2020高中数学第三章函数章末复习提升课教师用书第一册.pdf

学必求其心得，业必贵于专精 -1-章末复习提升课 函数的定义域和值域 (1)函数f（x)错误!(3x1)0的定义域是（）A.错误!B。错误!C。错误!D。错误!错误!(2)已知函数yf（x1)的定义域是2，3,则yf(2x1）的定义域是（）A.错误!B。1，4 C。5，5 D.3,7 学必求其心得，业必贵于专精 -2-(3)求下列函数的值域：y错误!；yx41x;y错误!2x，x错误!。【解】（1）选 D。由题意得,错误!解得x1 且x13.（2）选 A。设ux1，由2x3,得1x14，所以yf(u）的定义域为1，4.再由12x14，解得 0 x错误!，即函数yf（2x1）的定义域是错误!.（3)y错误!错误!2错误!，显然错误!0,所以y2.故函数的值域为(，2）（2，）.设t1x0,则x1t2，所以原函数可化为y1t24t(t2)25(t0）,所以y5，所以原函数的值域为（,5。因为y错误!2x在错误!上为减函数,所以ymin错误!2错误!1。ymax错误!2（2)错误!.学必求其心得，业必贵于专精 -3-所以函数的值域为错误!。错误!求函数定义域的类型与方法(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合。（2）实际问题:求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义。(3)复合函数问题：若f(x）的定义域为 a，b,f（g(x）的定义域应由ag（x)b解出;若f（g(x）的定义域为a，b,则f(x)的定义域为g(x)在a，b上的值域。注意（1）f(x）中的x与f(g(x）中的g（x)地位相同。(2)定义域所指永远是自变量的范围。1。设函数f（x）的定义域为1，5，则函数f（2x3）的定义域为（)A。2,4 B。3,11 C.3，7 D.1，5 学必求其心得，业必贵于专精 -4-解析：选 A.由题意得，12x35,解得 2x4,所以函数f（2x3）的定义域是2,4.2。设函数f（x)2x24x在区间m,n上的值域是6,2，则mn的取值范围是 。解析：由题意可得:函数f(x)2x24x的对称轴为直线x1，故当x1 时，函数取得最大值为 2.因为函数的值域是6,2，令2x24x6，可得x1 或x3.所以1m1，1n3，所以 0mn4。即mn的取值范围为0,4.答案：0，4 函数的解析式 (1）已知f(x1)x25x4，则f（x)。（2）已知函数f(x)是定义在 R 上的奇函数，当x0 时,f(x）x22x3.求出函数f(x）在 R 上的解析式；写出函数的单调区间(写出即可，不需要证明).【解】（1）令x1t，则xt1，因为f（x1)x25x4,学必求其心得，业必贵于专精 -5-所以f（t）(t1)25(t1）4t27t10，所以f（x)x27x10.故填x27x10。(2)设x0，则x0，所以f(x）(x）22（x）3x22x3。又因为f（x）是定义在 R 上的奇函数，所以f（x)f（x），所以f(x）x22x3。又因为f(0)0,所以f（x)错误!画出函数f（x）错误!的图像，如图：由图像可知函数f（x）的单调递增区间为(,1，1，），单调递减区间为1，0）,(0，1。错误!求函数解析式的题型与相应的解法（1)已知形如f（g（x）的解析式求f(x）的解析式，使用换元学必求其心得，业必贵于专精 -6-法或配凑法.（2)已知函数的类型（往往是一次函数或二次函数）,使用待定系数法.(3)含f（x)与f(x)或f（x）与f错误!，使用解方程组法。（4）已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式,可用奇偶性转移法。1.已知二次函数f(x）满足f（0）1，f（1)2，f(2)5,则该二次函数的解析式为 。解析：设二次函数的解析式为f（x)ax2bxc(a0），由题意得错误!解得错误!故f(x)x21。答案：f（x）x21 2。若 3f（x1）2f(1x)2x，则f(x）的解析式为 .解析:令tx1，则xt1，tR,原式变为 3f（t）2f（t)2（t1）.