公式法与根的判别式.pdf
精品 八 年级 数学 学科 总计 20 课时 第 5 课时 课题 求根公式与根的判别式 教学目标：1、熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程.2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想.3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度.4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况.5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力.教学重点：1、求根公式的推导和用公式法解一元二次方程.2、会用判别式判定一元二次方程根的情况.教学难点：1、正确理解“当240bac时，方程20(0)axbxca无实数根.2、运用判别式求出符合题意的字母的取值范围.一、学习新知，推导公式 我们以前学过的一元一次方程0bax（其中 a、b 是已知数，且 a0）的根唯一存在，它的根可以用已知数 a、b 表示为abx，那么对于一元二次方程02cbxax（其中 a、b、c 是已知数，且 a0），它的根情况怎样？能不能用已知数 a、b、c 来表示呢？我们用配方法推导一元二次方程的求根公式.用配方法解一元二次方程)0(02acbxax 解：cbxax2 移常数项 acxabx2 方程两边同除以二次项系数（由于 a0，因此不需要分类讨论）222)2()2(abacabxabx 两边配上一次项系数一半的平方 22244)2(aacbabx 转化为nmx2)(的形式 注：在我们以前学过的一元二次方程中，会碰到有的方程没有实数解。因此对上面这个方程要进行讨论 因为2040aa所以 精品（1）当240bac时，22404baca。利用开平方法，得22424bbacxaa 则22424bbacxaa 所以242bbacxa，（2）当240bac时，22404baca。在实数范围内，x 取任何值都不能使方程22244)2(aacbabx左右两边的值相等，所以原方程没有实数根。一元二次方程)0(02acbxax，当042 acb时，它有两个实数根：242bbacxa（04,02acba）这就是一元二次方程)0(02acbxax的求根公式.问题：1、在求根公式中，如果042 acb时，根的情况如何？2、如何用求根公式求一元二次方程的根？解答：1、如果042 acb，那么方程有两个相等的实数根，即abxx221.2、运用求根公式解一元二次方程时先要把方程化成一般式，如果042 acb，那么可代入公式求出方程的根，如果042 acb，那么方程无实数根，这种解一元而次方程的方法叫做公式法.二、根的判别式：利用求根公式242bbacxa，可以解任何一个一元二次方程20(0)axbxca.（1）当240bac时，方程的根是221244,22bbacbbacxxaa .（2）当240bac时，方程的根是122bxxa.精品（3）当240bac时，方程没有实数根.提问：究竟是什么决定了一元二次方程根的情况？1、定义：我们把24bac叫做一元二次方程20(0)axbxca的根的判别式，通常用符号“”表示，记作=24bac.2、一元二次方程20(0)axbxca，当=240bac时，方程有两个不相等的实数根；当=240bac时，方程有两个相等的实数根；当=240bac时，方程没有实数根.例题精讲：例 1：用公式法解下列方程：（1）25610 xx （2）22(1)(2)1xx x 注：用公式法解一元二次方程时，应根据方程的一般式确定 a、b、c 的值，并且注意 a、b、c 的符号。例 2、不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）24530 xx；（2）22430 xx；（3）2232 6xx.精品 例 3、关于x的方程2(1)0 xmxm（其中m是实数）一定有实数根吗?为什么？三、一元二次方程两根之间的关系：（韦达定理）当一元二次方程有实数解221244,22bbacbbacxxaa 22124422bbacbbacbxxaaa 22124422bbacbbaccxxaaa 例 4：已知12,x x是一元二次方程22370 xx的两个根，求2212xx的值。四、与根的判别式相关的证明题：例 5：已知a、b、c是ABC 的三边长，求证：关于 x 的方程222222()0b xbcaxc没有实数根。精品 巩固练习 一、填空题：1、运用公式法解一元二次方程时，先把方程化为一般式 ，接着确定 的值，然后求出 ，最后代入 。2、方程2523xx中，24bac 。3、若代数式2425xx与221x 的值互为相反数，则 x 的值为 。4、当 x=时，23xx与15x既是最简根式又是同类二次根式。5、一元二次方程232 620 xx的根的判别式的值等于 。6、不解方程，判定方程2257xx 是实根的个数为 。7、方程22(2)(2)30mxmx，当 m=时，是关于 x 的一元二次方程，它的根的判别式=。8、已知方程220mxmx有两个相等的实数根，则 m 的值为 。二、求下列方程中24bac的值：1、265xx 2、28160 xx 3、2232xx 4、222xx 5、211042xx 6、21xx 7、2xqpx 8、2(23)60 xx 三、不解方程，判断下列方程根的情况：1、22520 xx 2、21302xx 精品 3、22 230 xx 4、241290 xx 5、211022xx 6、23330 xx 7、250 x 8、22104xx 四、用公式法解下列方程：1、22 220 xx 2、222xx 3、22220 xx 4、291220 xx 5、244 21xx 6、296 610 xx 精品 7、23510 xx 8、215102xx 9、20.090.210.10yy 10、(1)(1)2 2xxx 11、2244 2xx 12、24(28)20yy 五、解答题：1、判断关于 x 的方程20 xpxq的根的情况。2、关于 x 的方程2(2)20 xmxm一定有实根吗？为什么?精品 3、如果关于 x 的一元二次方程28160kxx有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围。能力提高 一、不解方程，判定下列方程根的情况 1、222(1)240mxmxm 2、222 220 xmxm 3、29(7)30 xpxp 4、2213022xmxmm 二、用公式法求关于 x 的方程的解 1、2240 xxk 2、210 xpx 精品 3、2222(3)0 xst xst 4、29(1)2(3)0(,1)7kxkxkkk 二、解答题：1、关于 x 的方程2(3)30mxmx一定有实数根吗？为什么？2、若 t 是非负整数，且一元二次方程22(1)2(1)10txt x 有两个实数根，求 t 的值及对应方程的根。思维拓展 1、求证：关于 x 的方程()()1xa xab的两根中一个大于 a，另一个小于 a.
