2020高中数学第章导数及其应用..2函数的极值与导数学案2-.pdf

学必求其心得，业必贵于专精 -1-1.3.2 函数的极值与导数 学 习 目 标 核 心 素 养 1 了解极大值、极小值的概念(难点)2 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（重点、易混点）3会用导数求函数的极大值、极小值(重点）1通过极值点与极值概念的学习，体现了数学抽象的核心素养 2借助函数极值的求法，提升学生的逻辑推理、数学运算的核心素养。1极值点与极值(1)极小值点与极小值 若函数yf(x）在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a）0，而且在点xa附近的左侧f（x）0，右侧f(x)0，就把点a叫做函数yf(x）的极小值点，f（a)叫做函数yf(x）的极小值（2)极大值点与极大值 若函数yf(x)在点xb的函数值f（b）比它在点xb附近其学必求其心得，业必贵于专精 -2-他点的函数值都大,f(b）0，而且在点xb附近的左侧f（x）0，右侧f(x)0，就把点b叫做函数yf（x）的极大值点，f（b）叫做函数yf(x）的极大值(3）极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值 思考：导数为 0 的点一定是极值点吗？提示 不一定,如f（x）x3，f(0)0,但x0 不是f（x）x3的极值点所以，当f(x0)0 时，要判断xx0是否为f（x)的极值点，还要看f(x)在x0两侧的符号是否相反 2求可导函数yf（x)的极值的方法 解方程f(x）0.当f（x0)0 时：（1)如果在x0附近的左侧f(x）0，右侧f（x）0,那么f（x0）是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f（x)0，那么f（x0)是极小值 1函数f(x）的定义域为 R，导函数f(x）的图象如图所示，则函数f(x）()学必求其心得，业必贵于专精 -3-A无极大值点，有四个极小值点 B有三个极大值点,两个极小值点 C有两个极大值点，两个极小值点 D有四个极大值点，无极小值点 C 设yf（x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1,x2，x3,x4，则f（x)在xx1，xx3处取得极大值，在xx2,xx4处取得极小值 2函数f(x)错误!错误!的极值点为（）A0 B1 C0 或 1 D1 D f(x)x3x2x2(x1),由f（x)0 得x0 或x1。又当x1 时f(x)0，0 x1 时f(x)0，1 是f(x）的极小值点 又x0 时f（x)0，故x0 不是函数的极值点 3若可导函数f（x)在(,1）上单调递增，在(1,）上单调递减，则f(1)_,1 是函数f(x）的_值 学必求其心得，业必贵于专精 -4-0 极大 由题意可知,当x1 时，f(x)0,当x1 时，f(x）0，f（1)0,1 是函数f（x)的极大值 4函数f(x)x33x21 的极小值点为_ 2 由f（x）3x26x0，解得x0 或x2。列表如下：x(,0）0(0,2)2（2，）f（x)0 0 f(x）极大值 极小值 当x2 时，f（x）取得极小值 求函数的极值点和极值 角度 1 不含参数的函数求极值【例 1】求下列函数的极值(1）yx33x29x5；(2)yx3（x5)2.学必求其心得，业必贵于专精 -5-解（1)y3x26x9，令y0，即 3x26x90，解得x11，x23。当x变化时，y，y的变化情况如下表：x（，1）1（1，3）3（3，）y 0 0 y 极大值 极小值 当x1 时，函数yf（x)有极大值,且f（1)10；当x3 时，函数yf(x）有极小值,且f（3）22.(2)y3x2（x5)22x3(x5)5x2(x3）(x5）,令y0，即 5x2(x3)（x5)0，解得x10，x23，x35。当x变化时，y与y的变化情况如下表：x(，0)0（0,3）3(3，5）5(5,）y 0 0 0 学必求其心得，业必贵于专精 -6-y 无极值 极大值108 极小值0 x0 不是y的极值点；x3 是y的极大值点，y极大值f(3)108;x5 是y的极小值点,y极小值f（5)0.角度 2 含参数的函数求极值【例 2】已知函数f(x)（x2ax2a23a)ex（xR)，当aR且a错误!时，求函数的极值 思路探究:错误!错误!错误!解 f（x）x2(a2）x2a24aex。令f(x)0,解得x2a或xa2.由a错误!知，2aa2。以下分两种情况讨论：若a错误!,则2aa2。