整条曲线,依据是什么？提示：依据是诱导公式（一）:sin(2k)sin（kZ），或者说终边相同的角的正弦线相同 3余弦曲线 余弦函数ycos x，xR 的图象叫余弦曲线 4余弦函数图象的画法（1)要得到ycos x的图象，只需把ysin x的图象向左平移错误!个单位长度即可（2)用“五点法”画余弦曲线ycos x在0，2上的图象时，所取的五个关键点分别为（0，1），错误!，（，1)，错误!，(2，1）,再用光滑的曲线连接 学必求其心得，业必贵于专精 -3-思考：ycos x（xR）的图象可由ysin x(xR）的图象平移得到的原因是什么？提示 因为 cos xsin错误!，所以ysin x（xR)的图象向左平移错误!个单位可得ycos x（xR)的图象 1用“五点法”作函数y2sin x1 的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（）A0,错误!，错误!，2 B0，错误!，错误!，错误!，C0，2，3，4 D0，错误!，错误!，错误!，错误!A 根据“五点法”作图，x的取值为 0，错误!，,错误!，2.2函数ysinx的图象是(）B ysinx是偶函数，x0 时，其图象与ysin x的图象完全相同 3 请补充完整下面用“五点法”作出ysin x(0 x2)的图学必求其心得，业必贵于专精 -4-象时的列表 x 0 错误!错误!2 sin x 1 0 0 _；_；_ 0 1 用“五点法”作ysin x(0 x2)的图象的五个关键点为(0，0），错误!,（，0)，错误!，(2，0）故为,为 0，为1。4函数ycos x，x0，2的图象与直线y12的交点有_个 2 由图象可知:函数ycos x,x0，2的图象与直线y错误!有两个交点 正弦函数、余弦函数图象的初步认识【例 1】(1)下列叙述正确的是（）ysin x，x0，2的图象关于点P（，0）成中心对称；ycos x,x0，2的图象关于直线x 成轴对称;学必求其心得，业必贵于专精 -5-正、余弦函数的图象不超过直线y1 和y1 所夹的范围 A0 B1 个 C2 个 D3 个(2)下列函数图象相同的是()Af(x)sin x与g(x)sin(x）Bf(x)sin错误!与g(x）sin错误!Cf（x)sin x与g(x)sin（x）Df(x)sin（2x)与g（x）sin x(1）D（2）D(1)分别画出函数ysin x，x0，2和ycos x，x0，2的图象，由图象（略)观察可知均正确（2）A 中g（x）sin x；B 中，f(x）cos x，g（x)cos x；C 中g(x）sin x；D 中f（x)sin x，故选 D.解决正、余弦函数图象的注意点 对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同,只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到 1关于三角函数的图象，有下列说法：学必求其心得，业必贵于专精 -6-ysin x1.1 的图象与x轴有无限多个公共点；ycos（x）与ycos x|的图象相同;ysin x|与ysin（x）的图象关于x轴对称；ycos x与ycos(x）的图象关于y轴对称 其中正确的序号是_ 对，ycos（x)cos x，ycos|x|cos x，故其图象相同;对，ycos(x）cos x,故其图象关于y轴对称;作图(略）可知均不正确 用“五点法”作三角函数的图象【例 2】用“五点法”作出下列函数的简图(1）y1sin x(0 x2)；（2）y1cos x（0 x2)思路点拨：列表：让x的值依次取 0，错误!，,错误!,2错误!错误!解（1）取值列表如下：x 0 错误!错误!2 sin x 0 1 0 1 0 学必求其心得，业必贵于专精 -7-1sin x 1 0 1 2 1 描点连线，如图所示。（2)取值列表如下：x 0 错误!错误!2 cos x 1 0 1 0 1 1cos x 0 1 2 1 0 描点连线，如图所示 用“五点法画函数yAsin xb（A0）或yAcos xb(A0)在0,2上简图的步骤：(1)列表:x 0 错误!错误!2 sin x（或 cos x)0(或 1）1（或 0）0(或1)1（或 0)0（或 1）学必求其心得，业必贵于专精 -8-y b（或Ab）Ab（或b)b（或Ab)Ab（或b）b（或Ab)（2)描点：在平面直角坐标系中描出五个点（0，y1)，错误!