以t代替t，式变为 3f（t)2f(t)2(1t)。由消去f(t)得f(t)2t错误!,故f（x)2x错误!.学必求其心得，业必贵于专精 -7-答案：f(x)2x错误!函数的单调性和奇偶性 已知f（x）错误!（xa）.(1）若a2，试证明f(x）在(,2）内单调递增；(2）若a0 且f（x)在（1,）内单调递减，求a的取值范围。【解】(1)证明：x1x22，则f（x1)f(x2）错误!错误!错误!.因为（x12）(x22）0，x1x20，所以f(x1)f(x2)，所以f（x)在（，2）内单调递增。(2)10,只需(x1a）(x2a）0 恒成立,所以a1。综上所述，a的取值范围是（0，1。错误!学必求其心得，业必贵于专精 -8-函数单调性与奇偶性应用的常见题型(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性。(2）利用函数的单调性和奇偶性求单调区间。(3）利用函数的单调性和奇偶性比较大小,解不等式.(4）利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围.1。（2019张家界检测)已知函数yf(x）是 R 上的偶函数，且在(，0 上是增函数，若f(a）f(2)，则实数a的取值范围是()A。a2 B.a2 C.2a2 D.a2 或a2 解析：选 D.因为yf（x）是偶函数，且在（，0上是增函数，所以yf（x）在0，）上是减函数，由f（a）f（2）,得f(a|）f（2)，所以|a2,得a2 或a2，故选 D.2.已知函数f（x)错误!是 R 上的增函数，求a的取值范围.解：因为f(x)在 R 上是单调递增的函数，所以f(x)需满足在区间（，1和（1，）上都是单调递增的，并且端点处(x1）的函数值12a5错误!,即a3；f（x）x2ax5 的对称轴为学必求其心得，业必贵于专精 -9-直线x错误!，f（x)在（，1上单调递增，所以错误!1，即a2；f（x)错误!在（1，)上单调递增，所以abc且abc0，所以a0，c0，f（1）0，则可知开口向上,排除 A、C，然后根据f(0）c0，可知函数图像与y轴的交点在x轴下方。2。已知f（x)为定义在 R 上的奇函数，且f(x）f(2x)，当x0,1时，f（x）x。求x3，5时,f(x)错误!的所有解的和。学必求其心得，业必贵于专精 -11-解：当x1，0时，x0,1，所以f(x)x。又因为f(x)为奇函数,所以x1，0时，f（x）f（x）x,即x1，1时，f（x)x。又由f（x)f（2x）可得f（x）的图像关于直线x1 对称。由此可得f(x）在3，5上的图像如图：在同一坐标系内画出y错误!的图像，由图可知在3,5上共有四个交点，所以f(x）错误!在3，5上共有四个解，从左到右记为x1，x2，x3，x4，则x1与x4,x2与x3关于直线x1对称,所以x1x421,错误!1,所以x1x2x3x44。三个“二次”间的转化 若二次函数f(x）ax2bxc(a0)满足f（x1）f（x）2x，且f（0）1.(1）求f（x）的解析式；学必求其心得，业必贵于专精 -12-(2)若在区间1，1上，不等式f(x）2xm恒成立，求实数m的取值范围。【解】（1)由f(0)1，得c1，所以f(x)ax2bx1.又f（x1)f（x）2x，所以a（x1)2b（x1)1(ax2bx1)2x,即 2axab2x。所以错误!所以错误!因此,所求解析式为f(x）x2x1.(2)f(x）2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，要使此不等式在区间1，1上恒成立，只需使函数g(x）x23x1m在区间1，1上的最小值大于 0 即可。因为g(x）x23x1m在区间1，1上单调递减，所以gming（1）m1，由m10，得m1.因此满足条件的实数m的取值范围是（,1）.二次函数、二次方程与二次不等式统称三个“二次”,它们常结合在一起,而二次函数又是三个“二次”的核心,通过二次函数的图学必求其心得，业必贵于专精 -13-像贯穿为一体.因此，解决此类问题首先采用转化思想，把方程、不等式问题转化为函数问题.借助于函数思想研究方程、不等式（尤其是恒成立)问题是高考命题的热点.设关于x的一元二次方程ax2x10（a0）有两个实根x1，x2.(1）求（1x1)（1x2）的值；（2)求证：x11 且x21.解：(1)由根与系数的关系可知，x1x2错误!，x1x2错误!，（1x1)（1x2）1(x1x2）x1x2 1错误!错误!1.（2)证明：令f（x)ax2x1,由14a0，得 02a错误!，所以抛物线f（x）ax2x1 的对称轴 x12a21。又f(1)a0,所以f（x)的图像与x轴的交点都在点（1，0)的左侧，故x11 且x21.学必求其心得，业必贵于专精 -14-函数的应用 某工厂有 214 名工人，现要生产 1 500 件产品，每件产品由3 个A型零件和 1 个B型零件配套组成，每名工人加工 5 个A型零件与 3 个B型零件所需的时间相同.现将全部工人分成两组，分别加工A型零件与B型零件，且同时开工。设加工A型零件的工人有x名，单位时间内每名工人加工A型零件 5k（kN）个，加工完A型零件所需的时间为g（x），加工完B型零件所需的时间为h(x)。(1）试比较g（x)与h（x)的大小，并写出完成总任务所需时间的表达式；(2）怎样分组才能使完成总任务所需的时间最少？【解】(1)由已知A型零件需要生产 4 500 个，B型零件需要生产 1 500 个，加工B型零件的工人有（214x）名，单位时间内每名工人加工B型零件 3k个。所以g（x)错误!错误!，h(x）1 5003k（214x）错误!.则g(x）h(x）错误!错误!错误!错误!。因为 0 x214，且xN，kN*,所以当 0 x137 时，g（x）学必求其心得，业必贵于专精 -15-h(x),当 137x214 时，g（x）h（x）.所以f（x）错误!其中xN.（2）因为当 0 x137 时，f（x)为减函数,当 137x214 时，f(x)为增函数，且错误!错误!错误!错误!1，所以当x137 时f（x)的值最小，即安排 137 名工人加工A型零件，77 名工人加工B型零件时,完成总任务所需时间最少。解应用题的基本步骤(1)审题:读懂题意,分清条件与结论，理顺数量关系；（2）建模：将已知条件转化为数学语言，应用数学知识建立相应的函数模型；（3)解模:求解函数模型,得到数学结论;（4）还原：将数学方面的结论还原到实际问题中去,解释实际意义。某企业生产一种机器的固定成本为0。5 万元，但每生产 1 百台机器时,又需可变成本(即另增加投入)0.25 万元.市场对此商品的年需求量为 5 百台,销售的收入(单位：万元）函数为F（x)5x错误!x2(0 x5），其中x是产品生产的数量(单位：百台)。学必求其心得，业必贵于专精 -16-(1）将利润表示为产量的函数；(2)年产量是多少时，企业所得利润最大？解：（1）设利润函数为G（x),成本函数为R(x)，则依题意，得G（x）F（x）R（x）错误!（0。50.25x)0.5x24.75x0.5（0 x5)。(2)因为由(1)知利润函数G(x）0.5x24.75x0.5(0 x5)，所以当x错误!4.75 时，G（x)有最大值，所以年产量为 475 台时，企业所得利润最大。1.函数f（x)错误!的值域是()A.R B.(0，2）(2，)C.（0,)D.0，23，)解析：选 D。当x0，1时,f（x)2x20，2；当x(1，2)时，f(x）2；当x2，)时,f（x）x13，)。综上所述,f(x）的值域为0，23，)。故选 D。2。(2019沈阳期末)已知函数y错误!(k0）在3，8上的最学必求其心得，业必贵于专精 -17-大值为 1，则k的值为()A.1 B。6 C.1 或6 D.6 解析:选 A.由题意知，当k0 时，函数ykx2在3，8上单调递减，因为函数在3，8上的最大值为 1，所以错误!1，所以k1；当k0 时，函数y错误!在3,8上单调递增，因为函数在3,8上的最大值为 1，所以错误!1，解得k6（舍去），故选 A.3.若f（x)3ax2a1，若存在x0(1,1），使f（x0)0 成立，则实数a的取值范围是（)A.1a错误!B。a1 C.a1 或a错误!D。a错误!解析:选 C。由于给出的是一次函数形式，通过数形结合分析应满足条件f（1）f(1）0（5a1)(a1)0(5a1)（a1)0a错误!或a1，故选 C.4.学校团委接受了一项任务，完成这项任务的时间t与参加此项学必求其心得，业必贵于专精 -18-任务的同学人数x之间满足关系式：taxbx.当x10 时，t100，当x20 时，t100.若想所用时间最短，则参加人数为(）A。13 B.14 C。15 D。16 解析：选 B。由已知得 10010a错误!20a错误!，解得a错误!,b错误!，则t错误!x错误!.由错误!x错误!得x2200.又xN*，则x14 或x15。当x14 时，t1错误!14错误!94错误!；x15 时,t2错误!15错误!错误!94错误!.因为t2t1，故选 B.5.(2019湖州检测)已知函数f（x)错误!（aR）.(1）若f（1）2，求函数yf(x）2x在错误!上的值域；（2）当a错误!时，试判断f（x）在（0,1上的单调性，并用定义证明你的结论。解:(1)根据题意，函数f(x)错误!，若f(1)2，则错误!2，解得a错误!,则f（x)错误!x错误!,则yf(x)2x1xx，设g(x）错误!x，分析易得g(x)在错误!上学必求其心得，业必贵于专精 -19-为减函数，且g错误!2错误!错误!,g（2)错误!2错误!,故yf(x)2x在错误!上的值域为错误!.（2)f（x)错误!2ax错误!,当a错误!时，f（x）在（0，1上为减函数，证明如下：设 0 x1x21，f(x1）f（x2)错误!错误!(2ax1x21）错误!，又由a错误!且 0 x1x21，则（x1x2)0,(2ax1x21）0，则f（x1)f（x2）0，即函数f(x)在(0，1上为减函数.A 基础达标 1。函数f(x)错误!错误!的定义域为（）A。1，2 B。(1，2 C。2，）D。1,)解析：选 B。法一：要使函数f(x)错误!错误!有意义,则错误!解得1x2，故选 B.法二：因为x1,排除 A;取x3，则 42x4620，学必求其心得，业必贵于专精 -20-所以x3，排除 C、D，故选 B.2.函数f(x）x错误!的零点有（）A。0 个 B.1 个 C。2 个 D.无数个 解析：选 C。令f（x)0，即x错误!0，所以x2.故f(x）的零点有 2 个,选 C.3。向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数hf(t）的图像如图所示，则杯子的形状是（）解析：选 A.从题图中看出,在时间段0,t1，t1，t2内水面高度是匀速上升的，在0,t1上升慢，在t1,t2上升快.故选 A。4.已知f(x)x错误!1，f（a）2,则f(a)（）A.4 B.2 C。1 D.3 解析：选 A.因为f(x）x错误!1，所以f（a）a错误!12,学必求其心得，业必贵于专精 -21-所以a错误!3，所以f（a)a错误!1错误!1314.5.已知函数f（x）错误!则不等式f(x）f(1）的解集是()A.(3,1）(3，)B。（3,1）(2，)C.（1,1）(3，）D.(，3)(1,3)解析：选 A.画出函数f（x）的图像如图所示，令f（x）f(1），得x3，1，3，所以当f（x)f(1）时，必有x(3，1）（3，）.故选A.6。已知f(x）错误!若f(x）3，则x的值是 。解析：由f（x）3 得错误!或错误!或错误!解得x错误!。答案：错误!7。在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为 （m).学必求其心得，业必贵于专精 -22-解析:如图,过点A作AHBC于点H,交DE于点F，易知错误!x40错误!错误!，又AHBC40，则DEAFx，FH40 x。则Sx（40 x)（x20）2400，当x20 时，S取得最大值。答案：20 8.已知f(x)x2xk(kN),若方程f（x）2 在错误!上有两个不相等的实数根，则k 。解析：令F（x）f(x)2x2xk2，则F(x)在错误!上有两个不同零点。由于对称轴为直线x错误!，所以错误!即错误!所以错误!k错误!。由kN，得k2.答案：2 学必求其心得，业必贵于专精 -23-9。设函数f（x)错误!。