当x变化时，f(x），f(x）的变化情况如下表：x（，2a（2a，aa2(a2，学必求其心得，业必贵于专精 -7-2a）2）f(x)0 0 f(x)极大值 极小值 f（x)在（,2a），(a2,)内是增函数，在（2a，a2）内是减函数 函数f（x)在x2a处取得极大值f(2a）,且f（2a）3ae2a；函数f（x)在xa2 处取得极小值f（a2），且f(a2)(43a)ea2.若a错误!，则2aa2,当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表:x（，a2）a2（a2,2a）2a(2a，)f(x）0 0 f（x)极大值 极小值 f（x）在(，a2），(2a，)内是增函数，在(a2,学必求其心得，业必贵于专精 -8-2a）内是减函数 函数f(x）在xa2 处取得极大值f（a2)，且f(a2）（43a）ea2；函数f(x)在x2a处取得极小值f(2a)，且f（2a)3ae2a.求可导函数f（x)的极值的步骤(1)求函数的定义域；（2）求函数的导数f（x）；（3）令f（x)0，求出全部的根x0；（4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f（x），f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内；（5）判断得结论：若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值 1若函数f(x）xaln x（aR），求函数f(x)的极值 解 函数f(x）的定义域为（0，），f（x）1错误!错误!。(1)当a0 时，f（x）0，函数f(x）在（0，）上单调递学必求其心得，业必贵于专精 -9-增,函数f（x)无极值（2)当a0 时，令f（x)0,解得xa.当 0 xa时，f（x)0;当xa时，f（x)0.f（x）在xa处取得极小值，且f（a）aln a，无极大值 综上可知，当a0 时，函数f（x）无极值;当a0 时,函数f（x)在xa处取得极小值aaln a,无极大值。由极值求参数的值或取值范围【例 3】(1）若函数f(x）x3ax2bxa2在x1 处取得极值 10，则a_，b_.（2）已知函数f（x)错误!x3错误!(m3）x2（m6)x（xR，m为常数)，在区间(1，）内有两个极值点,求实数m的取值范围 思路探究：（1）由f(1）0 及f（1)10 求a，b，注意检验极值的存在条件；（2)f（x）在（1,）内有两个极值点，等价于f（x）0在（1，)内有两个不等实根（1）4，11 f（x)3x22axb，依题意得错误!即错误!解得错误!或错误!学必求其心得，业必贵于专精 -10-但由于当a3，b3 时，f（x）3x26x33（x1）20,故f（x）在 R 上单调递增,不可能在x1 处取得极值，所以错误!，不符合题意,应舍去 而当错误!时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为 4，11。(2）解 f(x）x2(m3)xm6.因为函数f（x）在（1，)内有两个极值点，所以f(x）x2（m3）xm6 在(1，)内与x轴有两个不同的交点，如图所示 所以错误!解得m3。故实数m的取值范围是（3，)已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：1根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；2因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性。学必求其心得，业必贵于专精 -11-2若x2 是函数f(x)x（xm)2的极大值点,求函数f(x)的极大值 解 f(x）（xm）(3xm)，且f（2）0,(m2)(m6)0，即m2 或m6.(1）当m2 时，f（x)(x2)（3x2)，由f(x）0 得x错误!或x2；由f(x）0 得错误!x2。x2 是f(x）的极小值点，不合题意，故m2 舍去（2）当m6 时，f（x）(x6）（3x6)，由f(x)0 得x2 或x6；由f(x）0 得 2x6.x2 是f（x)的极大值,f(2)2(26)232。即函数f（x）的极大值为 32。极值问题的综合应用 探究问题 1如何画出函数f（x)2x33x236x16 的大致图象 学必求其心得，业必贵于专精 -12-提示 f（x）6x26x366（x2x6）6(x3）（x2）由f(x)0 得x2 或x3，函数f（x）的递增区间是(，2)和（3，）由f（x)0 得2x3，函数f（x)的递减区间是（2,3）由已知得f(2)60,f（3)65，f(0)16.