，(，y3)，错误!,(2，y5)，这里的yi（i1，2,3，4，5）值是通过函数解析式计算得到的(3）连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，就得到正（余)弦函数yAsin xb(yAcos xb)（A0)的图象 提醒:作图象时,函数自变量要用弧度制,x轴、y轴上尽量统一单位长度 2用“五点法”画出函数y错误!sin x,x0，2上的图象 解 取值列表如下:x 0 错误!32 2 sin x 0 1 0 1 0 错误!sin x 错误!32 错误!错误!错误!学必求其心得，业必贵于专精 -9-描点，并将它们用光滑的曲线连接起来(如图)正弦、余弦函数图象的应用 探究问题 1解三角不等式 sin xa（或 cos xxa）一般有几种方法？提示：一般有两种方法：一是利用三角函数线,结合单位圆求解；一是利用正、余弦函数图象解决 2如何处理方程f（x）g(x）的根的个数问题？提示 在同一坐标中,分别画出yf(x）和yg(x)的图象,观察交点个数，如求 sin xx的实根个数时，可以在同一坐标系内分别作出ysin x,yx图象(略）可知在x0，1内，sin xx没有交点，当x1 时不会相交，所以方程只有一个实根为 0。【例 3】(1)函数y错误!的定义域为_(2)在同一坐标系中,作函数ysin x和ylg x的图象，根据图象判断出方程 sin xlg x的解的个数 思路点拨:（1）错误!错误!错误!学必求其心得，业必贵于专精 -10-(2）错误!错误!错误!错误!（1)错误!由 2sin x10 得 sin x错误!，画出ysin x的图象和直线y错误!。可知 sin x错误!的解集为错误!.（2）解 建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数ysin x，xR 的图象 描出点(1，0），（10，1），并用光滑曲线连接得到ylg x的图象，如图所示 由图象可知方程 sin xlg x的解有 3 个 1本例（1)中的“sin x”改为“cos x”，应如何解答？解 由 2cos x10 得 cos x错误!，画出ycos x的图象和直线y12。学必求其心得，业必贵于专精 -11-观察图象可知 cos x12的解集是错误!.2把本例(2)中两函数改为“y错误!，ycos x”，方程“sin xlg x”改为“，xcos x”，应如何解答？解 y错误!中x的取值范围是0，）分别作出y，x，ycos x的图象，如图 由图象可观察到两个函数图象只有一个交点,所以方程错误!cos x只有唯一一个根 1用三角函数的图象解 sin xa（或 cos xa）的方法（1)作出ya，ysin x（或ycos x)的图象（2)确定 sin xa（或 cos xa）的x值(3）确定 sin xa(或 cos xa）的解集 2利用三角函数线解 sin xa（或 cos xa)的方法（1）找出使 sin xa（或 cos xa)的两个x值的终边所在的位学必求其心得，业必贵于专精 -12-置(2）根据变化趋势，确定不等式的解集 1三角函数图象是本节课的重点三角函数图象直观地反映了三角函数的性质，所以画好三角函数的图象是研究三角函数性质的关键，因此一定要掌握正弦、余弦函数的图象特征，特别是会灵活运用五点作图法准确作出函数图象 2“五点法”画正弦函数图象的理解（1）与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高,只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图(2）正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点 3作函数yAsin xb的图象的步骤 1对于余弦函数ycos x的图象，有以下三项描述：学必求其心得，业必贵于专精 -13-向左向右无限延伸；与x轴有无数多个交点；与ysin x的图象形状一样，只是位置不同 其中正确的有（）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 D 根据正余弦函数图象可知，正确 2函数ycos x与函数ycos x的图象（）A关于直线x1 对称 B关于原点对称 C关于x轴对称 D关于y轴对称 C 由解析式可知ycos x的图象过点(a，b)，则ycos x的图象必过点(a，b)，由此推断两个函数的图象关于x轴对称 3若方程 sin x4m1 在x0,2上有解，则实数m的取值范围是_ 12，0 因为x0，2时，1sin x1，方程有解可转化为14m11，解得错误!m0.4用“五点法画出函数y2sin x，x0，2上的图象 解（1)列表:学必求其心得，业必贵于专精 -14-x 0 错误!错误!2 2sin x 0 2 0 2 0(2）描点作图，如下:
