2020高中数学第章三角函数.2.任意角的三角函数讲义.pdf

学必求其心得，业必贵于专精 -1-1.2。1 任意角的三角函数 学 习 目 标 核 心 素 养(教师独具）1.理解三角函数的定义，会使用定义求三角函数值(重点、易错点）2。会判断给定角的三角函数值的符号(重点）3.会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围(难点)通过学习本节内容提升学生的数学运算和数学抽象核心素养.一、任意角三角函数的定义 在平面直角坐标系中，设的终边上任意一点P的坐标是（x，y)，它与原点的距离是r（r错误!0)，那么 名称 定义 定义域 正弦 sin 错误!R 余弦 cos 错误!R 正切 tan 错误!错误!学必求其心得，业必贵于专精 -2-sin，cos,tan 分别称为正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数 思考 1：对于确定的角,sin，cos,tan 的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？提示 不会因为三角函数值是比值,其大小与点P（x，y）在终边上的位置无关,只与角的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关 思考 2：若P为角与单位圆的交点，sin，cos，tan 的值怎样表示？提示 sin y,cos x，tan 错误!.二、三角函数在各象的限符号 三、三角函数线 1有向线段：规定了方向（即规定了起点和终点)的线段 2三角函数线 学必求其心得，业必贵于专精 -3-1思考辨析（1）一定时，单位圆的正弦线一定（)(2）在单位圆中，有相同正弦线的角必相等()(3）与 有相同的正切线（）解析 结合三角函数线可知（1）（3）正确，（2）错误 答案(1）（2)(3)2若角的终边经过点P错误!，则 sin _；cos _；tan _.错误!错误!1 由题意可知|OP|错误!1，学必求其心得，业必贵于专精 -4-sin 错误!错误!；cos 错误!错误!；tan 错误!1。3（1）若在第三象限，则 sin cos _0；(填“”“”)（2）cos 3tan 4_0。（填“”)（1)(2）（1）在第三象限，sin 0,cos 0，sin cos 0.(2）错误!0。cos 3tan 40。三角函数的定义及应用 【例 1】在平面直角坐标系中,角的终边在直线y2x上，求 sin，cos，tan 的值 思路点拨：以的终边分别在第二、四象限为依据，分别取特殊点求 sin，cos，tan 的值 解 当的终边在第二象限时，在终边上取一点P(1，学必求其心得，业必贵于专精 -5-2)，则r12225，所以 sin 错误!错误!，cos 错误!错误!，tan 错误!2.当的终边在第四象限时，在终边上取一点P（1，2），则r错误!错误!，所以 sin 错误!错误!,cos 错误!错误!，tan 错误!2.1已知角终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法:（1)先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值（2）在的终边上任选一点P（x,y)，设P到原点的距离为r(r0）,则 sin 错误!，cos 错误!.当已知的终边上一点求的三角函数值时，用该方法更方便 2当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论 1已知角终边上一点P（x，3）（x0），且 cos 错误!x，求sin，tan。解 由题意知r|OP|x29,由三角函数定义得 cos 学必求其心得，业必贵于专精 -6-错误!错误!。又cos 错误!x，错误!错误!x。x0，x1.当x1 时,P（1，3)，此时 sin 错误!错误!，tan 错误!3。当x1 时，P(1，3),此时 sin 错误!错误!，tan 错误!3。三角函数值的符号 【例 2】（1)若是第四象限角，则点P（cos，tan）在第_象限(2)判断下列各式的符号：sin 183；tan 错误!；cos 5.思路点拨:先确定各角所在的象限，再判定各三角函数值的符号（1)四 是第四象限角,cos 0，tan 0，学必求其心得，业必贵于专精 -7-点P(cos，tan)在第四象限 (2）解 180183270，sin 1830；错误!错误!2，tan 错误!0；错误!51 作出的正弦线和余弦线（图略)，由三 角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知 sin cos 1.4已知角的终边在直线 3x4y0 上，求 sin，cos,tan 的值 解 角的终边在直线 3x4y0 上，在角的终边上任取一点P（4t,3t)（t0），则x4t，y3t，r错误!错误!5|t|，当t0 时，r5t，sin yr错误!错误!,cos 错误!错误!错误!，tan yx错误!错误!.当t0 时，r5t,sin 错误!错误!错误!，cos 错误!错误!错误!，tan 错误!错误!错误!.综上可知，sin 错误!，cos 错误!，tan 错误!；或 sin 错误!，cos 错误!，tan 错误!.学必求其心得，业必贵于专精 -13-