（1)求f(x)的定义域,并判断f(x）的奇偶性;（2）求证：f错误!f（2x）。解：（1)要使原函数有意义，只需 4x20,即x2，所以f（x)的定义域为x|x2，因为f（x)的定义域为xx2,所以定义域关于原点对称.又f（x）错误!错误!f（x),所以f(x)为偶函数.（2)证明:因为f错误!错误!错误!，f(2x)错误!错误!，所以f错误!f(2x)。B 能力提升 10。定义运算ab错误!设函数f（x）x(x1)，则该函数的图像应该是()解析：选 C.由ab的定义,可知f(x)错误!由于f(0）011,所以函数图像过点(0，1）,排除 A，B;当x0 时，yx20，排除 D，只有 C 符合，故选 C。学必求其心得，业必贵于专精 -24-11.记实数x1，x2，xn中的最大数为 maxx1，x2，xn，最小数为 minx1,x2，xn，则 maxminx1,x2x1,x6()A。错误!B。1 C.3 D.错误!解析:选 D。如图所示，yminx1，x2x1，x6的图像为图中的实线部分，则易知求最大数即为图中B点的纵坐标，又B错误!，故选 D.12.已知函数f(x）错误!错误!(a0，x0)。(1）求证：f（x）在(0，)上是单调递增函数；(2)若f（x）在错误!上的值域是错误!，求a的值。解:(1）证明：任取x1，x2(0,),且x1x2，则x2x10，x1x20,所以f(x2)f(x1）错误!错误!错误!错误!错误!错误!0，所以f(x2）f(x1）,所以f（x)在（0，）上是单调递增函数.（2)由(1）知f（x）在错误!上单调递增，所以f错误!错误!，f（2)学必求其心得，业必贵于专精 -25-2,易得a错误!。13。已知yf（x）是 R 上的奇函数，且当x0 时，f（x)x24x1.（1)求yf(x）的解析式;(2)画出yf（x）的图像，并指出yf（x）的单调区间。解:(1）设x0，则x0,所以f（x)（x）24(x)1x24x1，又yf（x）是 R 上的奇函数，所以f（x）f(x）x24x1，又f（0)0，所以f（x）错误!(2）先画出yf(x)(x0）的图像，利用奇函数的对称性可得到相应yf（x)（x0)的图像，其图像如图所示.由图可知，yf（x）的单调递增区间为（2，0）和（0，2，单调递减区间为（,2和（2，）。C 拓展探究 14。通过研究学生的学习行为，心理学家发现，发生接受能力学必求其心得，业必贵于专精 -26-依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散。分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f（x)的值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间(单位：min),则有以下公式：f（x)错误!（1)开讲多少分钟后，学生的接受能力最强?能维持多少分钟？（2)开讲 5 min 时与开讲 20 min 时比较，学生的接受能力何时强一些？（3)一道数学难题，需要 55 的接受能力以及 13 min 的时间,老师能否及时在学生处于所需接受能力的状态下讲授完这道难题？解:(1)当 0 x10 时，f(x)0.1x22.6x430.1（x13）259。9.故当 0 x10 时，函数f(x)为增函数，故其最大值为f(10)0。1(1013)259.959.当 10 x16 时，f（x）59.当 16x30 时,f(x)为减函数，且f（x）59.因此,开讲 10 min 后，学生达到最强接受能力(为 59)，能维持 6 学必求其心得，业必贵于专精 -27-min.（2)f(5)0.1(513）259.953。5，f(20)3201074753.5,故开讲 5 min 时学生的接受能力比开讲 20 min 时要强一些.（3)当 0 x10 时，令f（x)55，解得x6（x20 舍去).当 16x30 时，令f（x)55，解得x17错误!.因此学生达到(含超过）55 的接受能力时间为 1713611错误!(min）13(min).故老师来不及在学生处于所需接受能力的状态下讲授完这道难题。