2019年高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明课时分层作业三十八.5直接证明与间接证明文.pdf

2019 年高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 课时分层作业 三十八 6.5 直接证明与间接证明 文 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)1.要证明+2,可选择的方法有以下几种,其中最合理的是()A.综合法 B.分析法 C.反证法 D.归纳法【解析】选 B.从要证明的结论一一比较两个无理数大小出发，证明此类问题通常转化为比较有理数的大小，这正是分析法的证明方法.2.(xx 广州模拟)用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x2+ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的假设 是()A.方程 x2+ax+b=0 没有实根 B.方程 x2+ax+b=0 至多有一个实根 2 C.方程 x2+ax+b=0 至多有两个实根 2 D.方程 x2+ax+b=0 恰好有两个实根【解析】选 A.因为“方程 x2+ax+b=0 至少有一个实根”等价于“方程 x2+ax+b=0 有一个实根或两个实根”,所以该命题的否定是“方程 x2+ax+b=0 没有实根”.2 2 2 2 3.要证:a+b-1-a b 0,只要证明()22 A.2ab-1-a b 0【解析】选 D.因为要证 a2+b2-1-a2b2 w 0,只需要证(a2-1)(b 2-1)0.4.命题“如果数列an的前 n 项和 S=2n2-3n,那么数列an一定是等差数列”是否成立()A.不成立 B.成立 C.不能断定 D.能断定 2【解析】选 B.因为 Sn=2n2-3n,2 所以 Sn-i=2(n-1)-3(n-1)(n 2),所以 an=S-Sn-i=4n-5(n=1 时,ai=S=-1 符合上式).又因为 an+i-an=4(n 1),所以an是等差数列.【变式备选】(xx 西安模拟)不相等的三个正数 a,b,c 成等差数列，并且 x 是 a,b 的等比中项,y 是 b,c 的 等比中项,则 x2,b2,y 2三数()A.成等比数列而非等差数列 B.成等差数列而非等比数列 C.既成等差数列又成等比数列 D.既非等差数列又非等比数列【解析】a+c=2b,Q)x2 ab,y2=be.由得 选 B.由已知条件，可得 X2 r C .*b 代入,得+=2b,即 x2+y2=2b2.故 x2,b 5.设 a,b 是两个实数，给出下列条件：2 2 a+b1;a+b=2;a+b2;a+b 2;ab1.其中能推出：“a,b 中至少有一个大于 1”的条件是（A.B.C.【解析】选 C.若 a=,b=,则 a+b1,但 a1,b2,故推不出；若 a=-2,b=-3,则 ab1,故推不出；对于,即 a+b2,则 a,b 中至少有一个大于 1,反证法：假设 a 1 且 b 2 矛盾，因此假设不成立，则 a,b 中至少有一个大于 1.2,y2成等差数列）D.、填空题（每小题 5 分，共 15分）6.设 ab0,m=-,n=,贝 U m,n 的大小关系是 _.【解析】（分析法）-?a0,显然成立.答案：mn【巧思妙解】（取特殊值法）取 a=2,b=1,得 mn.答案：m卩恒成立的 卩的取值范围是 _.【解析】因为 a,b (0,+s)且+=1,所以 a+b=(a+b)=10+10+2=16,所以 a+b 的最小值为 16.所以要使 a+b卩恒成立，需 16卩,所以 00,则实 数 p 的取值范围是 _.【解析】(补集法)!I(-1)=-2卩2+p+10,令 解得 p,故满足条件的 p 的范围为.答案：【一题多解】(直接法)依题意有 f(-1)0 或 f(1)0,即 2p2-p-10 或 2p2+3p-90,得-p1 或-3p b0,求证:2a-b 2ab-a b.