2020高中数学第章立体几何初步.空间直线、平面的垂直7平面与平面垂直的判定第二册.pdf

学必求其心得，业必贵于专精 -1-课时作业 37 平面与平面垂直的判定 知识点一 二面角 1.给出下列命题：两个相交平面组成的图形叫做二面角;异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系 其中真命题是(）A B C D 答案 B 解析 对于，显然混淆了平面与半平面的概念，错误；对于，因为a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱,但由于异面直线所成的角为锐角（或直角)，所以应是相等或互补,正确；对于,因为所作射线不一定垂直于棱，所以错误；正确故选B.学必求其心得，业必贵于专精 -2-2如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1ABC的大小为_ 答案 45 解析 ABBC，ABBC1，C1BC为二面角C1ABC的平面角，大小为 45。知识点二 平面与平面垂直的判定 3如图，AB是圆O的直径，PA圆O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点，则图中互相垂直的平面共有（)A2 对 B3 对 C4 对 D5 对 答案 B 解析 如图所示 因为PA平面ACB，PA 平面PAC，PA 平面PAB，所以平学必求其心得，业必贵于专精 -3-面PAC平面ACB，平面PAB平面ACB.因为PA平面ACB,CB 平面ACB，所以PACB。又ACCB,且PAACA,所以CB平面PAC。又CB 平面PCB，所以平面PAC平面PCB。共有：平面PAC平面ACB，平面PAB平面ACB,平面PAC平面PCB。故选 B.4设有直线m，n和平面,，则下列结论中正确的是（)若mn，m,n，则；若mn，n，m，则；若mn，m，n，则；若m，n,mn，则。A B C D 答案 B 解析 错误，当两平面不垂直时，也能在两个平面内找到互相垂直的直线；错误,当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到学必求其心得，业必贵于专精 -4-无数条直线与两平面的交线垂直.知识点三 平面与平面垂直的证明 5如图所示，已知PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，点C是圆O上任意一点，过A作AEPC于E,AFPB于F。求证：（1）AE平面PBC；(2）平面PAC平面PBC；(3）PBEF。证明(1）因为AB是圆O的直径，所以ACB90,即ACBC.因为PA圆O所在的平面，即PA平面ABC,而BC 平面ABC，所以BCPA.又ACPAA,所以BC平面PAC.因为AE 平面PAC，所以BCAE.又AEPC，PCBCC,所以AE平面PBC.(2）由（1)知AE平面PBC，且AE 平面PAC，所以平面PAC平面PBC。学必求其心得，业必贵于专精 -5-(3）因为AE平面PBC，且PB 平面PBC,所以AEPB.又AFPB于F,且AFAEA，所以PB平面AEF。又EF 平面AEF，所以PBEF。6如图，在四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA,ABCD，E，F，G,M,N分别为PB，AB，BC，PD,PC的中点求证：平面EFG平面EMN.证明 E，F分别为PB,AB的中点，EFPA.ABPA，ABEF。同理，ABFG.EFFGF,EF 平面EFG,FG 平面EFG，AB平面EFG。M，N分别为PD，PC的中点,MNCD。ABCD，MNAB，MN平面EFG。MN 平面EMN，平面EFG平面EMN。学必求其心得，业必贵于专精 -6-一、选择题 1 若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角的平面角()A相等 B互补 C相等或互补 D关系无法确定 答案 D 解析 如图所示,设平面ABCN平面BCPQ，平面EFDG平面ABCN,GD平面BCPQ，当平面HDGM绕DG转动时，平面HDGM始终与平面BCPQ垂直，因为二面角HDGF的大小不确定，所以两个二面角的大小关系不确定 2如图，设P是正方形ABCD所在平面外一点，且PA平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是（)A平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直 学必求其心得，业必贵于专精 -7-B它们两两垂直 C平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直 D平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直 答案 A 解析 PA平面ABCD，PABC，ADPA。又BCAB，PAABA,BC平面PAB。BC 平面PBC，平面PBC平面PAB.ADPA，ADAB，PAABA，AD平面PAB。AD 平面PAD，平面PAD平面PAB.由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直，故选 A.3在正四面体PABC中,D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是(）ABC平面PDF BDF平面PAE C平面PDF平面ABC D平面PAE平面ABC 答案 C 解析 如图,BCDF,学必求其心得，业必贵于专精 -8-BC平面PDF。