结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x）大致图象如图所示（答案不唯一）2当a变化时,方程 2x33x236x 16a有几解？提示 方程 2x33x236x16a解的个数问题可转化为函数ya与y2x33x236x16 的图象有几个交点的问题，结合探究点 1 可知:（1）当a60 或a65 时，方程 2x33x236x16a有且只有一解；学必求其心得，业必贵于专精 -13-(2)当a60 或a65 时，方程 2x33x236x16a有两解；(3)当65a60 时，方程 2x33x236x16a三解【例 4】已知函数f（x)x33xa（a为实数)，若方程f（x)0 有三个不同实根,求实数a的取值范围 思路探究：求出函数的极值,要使f(x）0 有三个不同实根,则应有极大值大于 0，极小值小于 0，由此可得a的取值范围 解 令f(x）3x233(x1）(x1）0，解得x11,x21。当x0；当1x1 时，f(x)1 时，f（x）0。所以当x1 时,f（x）有极大值f(1）2a;当x1 时，f(x)有极小值f（1)2a.因为方程f(x)0 有三个不同实根,所以yf(x）的图象与x轴有三个交点，如图 由已知应有错误!解得2a2，故实数a的取值范围是（2，2）1（改变条件)本例中，若方程f(x）0 恰有两个根，则实数a学必求其心得，业必贵于专精 -14-的值如何求解?解 由例题，知函数的极大值f（1）2a,极小值f（1)2a，若f(x)0 恰有两个根,则有 2a0，或2a0,所以a2 或a2。2（改变条件）本例中,若方程f(x)0 有且只有一个实根，求实数a的范围 解 由例题可知，要使方程f(x)0 有且只有一个实根，只需 2a0 或2a0，即a2 或a2.用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基本上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便。1在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值 学必求其心得，业必贵于专精 -15-2函数的极值是函数的局部性质，可导函数f(x）在点xx0处取得极值的充要条件是f（x0)0 且在xx0两侧f(x）符号相反 3利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题 1函数f(x）的定义域为 R，它的导函数yf(x）的部分图象如图所示,则下面结论错误的是()A在(1，2)上函数f（x）为增函数 B在(3，4）上函数f（x）为减函数 C在（1,3)上函数f（x)有极大值 Dx3 是函数f(x)在区间1,5上的极小值点 D 由图可知，当 1x2 时，f(x）0，当 2x4 时，f（x）0，当 4x5 时,f（x)0，x2 是函数f(x)的极大值点，x4 是函数f（x)的极小值点，学必求其心得，业必贵于专精 -16-故 A,B,C 正确，D 错误 2已知函数f（x）2x3ax236x24 在x2 处有极值,则该函数的一个递增区间是()A(2,3)B(3，）C（2，）D（,3)B f(x)6x22ax36，且在x2 处有极值，f(2)0,244a360,a15,f（x）6x230 x366(x2）（x3），由f（x）0 得x2 或x3。3设函数f(x）xex,则(）Ax1 为f（x)的极大值点 Bx1 为f（x)的极小值点 Cx1 为f(x)的极大值点 Dx1 为f(x)的极小值点 D 令yexxex（1x）ex0,得x1.当x1 时，y0;当x1 时,y0。故当x1 时，y取得极小值 4已知函数f（x）x33ax23（a2）x1 既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_(，1)(2，）f(x）3x26ax3(a2），学必求其心得，业必贵于专精 -17-函数f(x）既有极大值又有极小值，方程f（x)0 有两个不相等的实根，36a236（a2）0,即a2a20，解得a2 或a1。5。求下列函数的极值（1）f（x)x22ln x；（2)y错误!.解(1）f（x)2x错误!,且函数定义域为（0，)，令f（x）0,得x1 或x1(舍去），当x（0,1）时，f(x)0，当x(1，)时，f（x）0,当x1 时，函数有极小值，极小值为f（1）1。（2)函数的定义域为(，1)(1，)，且y错误!,令y0，得x11,x22,当x变化时，y，y的变化情况如表：x(,1）1(1，1）（1,2）2（2，)学必求其心得，业必贵于专精 -18-y 0 0 y 单调递增 错误!单调递减 单调递增 3 单调递增 故当x1 时，y有极大值错误!.