【证明】要证明 2a3-b3 2ab2-a 2b 成立,只需证:2a 3-b3-2ab2+a2b 0,即 2a(a 2-b 2)+b(a 2-b2)0,即(a+b)(a-b)(2a+b)0.因为 a b0,所以 a-b 0,a+b0,2a+b0,从而(a+b)(a-b)(2a+b)0 成立，所以 2a3-b 3 2ab2-a 2b.10.已知四棱锥 S-ABCD 中，底面是边长为 1 的正方形，又 SB=SD=,SA=1.(1)求证:SA 丄平面 ABCD.(2)在棱 SC 上是否存在异于 S,C 的点 F,使得 BF/平面 SAD 若存在，确定 F 点的位置；若不存在，请说明理由.【解析】由已知得 SA+ADSD,所以 SA 丄 AD.同理 SAI AB.又 ABA AD=A,所以 SA!平面 ABCD.假设在棱 SC 上存在异于 S,C 的点 F,使得 BF/平面 SAD.因为 BC/AD,BC?平面 SAD.所以 BC/平面 SAD 而 BCA BF=B,所以平面 FBC/平面 SAD.这与平面 SBC 和平面 SAD 有公共点 S 矛盾，所以假设不成立 所以不存在这样的点 F,使得 BF/平面 SAD.B组能力提升编 20分坤4分)1.(5 分)设 a,b,c 均为正实数，则三个数 a+,b+,c+()A.都大于 2 B.都小于 2 C.至少有一个不大于 2 D.至少有一个不小于 2【解析】选 D.因为 a0,b0,c0,所以+=+6,当且仅当 a=b=c 时,等号成立，故三者不能都小于 2,即至少有一个不小于 2.2.(5 分)(xx 洛阳模拟)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时,f(x)单调递减，若 Xi+X20,则 f(x 1)+f(X 2)的值()A.恒为负值 B.恒等于零 C.恒为正值 D.无法确定正负【解析】选 A.由 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时,f(x)单调递减，可知 f(x)是 R 上的单调递减函数，由 X1+X20,可知 X1-X2,f(x 1)f(-x 2)=-f(X 2),贝y f(x 1)+f(X 2)f(x)成立，则()A.3f(ln 2)2f(l n 3)B.3f(ln 2)0),则 F(x)=人,因为 x0,所以 ln x R,因为对任意 x R 都有 f (x)f(x),所以 f(In x)f(ln x),所以 F(x)0,所以 F(x)为增函 数,因为 320,所以 F(3)f(2),即,所以 3f(ln 2)2f(ln 3).3.(5 分)(xx 合肥模拟)某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数 f(x)在0,1上有意义，且 f(0)=f(1),如果对于不同的 X1,X2 0,1,当|f(x 1)-f(x 2)|x 1-x 2|时，求证:|f(x 1)-f(X 2)|.那么他的反设应该是 _.【解析】根据反证法，写出相反的结论是：存在 X1,X2 0,1,当|f(x 1)-f(x 2)|.答案：存在 X1,X2 0,1,当|f(x 1)-f(x 2)|4.(12 分)已知非零向量 a,b,且 a 丄 b,求证:0,2 即(|a|-|b|)0,上式显然成立，故原不等式得证.5.(13 分)已知函数 f(x)=a x+(a1).(1)证明：函数 f(x)在(-1,+8)上为增函数.(2)用反证法证明方程 f(x)=0 没有负数根.【证明】任取 X1,X 2(-1,+8),不妨设 X10.因为 a1,所以1 且0,所以-=(-1)0.又因为 X1+10,x 2+10,所以 j 1 (x2-2)(x1+1)-(%1 一 2)(x2+1)=:.I I:I 3(X2-xt)=(筍+1)任2+1)0.%2 _ 2 _ 2 兀？+1无1+1 于是 f(x 2)-f(x 1)=-+-0,故函数 f(x)在(-1,+g)上为增函数 假设存在 X01,所以 01,X0 _ 2 xn+1 所以 0-1,即X02,与假设 X00 相矛盾,故方程 f(x)=0 没有负数根