A 正确 BCPE，BCAE,BC平面PAE.DF平面PAE.B 正确 平面ABC平面PAE(BC平面PAE)，D 正确 4如图，四边形ABCD中，ADBC,ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿BD折起，使平面ABDCD,构成几何体ABCD，则在几何体ABCD中，下列结论正确的是（)A平面ABD平面ABC B平面ADC平面BDC C平面ABC平面BDC D平面ADC平面ABC 答案 D 学必求其心得，业必贵于专精 -9-解析 CD平面ABD,从而CDAB，又ABAD，ADCDD，故AB平面ADC。又AB 平面ABC，平面ABC平面ADC.5在二面角l的一个面内有一条直线AB，若AB与棱l的夹角为 45，AB与平面所成的角为 30,则此二面角的大小是(）A30 B30或 45 C45 D45或 135 答案 D 解析 如图所示，设AB与l交于一点C，在AB上任取一点M，过M作MN于N，过M作MEl于E，连接NE,则NEl.NEM为二面角l的平面角或它的补角，连接NC.BCE45，BCN30.设MEx，则MC错误!x，MN错误!x。在 RtMNE中，sinNEM错误!错误!错误!，NEM等于 45或 135,故选 D。二、填空题 学必求其心得，业必贵于专精 -10-6在二面角l中，A，AB平面于点B，BC平面于点C。若AB6,BC3，则二面角l的平面角的大小为_ 答案 60或 120 解析 如图,AB,ABl.BC，BCl,l平面ABC.设平面ABClD，则ADB为二面角l的平面角或补角 AB6,BC3，BAC30，ADB60,二面角l的平面角的大小为 60或 120.7如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下面三个结论：点H是A1BD的中心;学必求其心得，业必贵于专精 -11-AH垂直于平面CB1D1;直线AC1与直线B1C所成的角是 90。其中正确结论的序号是_ 答案 解析 正确,连接A1H，BH，DH。因为ABADAA1，AH平面A1BD，所以 RtABHRtADHRtAA1H，所以HBHDHA1。又A1BD是等边三角形，所以点H是A1BD的中心 正确,因为A1B1AB，A1B1AB,CDAB，CDAB,所以A1B1CD，且A1B1CD，所以四边形A1B1CD是平行四边形，所以B1CA1D。又A1D 平面A1BD，B1C 平面A1BD，所以B1C平面A1BD。同理可证B1D1平面A1BD。又B1CB1D1B1，所以平面CB1D1平面A1BD.又AH垂直于平面A1BD,所以AH垂直于平面CB1D1。正确，连接BC1，AC1，AD1，因为四边形BCC1B1是正方形，所以B1CBC1.因为AB平面BCC1B1，B1C 平面BCC1B1，所以B1CAB。又BC1ABB,所以B1C平面ABC1D1.又AC1 平面ABC1D1，所以AC1B1C，所以直线AC1与直线B1C所成的角是 90.8如图,P是二面角AB的棱AB上一点，分别在，学必求其心得，业必贵于专精 -12-上引射线PM，PN，截PMPN。若BPMBPN45，MPN60，则二面角AB的大小是_ 答案 90 解析 在内过点M作MOAB于点O,连接NO，设PMPNa.BPMBPN45，OPMOPN,NOAB,MON为二面角AB的平面角连接MN。MPN60，MNa。又MONO错误!a，MO2NO2MN2,MON90.三、解答题 9如图所示，在三棱锥ABCD中，AB平面BCD，BDCD。(1)求证：平面ABD平面ACD；（2)若AB2BD，求二面角ADCB的正弦值 解(1）证明:AB平面BCD，CD 平面BCD，学必求其心得，业必贵于专精 -13-ABCD,又BDCD且BDABB。CD平面ABD。又CD 平面ACD。平面ABD平面ACD。（2)由(1）知ADB为二面角ADCB的平面角 在 RtABD中，AB2BD，ADAB2BD25BD，sinADB错误!错误!.即二面角ADCB的正弦值为错误!。10 如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为直角梯形,ABCD，ABAD,且CD2AB。(1）若ABAD，直线PB与CD所成的角为 45，求二面角PCDB的大小；(2）若E为线段PC上一点，试确定点E的位置，使得平面EBD平面ABCD，并说明理由 解（1)ABAD，CDAB，CDAD，又PA底面ABCD，CD 平面ABCD，学必求其心得，业必贵于专精 -14-PACD。又PAADA，CD平面PAD,又PD 平面PAD，CDPD，PDA即是二面角PCDB的平面角 又直线PB与CD所成的角为 45，PBA45,PAAB.在 RtPAD中，PAAD，PDA45，即二面角PCDB的大小为 45。（2）当点E在线段PC上，且满足PEEC12 时,平面EBD平面ABCD。理由如下：连接AC交BD于点O，连接EO。由AOBCOD，且CD2AB，得CO2AO，PEECAOCO12,PAEO。PA底面ABCD,EO底面ABCD.又EO 平面EBD，平面EBD平面ABCD。在线段PC上存在点E，满足PEEC12 时,平面EBD平面ABCD.学必求其心得，业必贵于专精 -15-